Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

La loi exponentielle : cours de Terminale (maths complémentaires)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une variable aléatoire $X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ si sa densité est $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\geq 0$ et $0$ pour $x<0$ .
Fonction de répartition : $P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$ pour $x\geq 0$ , donc $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ ; $P(a\leq X\leq b)=e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$ .
Espérance : $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$ . On choisit donc $\lambda$ à partir de la durée moyenne observée.
Absence de mémoire : $P_{X>t}(X>t+s)=P(X>s)$ . Le phénomène ne vieillit pas.
Modèle adapté aux durées d'attente ou de vie d'un composant qui ne s'use pas ; inadapté dès qu'il y a usure ou vieillissement.

Pourquoi une loi pour les durées ?

Tu connais déjà la loi binomiale, qui compte des succès, et la loi uniforme, où toutes les valeurs d'un intervalle sont « équiprobables ». Il manque une loi pour un type de question très courant : combien de temps faut-il attendre avant qu'un événement arrive ? Combien de temps un composant électronique fonctionne-t-il avant de tomber en panne ? Combien de minutes s'écoulent entre deux appels reçus par un standard ?

Ces durées sont des nombres réels positifs, et elles ne sont pas réparties de façon uniforme : on voit souvent beaucoup de petites durées et de plus en plus rarement les longues. La loi exponentielle est faite pour cela. Le programme la range parmi les lois à densité à étudier, avec sa fonction densité, sa fonction de répartition et son espérance ². Elle ne prend que des valeurs réelles positives et elle est continue sur $\mathbb{R}_+$ ³.

Dans ce cours, nous allons :

définir la loi exponentielle par sa densité ;
calculer des probabilités grâce à la fonction de répartition ;
relier le paramètre $\lambda$ à l'espérance ;
comprendre la propriété la plus caractéristique de cette loi : l'absence de mémoire ;
apprendre à décider si le modèle convient à une situation réelle.

Définition et densité de probabilité

Rappelons d'abord ce que tu as vu avec la loi uniforme : une variable aléatoire à densité n'a pas de probabilité en un point ; on calcule des probabilités d'intervalles comme des aires sous la courbe d'une fonction positive, la densité. La loi exponentielle fonctionne de la même façon, avec une densité différente.

Observe cette définition. Pour $x\geq 0$ , le nombre $e^{-\lambda x}$ est strictement positif, donc $f(x)>0$ : la fonction est positive sur $\mathbb{R}$ . Pour $x<0$ , elle vaut $0$ : la variable ne prend jamais de valeur négative, ce qui est cohérent avec une durée ³. Enfin, $f$ est continue sur $[0\,;+\infty[$ comme composée de fonctions continues, et son aire totale doit valoir $1$ . Vérifions-le.

Démonstration · f est bien une densité : l'aire totale vaut 1

Une densité doit être positive, continue (sauf éventuellement en un nombre fini de points) et d'intégrale égale à $1$ sur $\mathbb{R}$ . Pour la loi exponentielle, seule l'intégrale sur $[0\,;+\infty[$ compte, puisque $f$ est nulle ailleurs.

Pour tout réel $A\geq 0$ , une primitive de $x\mapsto\lambda e^{-\lambda x}$ est $x\mapsto -e^{-\lambda x}$ . Donc :

$\int_0^A \lambda e^{-\lambda x}\,dx=\Big[-e^{-\lambda x}\Big]_0^A=-e^{-\lambda A}+1=1-e^{-\lambda A}.$

Quand $A$ tend vers $+\infty$ , comme $\lambda>0$ , le nombre $-\lambda A$ tend vers $-\infty$ et $e^{-\lambda A}$ tend vers $0$ . L'intégrale tend donc vers $1$ . L'aire totale sous la courbe est égale à $1$ : $f$ est bien une densité de probabilité.

Densités de la loi exponentielle pour λ = 1 et λ = 2 · Les courbes sont tracées pour x ≥ 0 ; pour x < 0 la densité est nulle. Plus λ est grand, plus la courbe démarre haut et décroît vite.

Fonction de répartition et calculs de probabilités

Calculer une probabilité avec une densité revient à calculer une intégrale. Pour la loi exponentielle, le calcul est toujours le même et donne une formule simple. La fonction de répartition de cette loi s'exprime de façon explicite ³ ; voici comment on la retrouve.

