Loi exponentielle : quiz de Terminale (option maths complémentaires)
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La loi exponentielle de paramètre λ>0 est continue et prend ses valeurs dans R+3.
Sa densité est f(x)=λe−λx pour x≥0, et sa fonction de répartition vérifie P(X≤x)=1−e−λx.
Son espérance vaut E(X)=λ1 : le paramètre est l'inverse de la moyenne 3.
Elle modélise une durée de vie sans vieillissement : c'est la propriété d'absence de mémoire 3.
Avant de commencer
Ce quiz couvre toute la notion de loi exponentielle telle qu'elle est abordée en option de mathématiques complémentaires : la loi est introduite avec sa fonction densité, sa fonction de répartition et son espérance, et on y apprend à déterminer si une fonction est une densité et à calculer des probabilités 2. Tu retrouveras aussi la propriété d'absence de mémoire, point de départ possible de l'introduction de cette loi 1.
Quiz
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La loi exponentielle est une loi continue à valeurs réelles positives 3 : une durée ne peut pas être négative. Les entiers naturels sont tentants parce qu'on pense à la loi binomiale ou à la loi géométrique, mais ces lois sont discrètes, alors que la loi exponentielle est continue 2. L'intervalle [0;1] correspond plutôt à la loi uniforme standard.
La densité de la loi exponentielle de paramètre λ>0 est λe−λx sur R+3. Le facteur λ est indispensable : sans lui, l'aire sous la courbe vaudrait λ1 et non 1, donc ce ne serait pas une densité (la proposition e−λx seule en est un exemple). L'exposant positif eλx donnerait une fonction qui croît sans limite, d'aire infinie.
On utilise la fonction de répartition : P(X≤2)=1−e−0,5×2=1−e−1≈0,6323. L'erreur fréquente est de répondre e−1≈0,368, qui est la probabilité du contraire, P(X>2).
On a P(X>3)=e−0,2×3=e−0,6≈0,549. Passer par le contraire donne le même résultat : 1−(1−e−0,6). Répondre 0,451 revient à calculer P(X≤3), c'est-à-dire l'événement inverse de celui demandé.
Une loi exponentielle modélise une durée de vie sans vieillissement : la probabilité de durer au moins s+t heures sachant qu'on a déjà duré t heures est la même que celle de durer s heures dès la mise en fonction 3. La première proposition décrit au contraire un phénomène avec usure, comme une pièce mécanique qui vieillit.
Le paramètre est l'inverse de l'espérance : λ=E(X)13, donc E(X)=0,251=4. Répondre 0,25 confond le paramètre et la moyenne.
Comme λ=E(X)13, on obtient λ=201=0,05. Si l'on répond 20, on prend la moyenne pour le paramètre : l'unité de λ est l'inverse d'une durée (ici « par heure »).
La durée entre deux appels téléphoniques et la durée de vie d'un composant font partie des exemples cités pour la loi exponentielle 2. Le nombre de « pile » sur 10 lancers relève de la loi binomiale, une loi discrète. La taille d'un élève est une grandeur qui se répartit autour d'une valeur centrale et n'a rien d'une durée sans mémoire.
Par absence de mémoire 3, PT>3(T>5)=P(T>2)=e−0,1×2=e−0,2≈0,819. Calculer P(T>5)=e−0,5≈0,607 serait oublier la condition : on sait déjà que 3 jours se sont écoulés, il ne reste que 2 jours à franchir.
Vrai. Pour une loi à densité, la probabilité d'une valeur isolée est nulle : l'aire sous la courbe entre 3 et 3 est nulle. Cela ne veut pas dire que 3 est impossible, mais que seules les probabilités d'intervalles ont un sens. Cette idée est la même qu'avec la loi uniforme du chapitre précédent.
La fonction de répartition est une primitive de la densité qui vaut 0 en 0 3 : on obtient F(x)=1−e−λx. La proposition e−λx est P(X>x), et λe−λx est la densité elle-même. La dernière est négative pour x>0, donc ne peut pas être une probabilité.
On écrit P(1≤X≤3)=F(3)−F(1)=e−0,5−e−1,5≈0,6065−0,2231≈0,383. Une erreur courante est de calculer F(3)×F(1) ou F(3−1) : les probabilités d'intervalles se soustraient, elles ne se multiplient pas.
Comme E(X)=λ13, remplacer λ par 2λ donne 2λ1, soit la moitié. Penser qu'elle double revient à croire que λ est proportionnel à la moyenne, alors qu'il en est l'inverse : un λ plus grand signifie des durées plus courtes.
Faux. Une ampoule à filament ne suit une loi exponentielle qu'en première approximation, car son filament s'évapore et elle s'use 3. C'est précisément ce qui la distingue d'une ampoule à LED, dont la durée de vie est donnée en exemple de phénomène sans usure 3.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction est une densité de probabilité ?
Il faut vérifier trois choses : la fonction est positive sur son domaine, continue (au moins par morceaux) et l'aire totale sous sa courbe vaut 1. C'est l'un des savoir-faire attendus avec la loi exponentielle 2. Pour f(x)=λe−λx sur R+, l'aire entre 0 et A vaut 1−e−λA, qui tend vers 1 quand A devient grand.
Pourquoi dit-on que la loi exponentielle est « sans mémoire » ?
Parce que le temps déjà écoulé ne change rien à ce qui reste à attendre : la probabilité de durer encore s unités sachant qu'on a déjà duré t unités est la même que celle de durer s unités depuis le début 3. La loi exponentielle peut d'ailleurs être introduite à partir de cette propriété 1. Concrètement, on calcule PX>t(X>t+s)=P(X>s)=e−λs.
Quelle différence entre le paramètre $\lambda$ et l'espérance ?
Ce sont deux inverses l'un de l'autre : E(X)=λ13. Si les appels arrivent en moyenne toutes les 5 minutes, alors E(X)=5 et λ=0,2 par minute. Pour t'éviter l'erreur, écris toujours l'unité : λ s'exprime en « par minute », l'espérance en minutes.