Mathématiques complémentaires (option) · Terminale

Loi exponentielle : exercices corrigés de Terminale (maths compl.)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors P(X ≤ t) = 1 − e^(−λt) et P(X > t) = e^(−λt) pour t ≥ 0.
L'espérance vaut 1/λ : connaître la durée moyenne donne λ, et réciproquement.
Absence de mémoire : P(X > s+t | X > s) = P(X > t), le « déjà vécu » ne compte pas.
Pour un intervalle, on soustrait : P(a ≤ X ≤ b) = e^(−λa) − e^(−λb).
Pour une densité, l'aire totale sous la courbe doit valoir 1 : cela fixe une constante inconnue.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent la progression de l'option : on commence par appliquer les formules, puis on traite des intervalles, l'absence de mémoire, et enfin des situations où il faut retrouver le paramètre ou une constante de densité. Cherche d'abord seul, avec une feuille et une calculatrice, avant d'ouvrir les indices. Ne regarde la correction qu'une fois ta propre réponse écrite : c'est en comparant ta méthode à la correction que tu progresses.

La loi exponentielle est une loi de probabilité continue, à valeurs réelles positives ³. Elle sert à modéliser des durées : par exemple la durée entre deux appels téléphoniques ou la durée de vie d'un composant ². Le programme demande de savoir déterminer si une fonction est une densité de probabilité et de calculer des probabilités ².

Les exercices

Exercice 1 Une première probabilité

★☆☆Environ 5 min

La durée d'attente $X$ (en minutes) d'un client à un guichet suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}5$ .

Calcule la probabilité que le client attende au plus 2 minutes. Donne la valeur exacte puis une valeur arrondie à $10^{-4}$ .

Indice 1

« Au plus 2 minutes » se traduit par $P(X \leq 2)$ .

Indice 2

Utilise la fonction de répartition $1 - e^{-\lambda t}$ .

Voir la correction pas à pas

On traduit la question : on cherche $P(X \leq 2)$ .
On applique la formule : $P(X \leq 2) = 1 - e^{-0{,}5 \times 2}$ .
On calcule l'exposant : $0{,}5 \times 2 = 1$ , donc $P(X \leq 2) = 1 - e^{-1}$ .
À la calculatrice, $e^{-1} \approx 0{,}3679$ , d'où $P(X \leq 2) \approx 0{,}6321$ .

La probabilité d'attendre au plus 2 minutes vaut $1 - e^{-1} \approx 0{,}6321$ , soit environ 63 %.

Exercice 2 Du temps moyen au paramètre

★☆☆Environ 4 min

La durée de fonctionnement $X$ (en heures) d'un composant électronique suit une loi exponentielle. On sait que sa durée de vie moyenne est de 8 heures.

Détermine le paramètre $\lambda$ de cette loi.

Indice 1

Pour une loi exponentielle, l'espérance est l'inverse du paramètre.

Indice 2

Écris $E(X) = \frac{1}{\lambda}$ et isole $\lambda$ .

Voir la correction pas à pas

On sait que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ pour une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ .
On remplace : $\dfrac{1}{\lambda} = 8$ .
On inverse les deux membres : $\lambda = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ .

Le paramètre est $\lambda = \frac{1}{8} = 0{,}125$ , exprimé en « par heure ». Le résultat sert à l'exercice suivant.

Exercice 3 Survivre au-delà d'un seuil

★☆☆Environ 5 min

Avec le composant de l'exercice précédent ( $\lambda = 0{,}125$ par heure), calcule la probabilité qu'il fonctionne plus de 4 heures. Arrondis à $10^{-4}$ .

Indice 1

« Plus de 4 heures » correspond à $P(X > 4)$ .

Indice 2

Utilise $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ .

Voir la correction pas à pas

On cherche $P(X > 4)$ .
On applique $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ avec $\lambda = 0{,}125$ et $t = 4$ .
L'exposant vaut $-0{,}125 \times 4 = -0{,}5$ .
On obtient $P(X > 4) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065$ .

Le composant fonctionne plus de 4 heures avec une probabilité d'environ $0{,}6065$ . Remarque : cette durée est la moitié de la durée moyenne, et la probabilité est pourtant supérieure à $\frac{1}{2}$ .

Exercice 4 Une probabilité entre deux bornes

★★☆Environ 8 min

La durée $X$ (en minutes) entre deux appels reçus par un standard suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}1$ .

Calcule la probabilité que la durée entre deux appels soit comprise entre 5 et 10 minutes. Arrondis à $10^{-4}$ .