Démonstration · Retrouver la fonction de répartition

Soit $x\geq 0$ . La probabilité $P(X\leq x)$ est l'aire sous la courbe de $f$ entre $0$ et $x$ (avant $0$ , la densité est nulle) :

$P(X\leq x)=\int_0^x \lambda e^{-\lambda t}\,dt=\Big[-e^{-\lambda t}\Big]_0^x=1-e^{-\lambda x}.$

L'événement « $X>x$ » est l'événement contraire de « $X\leq x$ », donc $P(X>x)=1-\big(1-e^{-\lambda x}\big)=e^{-\lambda x}$ .

ExempleUn composant électronique

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}2$ . La vie d'un composant fait justement partie des situations que le programme associe à cette loi ².

Probabilité que le composant tombe en panne avant $3$ ans :

$P(X\leq 3)=1-e^{-0{,}2\times 3}=1-e^{-0{,}6}\approx 1-0{,}5488=0{,}4512.$

Probabilité qu'il fonctionne encore après $5$ ans :

$P(X>5)=e^{-0{,}2\times 5}=e^{-1}\approx 0{,}3679.$

Probabilité qu'il tombe en panne entre $2$ et $4$ ans :

$P(2\leq X\leq 4)=e^{-0{,}4}-e^{-0{,}8}\approx 0{,}6703-0{,}4493=0{,}2210.$

Espérance et choix du paramètre

L'espérance d'une variable à densité est la valeur moyenne qu'on obtiendrait sur un très grand nombre d'observations. Pour la loi exponentielle, elle est directement liée au paramètre.

Cette relation est la clé de tous les problèmes concrets. L'énoncé donne rarement $\lambda$ ; il dit plutôt « en moyenne, un appel arrive toutes les $4$ minutes » ou « la durée de vie moyenne d'une pièce est de $500$ heures ». On en déduit $\lambda$ en prenant l'inverse de la moyenne.

L'absence de mémoire

C'est la propriété qui donne à la loi exponentielle son identité. Imagine une ampoule à LED dont la durée de vie $T$ suit une loi exponentielle. Elle a déjà fonctionné $t$ heures sans panne. Quelle est la probabilité qu'elle tienne encore au moins $s$ heures de plus ? La loi exponentielle répond : exactement la même que pour une ampoule neuve. Avoir déjà fonctionné un certain temps ne modifie donc pas ce qu'on peut attendre de la suite ³.

Démonstration · Preuve par les probabilités conditionnelles

Comme $s\geq 0$ , l'événement « $X>t+s$ » est inclus dans « $X>t$ », donc l'intersection des deux est « $X>t+s$ ». Par définition d'une probabilité conditionnelle :

$P_{X>t}(X>t+s)=\frac{P(X>t+s)}{P(X>t)}=\frac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda(t+s)+\lambda t}=e^{-\lambda s}=P(X>s).$

Le résultat ne dépend pas de $t$ : le passé n'a aucune influence.

La réciproque est également vraie : une durée sans mémoire suit nécessairement une loi exponentielle ³. Le programme en tire une conséquence pour l'enseignement : on peut présenter cette loi en partant de l'absence de mémoire plutôt que de la formule de la densité ¹ ². Cette propriété sert donc à la fois de point de départ possible et de test : pour savoir si un phénomène relève de ce modèle, on se demande s'il « vieillit ».

Modéliser avec la loi exponentielle

Savoir calculer ne suffit pas : il faut aussi savoir quand employer la loi exponentielle. Voici une démarche à suivre dans l'ordre.

IdentifierRepérer la durée X et son unité de temps.
Trouver λUtiliser λ = 1 / E(X) si la moyenne est donnée.
TraduireÉcrire P(X ≤ x), P(X > x) ou un intervalle.
CalculerAppliquer la formule, puis conclure avec l'unité.

Démarche pour modéliser avec la loi exponentielle · À suivre dans l'ordre pour chaque problème.

MéthodeUn exemple complet rédigé

Énoncé. Le temps d'attente $X$ (en minutes) entre deux appels reçus par une plateforme d'assistance suit une loi exponentielle. En moyenne, deux appels arrivent toutes les $10$ minutes. On vient de recevoir un appel. Quelle est la probabilité que le prochain arrive dans moins de $3$ minutes ? Dans plus de $15$ minutes ? Entre $5$ et $10$ minutes ?

Résolution. Le temps moyen entre deux appels est de $10$ minutes divisées par $2$ appels, soit $5$ minutes. Donc $E(X)=5$ et $\lambda=\dfrac15=0{,}2$ .

Moins de $3$ minutes : $P(X\leq 3)=1-e^{-0{,}6}\approx 0{,}4512$ .
Plus de $15$ minutes : $P(X>15)=e^{-3}\approx 0{,}0498$ .
Entre $5$ et $10$ minutes : $P(5\leq X\leq 10)=e^{-1}-e^{-2}\approx 0{,}3679-0{,}1353=0{,}2326$ .

