Limites de suites : exercices corrigés de Terminale

Pour a, la suite est géométrique de raison $1{,}1>1$ et de premier terme positif : ses termes grandissent sans borne, donc la limite est $+\infty$ ².

Pour b, la raison $0{,}9$ est comprise entre 0 et 1 : les puissances se rapprochent de 0, donc la limite est $0$ ².

Pour c, la suite $\sqrt n$ tend vers $+\infty$, donc son opposée tend vers $-\infty$ ³.

Pour d, les termes valent tour à tour $1$ et $-1$ : ils ne se rapprochent d'aucun nombre, donc la suite n'a pas de limite ³.

Pour e, le terme $0{,}5^n$ tend vers 0 (raison entre 0 et 1), donc $3\times 0{,}5^n$ aussi. Par opérations sur les limites, $s_n$ tend vers $5$ ².

La suite est géométrique de raison $1{,}5>1$ et de premier terme $2>0$ : sa limite est $+\infty$ ².

On résout $2\times 1{,}5^n>1000$, soit $1{,}5^n>500$.

On applique le logarithme népérien : $n\ln 1{,}5>\ln 500$, donc $n>\dfrac{\ln 500}{\ln 1{,}5}\approx 15{,}3$.

Le plus petit entier convenable est $16$.

Vérification : $u_{15}\approx 875{,}9<1000$ et $u_{16}\approx 1313{,}8>1000$. Le rang $16$ est donc bien le premier.

La raison $0{,}9$ est strictement comprise entre 0 et 1 : $(e_n)$ a pour limite $0$ ².

On résout $100\times 0{,}9^n<1$, soit $0{,}9^n<0{,}01$.

On applique $\ln$ : $n\ln 0{,}9<\ln 0{,}01$.

Comme $\ln 0{,}9<0$, on divise en inversant l'inégalité : $n>\dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}9}\approx 43{,}7$.

Le plus petit entier est $44$. Vérification : $e_{43}\approx 1{,}08>1$ et $e_{44}\approx 0{,}97<1$.

On factorise le premier terme : $S_n=8\left(1+\dfrac12+\dots+\left(\dfrac12\right)^n\right)=8\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\frac12}=16\left(1-\left(\dfrac12\right)^{n+1}\right)$.

La raison $\dfrac12$ est positive et strictement inférieure à 1 : $\left(\dfrac12\right)^{n+1}$ tend vers $0$ ².

Par opérations sur les limites, $S_n$ tend vers $16\times(1-0)=16$ ².

Chaque terme $a_n$ est strictement positif, donc $S_n<16$ pour tout $n$ : la somme se rapproche de $16$ sans jamais l'atteindre.

On résout $\ell=0{,}5\ell+3$ : $0{,}5\ell=3$, donc $\ell=6$.

On calcule $v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5u_n+3-6=0{,}5u_n-3=0{,}5(u_n-6)=0{,}5\,v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $v_0=10-6=4$.

On en déduit $v_n=4\times 0{,}5^n$, donc $u_n=6+4\times 0{,}5^n$.

La raison $0{,}5$ est strictement comprise entre 0 et 1 : $0{,}5^n$ tend vers 0 ². Donc $(u_n)$ converge vers $6$.

Cohérence : la suite décroît de 10 vers 6 et reste au-dessus de 6, ce qui s'accorde avec la forme obtenue.

Pour tout $n$, $-1\leq(-1)^n\leq 1$. On ajoute $3n$ puis on divise par $n>0$ : $\dfrac{3n-1}{n}\leq u_n\leq\dfrac{3n+1}{n}$, soit $3-\dfrac1n\leq u_n\leq 3+\dfrac1n$.

Les suites $3-\dfrac1n$ et $3+\dfrac1n$ convergent vers $3$, car $\dfrac1n$ est une suite de référence de limite 0 ³.

La suite $(u_n)$ est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite $3$ : d'après le théorème des gendarmes, elle converge vers $3$ ⁴.

La suite $(-1)^n$ n'a pas de limite ³. Mais elle est divisée par $n$ qui grandit, donc le terme $\dfrac{(-1)^n}{n}$ devient de plus en plus petit : c'est ce qui rend la limite de $u_n$ possible malgré l'oscillation.

On résout $\ell=0{,}8\ell+12$ : $0{,}2\ell=12$, donc $\ell=60$.

On pose $d_n=c_n-60$. Alors $d_{n+1}=0{,}8c_n+12-60=0{,}8c_n-48=0{,}8(c_n-60)=0{,}8\,d_n$. La suite $(d_n)$ est géométrique de raison $0{,}8$ et de premier terme $d_0=5-60=-55$.

On en déduit $d_n=-55\times 0{,}8^n$ et $c_n=60-55\times 0{,}8^n$.

La raison $0{,}8$ est strictement comprise entre 0 et 1 : $0{,}8^n$ tend vers 0 ². Donc $(c_n)$ converge vers $60$.

Comme $55\times 0{,}8^n>0$ pour tout $n$, on a $c_n<60$. La suite est croissante et majorée par $60$ : elle converge, ce qui est cohérent avec le théorème de la limite monotone ⁵. La quantité ne dépasse jamais $60$ mg.

L'inéquation $60-55\times 0{,}8^n>59$ équivaut à $55\times 0{,}8^n<1$, soit $0{,}8^n<\dfrac1{55}$.

On applique $\ln$ : $n\ln 0{,}8<-\ln 55$.

Comme $\ln 0{,}8<0$, on divise en inversant : $n>\dfrac{\ln 55}{-\ln 0{,}8}=\dfrac{\ln 55}{\ln 1{,}25}\approx 17{,}96$.

Le plus petit entier est $18$.

Vérification : $c_{17}\approx 58{,}76<59$ et $c_{18}\approx 59{,}01>59$.

Comme $(c_n)$ est croissante, l'inégalité $c_n>59$ reste vraie pour tous les rangs suivants.

Pour a, la suite est croissante et majorée : elle converge, et sa limite est inférieure ou égale à $10$ ⁵³.

Pour b, la suite est croissante mais on ne dispose que d'un minorant. Cette information est inutile avec la croissance : on ne peut pas conclure (par exemple $q_n=n$ tend vers $+\infty$, alors que $q_n=1-\dfrac1{n+1}$ converge).

Pour c, la suite est croissante et non majorée : elle tend vers $+\infty$ ³.

Pour d, la suite est décroissante et minorée par $-4$ : par le théorème de la limite monotone, elle converge, et sa limite est supérieure ou égale à $-4$ ⁵.