Indice 1

Écris $P(5 \leq X \leq 10) = P(X \leq 10) - P(X \leq 5)$ , ou utilise les probabilités de dépassement.

Indice 2

Avec les dépassements : $P(5 \leq X \leq 10) = P(X > 5) - P(X > 10)$ .

Voir la correction pas à pas

On décompose : $P(5 \leq X \leq 10) = P(X > 5) - P(X > 10)$ , car l'événement « dépasser 5 » contient « dépasser 10 ».
On calcule $P(X > 5) = e^{-0{,}1 \times 5} = e^{-0{,}5} \approx 0{,}6065$ .
On calcule $P(X > 10) = e^{-0{,}1 \times 10} = e^{-1} \approx 0{,}3679$ .
On soustrait : $0{,}6065 - 0{,}3679 = 0{,}2386$ avec ces arrondis. En gardant les valeurs non arrondies, on trouve $0{,}2387$ .

La probabilité vaut $e^{-0{,}5} - e^{-1} \approx 0{,}2387$ . Arrondir seulement à la fin évite l'écart d'un dernier chiffre observé à l'étape précédente.

Exercice 5 Utiliser l'absence de mémoire

★★☆Environ 8 min

La durée de vie $X$ (en heures) d'une ampoule suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0{,}02$ . On constate qu'elle fonctionne toujours après 30 heures.

Quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore à la 80e heure, c'est-à-dire $P_{X > 30}(X > 80)$ ? Arrondis à $10^{-4}$ .

Indice 1

Entre 30 h et 80 h, il s'écoule combien de temps ?

Indice 2

L'absence de mémoire dit que $P_{X > 30}(X > 30 + s) = P(X > s)$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $80 = 30 + 50$ , donc la durée supplémentaire à tenir est de 50 heures.
Par absence de mémoire, $P_{X > 30}(X > 80) = P(X > 50)$ .
On calcule $P(X > 50) = e^{-0{,}02 \times 50} = e^{-1}$ .
Valeur : $e^{-1} \approx 0{,}3679$ .

La probabilité vaut $e^{-1} \approx 0{,}3679$ . Le fait d'avoir déjà tenu 30 heures n'a aucune influence : l'ampoule repart comme neuve, ce qui est la signification de « sans vieillissement ».

Exercice 6 Retrouver le paramètre à partir d'une médiane

★★☆Environ 10 min

Une variable $X$ (en années) suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ inconnu. On sait que $P(X \leq 3) = 0{,}5$ .

Détermine la valeur exacte de $\lambda$ , puis une valeur approchée à $10^{-4}$ .

Indice 1

Traduis $P(X \leq 3) = 0{,}5$ avec la fonction de répartition.

Indice 2

Pour isoler $\lambda$ dans l'exposant, applique le logarithme népérien.

Voir la correction pas à pas

On écrit $1 - e^{-3\lambda} = 0{,}5$ .
On isole l'exponentielle : $e^{-3\lambda} = 0{,}5$ .
On applique $\ln$ aux deux membres : $-3\lambda = \ln(0{,}5) = -\ln 2$ .
On divise par $-3$ : $\lambda = \dfrac{\ln 2}{3}$ .
À la calculatrice, $\lambda \approx 0{,}2310$ .

On trouve $\lambda = \frac{\ln 2}{3} \approx 0{,}2310$ . Ici, 3 ans est la durée qu'une moitié des cas ne dépasse pas : c'est la médiane de la loi.

Exercice 7 Une constante pour que f soit une densité

★★★Environ 12 min

Soit $k$ un réel et $f$ la fonction définie par $f(x) = k\,e^{-3x}$ pour $x \geq 0$ et $f(x) = 0$ pour $x < 0$ .

Détermine $k$ pour que $f$ soit une densité de probabilité.
Reconnais alors la loi suivie par une variable de densité $f$ et donne son espérance.

Indice 1

Une densité de probabilité est positive et l'aire totale sous sa courbe vaut 1.

Indice 2

Calcule $\int_0^{A} k\,e^{-3x}\,dx$ avec une primitive de $e^{-3x}$ , puis fais tendre $A$ vers $+\infty$ .

