Limites de suites : cours de Terminale (maths complémentaires)

Dans les chapitres précédents, tu as modélisé des phénomènes discrets avec des suites arithmétiques, géométriques, puis arithmético-géométriques. Une question revient toujours : que devient le phénomène quand le temps passe indéfiniment ? Une population se stabilise-t-elle ? Un capital explose-t-il ? Une concentration de médicament tend-elle vers zéro ? Répondre, c'est étudier le comportement de $u_n$ quand $n$ devient très grand : c'est l'étude de la limite de la suite.

Le programme de mathématiques complémentaires place la notion de limite, pour les suites comme pour les fonctions, parmi ses objectifs importants, au service de la modélisation de phénomènes discrets et continus ². Il prévoit une approche intuitive de la limite finie ou infinie, les opérations sur les limites, la limite d'une suite géométrique de raison positive, et ce que devient la somme de ses termes quand la raison est comprise entre $0$ et $1$ ². Ce cours suit ce plan et y ajoute, en approfondissement, une définition précise de la limite et deux théorèmes d'existence.

Dans ce cours, tu apprendras à :

• comprendre ce que veut dire « $u_n$ se rapproche de $\ell$ » avec une définition précise ;
• distinguer suite convergente, suite qui tend vers l'infini et suite sans limite ;
• calculer des limites avec les suites de référence et les opérations ;
• traiter le cas fondamental des suites géométriques ;
• utiliser deux théorèmes d'existence : les gendarmes et la limite monotone.

De manière intuitive, la limite d'une suite est la valeur dont les termes se rapprochent quand les indices deviennent très grands ⁴. Une suite possède une limite si ses points s'approchent toujours plus de cette valeur lorsque l'indice augmente sans arrêt ⁵.

Prenons $u_n=\dfrac1n$ pour $n\ge1$. Les premiers termes valent $1$, $0{,}5$, $0{,}333\dots$, $0{,}25$, puis $u_{10}=0{,}1$, $u_{100}=0{,}01$, $u_{1000}=0{,}001$. Les termes diminuent et se collent à $0$ sans jamais l'atteindre. On dira que la limite est $0$.

Traduisons. Choisis un intervalle ouvert $]\ell-\varepsilon\,;\,\ell+\varepsilon[$ aussi étroit que tu veux. Il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n\ge N$, on a $\ell-\varepsilon<u_n<\ell+\varepsilon$, c'est-à-dire $|u_n-\ell|<\varepsilon$. Seul un nombre fini de termes (ceux de rang inférieur à $N$) peuvent sortir de l'intervalle.

Pour les puissances de $n$, retiens que $n^2$, $n^3$, etc. tendent vers $+\infty$ comme $n$, et que $\frac1{n^2}$, $\frac1{n^3}$ tendent vers $0$ comme $\frac1n$. Ces résultats se déduisent des suites de référence et des opérations de la section suivante.

Calculer une limite à partir de la définition serait long. Le programme prévoit donc les opérations sur les limites, abordées d'abord de façon intuitive ². Voici ce que l'on utilise, en notant $\ell$ et $\ell'$ des réels.

Le programme attend que tu saches déterminer la limite d'une suite géométrique dont la raison est positive ². Étudions $q^n$ pour $q>0$.

Le programme étudie aussi ce que devient l'addition des premiers termes d'une suite géométrique quand la raison est strictement comprise entre $0$ et $1$ ². L'idée : on additionne des termes de plus en plus petits, et la somme finit par se stabiliser.

Parfois, on ne sait pas calculer la limite, mais on peut prouver qu'elle existe, ou l'enfermer entre deux suites qu'on maîtrise.