Environ $45\,\%$ de chances d'attendre moins de $3$ minutes, et moins de $5\,\%$ d'attendre plus d'un quart d'heure.

Où trouve-t-on cette loi ? Les programmes évoquent le temps entre deux appels, la vie d'un composant ², et aussi la demi-vie d'un grand nombre d'atomes radioactifs ². Dans chaque cas, le phénomène n'« use » pas : à chaque instant, la chance de voir l'événement arriver ne dépend pas de ce qui s'est passé avant.

Lien avec les lois discrètes. Pour un phénomène sans mémoire, le modèle dépend de la façon de compter le temps : en unités entières, on utilise la loi géométrique ; en temps continu, la loi exponentielle ¹ ². La loi exponentielle est donc la version « continue » de l'attente du premier succès.

Simuler une loi exponentielle. Le programme prévoit aussi de fabriquer des valeurs exponentielles à partir d'un tirage uniforme ². Voici l'idée, que tu peux vérifier : si $U$ suit la loi uniforme sur $]0\,;1]$ , la variable $Y=-\dfrac{\ln U}{\lambda}$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . En effet, pour $x\geq 0$ :

$P(Y>x)=P\big(-\ln U>\lambda x\big)=P\big(U<e^{-\lambda x}\big)=e^{-\lambda x},$

ce qui est la probabilité $P(X>x)$ d'une variable exponentielle.

Erreurs fréquentes et vérifications

Exercices corrigés

Exercice 1 Panne d'un composant

★☆☆Environ 8 min

La durée de vie $X$ (en années) d'un composant électronique suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}2$ . Calcule la probabilité que le composant tombe en panne avant $3$ ans. Donne le résultat arrondi à $10^{-4}$ près.

Indice 1

« Tomber en panne avant 3 ans » se traduit par $P(X\leq 3)$ .

Indice 2

Utilise $P(X\leq x)=1-e^{-\lambda x}$ .

Voir la correction pas à pas

On traduit l'énoncé : on cherche $P(X\leq 3)$ .
On applique la fonction de répartition : $P(X\leq 3)=1-e^{-\lambda\times 3}$ .
On remplace $\lambda$ par $0{,}2$ : $1-e^{-0{,}6}$ .
On calcule à la calculatrice : $e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488$ , donc $P(X\leq 3)\approx 0{,}4512$ .

La probabilité que le composant tombe en panne avant $3$ ans est d'environ $0{,}4512$ , soit un peu plus de $45\,\%$ .

Exercice 2 Attente entre deux appels

★☆☆Environ 10 min

Le temps d'attente $X$ (en minutes) entre deux appels reçus par un standard suit une loi exponentielle. L'attente moyenne est de $4$ minutes. Calcule la probabilité que l'attente dépasse $6$ minutes. Donne le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

Indice 1

Commence par déterminer $\lambda$ à partir de l'espérance.

Indice 2

« Dépasser 6 minutes » se traduit par $P(X>6)$ , qui vaut $e^{-6\lambda}$ .

Voir la correction pas à pas

L'espérance vaut $E(X)=4$ , donc $\lambda=\dfrac{1}{E(X)}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$ .
On traduit la question : on cherche $P(X>6)$ .
On applique $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ : $P(X>6)=e^{-0{,}25\times 6}=e^{-1{,}5}$ .
À la calculatrice, $e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231$ .

La probabilité d'attendre plus de $6$ minutes est d'environ $0{,}223$ , soit un peu moins d'une chance sur quatre.

Exercice 3 Panne entre deux dates

★★☆Environ 12 min

La durée de vie $T$ (en années) d'un appareil suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}3$ . Calcule la probabilité que la panne survienne entre la $2^{\text{e}}$ et la $5^{\text{e}}$ année, c'est-à-dire $P(2\leq T\leq 5)$ . Donne le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.

Indice 1

Pour un intervalle, utilise $P(a\leq T\leq b)=P(T\leq b)-P(T\leq a)$ .

Indice 2

Tu peux aussi écrire directement $e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}$ .

Voir la correction pas à pas

On applique la formule d'un intervalle : $P(2\leq T\leq 5)=e^{-\lambda\times 2}-e^{-\lambda\times 5}$ .
On remplace $\lambda$ par $0{,}3$ : $e^{-0{,}6}-e^{-1{,}5}$ .
On calcule chaque terme : $e^{-0{,}6}\approx 0{,}5488$ et $e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231$ .
On soustrait : $0{,}5488-0{,}2231\approx 0{,}3257$ .