Voir la correction pas à pas

Pour que $f$ soit positive, il faut $k \geq 0$ .
On calcule $\int_0^{A} k\,e^{-3x}\,dx = k\left[-\dfrac{1}{3}e^{-3x}\right]_0^{A} = \dfrac{k}{3}\left(1 - e^{-3A}\right)$ .
Quand $A$ tend vers $+\infty$ , $e^{-3A}$ tend vers $0$ , donc l'intégrale tend vers $\dfrac{k}{3}$ .
On impose l'aire totale égale à 1 : $\dfrac{k}{3} = 1$ , donc $k = 3$ .
Avec $k = 3$ , $f(x) = 3e^{-3x}$ sur $\mathbb{R}^+$ : c'est la densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 3$ ³.
Son espérance est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{3}$ .

On obtient $k = 3$ . Remarque utile : dans une densité exponentielle, la constante devant l'exponentielle est égale au paramètre $\lambda$ .

Exercice 8 Demi-vie d'un échantillon

★★★Environ 15 min

On modélise la durée de vie $X$ (en années) d'un atome d'un échantillon radioactif par une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ . Cette modélisation correspond à la notion de demi-vie d'un grand échantillon d'atomes ². On suppose que la probabilité qu'un atome ait disparu au bout de 10 ans vaut $0{,}5$ .

Calcule $\lambda$ .
Quelle proportion de l'échantillon reste présente au bout de 25 ans ? Arrondis à $10^{-4}$ .

Indice 1

Même démarche que pour la médiane : $P(X \leq 10) = 0{,}5$ .

Indice 2

Une proportion restante au bout de 25 ans se lit comme $P(X > 25)$ .

Indice 3

Tu peux écrire $\lambda \times 25 = \ln 2 \times 2{,}5$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit $P(X \leq 10) = 1 - e^{-10\lambda} = 0{,}5$ , donc $e^{-10\lambda} = 0{,}5$ .
Avec le logarithme népérien : $-10\lambda = -\ln 2$ , donc $\lambda = \dfrac{\ln 2}{10} \approx 0{,}0693$ .
La proportion restante après 25 ans est $P(X > 25) = e^{-25\lambda}$ .
On remplace : $25\lambda = 25 \times \dfrac{\ln 2}{10} = 2{,}5\ln 2$ , donc $P(X > 25) = e^{-2{,}5\ln 2} = 2^{-2{,}5}$ .
À la calculatrice, $2^{-2{,}5} \approx 0{,}1768$ .

Il reste environ 17,68 % de l'échantillon au bout de 25 ans. Contrôle de cohérence : 25 ans valent deux demi-vies et demie, donc il reste un peu moins d'un quart, ce qui est bien le cas.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut utiliser $P(X \leq t)$ ou $P(X > t)$ ?

Lis la question en repérant les mots : « au plus », « moins de », « avant » donnent $P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$ ; « plus de », « au moins », « après » donnent $P(X > t) = e^{-\lambda t}$ . Pour un intervalle « entre $a$ et $b$ », on soustrait deux probabilités. Un contrôle simple : $P(X > t)$ doit diminuer quand $t$ augmente, alors que $P(X \leq t)$ augmente.

L'absence de mémoire signifie-t-elle que la probabilité ne change jamais avec le temps ?

Non. La probabilité de dépasser une durée $t$ diminue bien avec $t$ . L'absence de mémoire dit autre chose : savoir que le phénomène a déjà duré un certain temps ne modifie pas la probabilité de durer encore un temps donné à partir de maintenant ³. Autrement dit, $P_{X > s}(X > s+t) = P(X > t)$ : le passé n'intervient pas dans le futur.

Que faire quand l'énoncé ne donne ni $\lambda$ ni l'espérance ?

Cherche une probabilité donnée, par exemple $P(X \leq 3) = 0{,}5$ . Traduis-la avec la fonction de répartition, isole l'exponentielle, puis utilise le logarithme népérien pour récupérer $\lambda$ , comme dans l'exercice sur la médiane. Si l'énoncé fournit une moyenne, utilise $\lambda = \frac{1}{E(X)}$ ³.

Sources

Programme visé : Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale - Option Mathématiques complémentaires · Ministère de l'Éducation nationale

Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale - Option Mathématiques complémentaires, Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressources Éduscol - Lois de probabilité continues (Annexe), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Loi exponentielle, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

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Exercice 1 Une première probabilité

Exercice 2 Du temps moyen au paramètre

Exercice 3 Survivre au-delà d'un seuil

Exercice 4 Une probabilité entre deux bornes

Exercice 5 Utiliser l'absence de mémoire

Exercice 6 Retrouver le paramètre à partir d'une médiane

Exercice 7 Une constante pour que f soit une densité

Exercice 8 Demi-vie d'un échantillon

Les questions qu'on se pose

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