La probabilité que l'appareil tombe en panne entre la $2^{\text{e}}$ et la $5^{\text{e}}$ année est d'environ $0{,}326$ .

Exercice 4 Durée médiane

★★★Environ 15 min

Un phénomène a une durée $X$ (en heures) qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}5$ . On appelle durée médiane le réel $m$ tel que $P(X\leq m)=0{,}5$ . Détermine $m$ et compare-le à l'espérance. Donne $m$ arrondi à $10^{-3}$ près.

Indice 1

Écris l'équation $1-e^{-\lambda m}=0{,}5$ et isole l'exponentielle.

Indice 2

Pour résoudre $e^{-\lambda m}=0{,}5$ , compose par la fonction logarithme népérien.

Voir la correction pas à pas

On écrit l'équation : $P(X\leq m)=1-e^{-0{,}5m}=0{,}5$ .
On isole l'exponentielle : $e^{-0{,}5m}=0{,}5$ .
On applique $\ln$ : $-0{,}5m=\ln(0{,}5)=-\ln 2$ , donc $m=\dfrac{\ln 2}{0{,}5}$ .
On calcule : $m\approx 1{,}386$ heure.
On compare : $E(X)=\dfrac{1}{0{,}5}=2$ heures, donc $m<E(X)$ .

La durée médiane est $m=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\approx 1{,}386$ heure, inférieure à l'espérance de $2$ heures. Elle illustre l'étalement de la loi vers les grandes valeurs : la moyenne est plus élevée que la médiane.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la loi exponentielle ou la loi uniforme ?

Regarde la répartition des valeurs. Avec la loi uniforme, toutes les valeurs d'un intervalle borné sont aussi probables : la densité est constante. Avec la loi exponentielle, les petites valeurs sont plus probables que les grandes et il n'y a pas de borne supérieure : la densité décroît. Un indice dans l'énoncé : si on parle d'une durée d'attente ou de vie « sans usure », ou si le texte donne une durée moyenne, c'est probablement une loi exponentielle.

Comment trouver le paramètre λ quand l'énoncé ne le donne pas ?

On le déduit de l'espérance : $\lambda=\dfrac{1}{E(X)}$ ³. Si l'énoncé donne une durée moyenne de $500$ heures, alors $\lambda=\dfrac{1}{500}=0{,}002$ . Attention à l'unité : si la moyenne est en heures, tes valeurs de $x$ doivent être en heures. Si l'énoncé donne un nombre moyen d'événements par unité de temps, par exemple $2$ appels en $10$ minutes, calcule d'abord le temps moyen entre deux événements ( $5$ minutes), puis prends l'inverse.

Pourquoi dit-on que la loi exponentielle « n'a pas de mémoire » ?

Parce que le temps déjà écoulé n'influe pas sur le temps restant. Si un composant suit cette loi et qu'il fonctionne depuis $t$ heures, la probabilité qu'il dure encore $s$ heures est la même que pour un composant neuf ³. Cela revient à dire que le phénomène ne vieillit pas et ne s'use pas. C'est une bonne approximation pour des événements aléatoires comme l'arrivée d'un appel, et une mauvaise pour un objet qui s'abîme.

Qu'est-ce qu'il faut savoir faire sur la loi exponentielle en Terminale ?

Le programme cite la loi exponentielle avec sa fonction densité, sa fonction de répartition et son espérance ². Il attend aussi qu'on sache reconnaître une densité et calculer des probabilités ². Entraîne-toi donc à : vérifier qu'une fonction est une densité (positive, continue, d'intégrale $1$ ), calculer $P(X\leq x)$ , $P(X>x)$ et $P(a\leq X\leq b)$ , trouver $\lambda$ à partir de l'espérance, et utiliser l'absence de mémoire.

Pourquoi la probabilité d'être inférieur à la moyenne dépasse-t-elle 1/2 ?

Parce que la loi est asymétrique : la densité est maximale en $0$ et décroît lentement vers la droite. Beaucoup de valeurs sont petites, quelques-unes très grandes, et ces dernières font monter la moyenne. On a $P(X\leq E(X))=1-e^{-1}\approx 0{,}632$ quel que soit $\lambda$ . La durée médiane, elle, vaut $\dfrac{\ln 2}{\lambda}$ et reste inférieure à $E(X)=\dfrac1\lambda$ .

Sources

Programme visé : Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale - Option Mathématiques complémentaires · Ministère de l'Éducation nationale

Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale - Option Mathématiques complémentaires, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Lois de probabilité continues (Annexe), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Pourquoi une loi pour les durées ?

Définition et densité de probabilité

Fonction de répartition et calculs de probabilités

Espérance et choix du paramètre

L'absence de mémoire

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