Nombres premiers et décomposition : cours de Terminale expertes

Supposons que $p$ divise $ab$ et que $p$ ne divise pas $a$. D'après la propriété précédente, $p$ et $a$ sont premiers entre eux. Comme $p$ divise $ab$, le théorème de Gauss donne : $p$ divise $b$. Donc $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. $\blacksquare$

Soit $n$ un entier composé. Il s'écrit $n=ab$ avec $1<a\leqslant b<n$. On a alors $a^2\leqslant ab=n$, donc $a\leqslant\sqrt{n}$.

L'entier $a$ est supérieur ou égal à 2, donc il possède un plus petit diviseur supérieur ou égal à 2 ; ce diviseur est nécessairement premier (sinon il aurait lui-même un diviseur plus petit, qui diviserait aussi $a$). Appelons-le $p$. On a $p\leqslant a\leqslant\sqrt{n}$, et $p$ divise $a$, donc divise $n$. Ainsi, tout entier composé admet un diviseur premier $p\leqslant\sqrt{n}$. Le critère en découle par contraposée. $\blacksquare$

On raisonne par récurrence forte sur $n\geqslant 2$. Supposons que tout entier $m$ vérifiant $2\leqslant m<n$ est un produit de nombres premiers.

• Si $n$ est premier, il est lui-même un produit d'un seul facteur premier.
• Si $n$ est composé, on peut écrire $n=ab$ avec $1<a<n$ et $1<b<n$. Par hypothèse de récurrence, $a$ et $b$ sont des produits de nombres premiers. Donc $n=ab$ aussi.

La propriété est donc vraie pour tout entier $n\geqslant 2$. $\blacksquare$

Supposons que $n=p_1p_2\cdots p_r=q_1q_2\cdots q_s$ où tous les $p_i$ et $q_j$ sont premiers. On montre par récurrence sur $r$ que les deux listes contiennent les mêmes nombres, avec les mêmes multiplicités.

Le nombre premier $p_1$ divise le produit $q_1q_2\cdots q_s$. En appliquant le lemme d'Euclide autant de fois que nécessaire, $p_1$ divise l'un des $q_j$. Comme $q_j$ est premier, ses seuls diviseurs positifs sont 1 et $q_j$ ; et $p_1\neq 1$, donc $p_1=q_j$.

On simplifie alors par $p_1$ dans l'égalité : il reste $p_2\cdots p_r$ égal au produit des $q$ restants, avec un facteur de moins de chaque côté. On recommence jusqu'à épuisement des facteurs. Les deux listes sont donc identiques à l'ordre près. $\blacksquare$

Si $d$ divise $n$, alors $n=dd'$ pour un entier $d'$. Par unicité de la décomposition, les exposants de $d$ et de $d'$ s'additionnent pour donner ceux de $n$ : l'exposant $b_i$ de $p_i$ dans $d$ vérifie donc $b_i\leqslant a_i$, et $d$ n'a aucun autre facteur premier que ceux de $n$. Réciproquement, tout produit de cette forme divise $n$.

Pour chaque $i$, il y a $a_i+1$ choix possibles pour $b_i$ (les valeurs $0,1,\dots,a_i$), et deux choix différents donnent deux entiers différents par unicité. Le nombre total de diviseurs est le produit $(a_1+1)\cdots(a_k+1)$. $\blacksquare$

Supposons $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers strictement positifs. Alors $a^2=2b^2$.

Dans la décomposition de $a^2$, l'exposant de 2 est pair (double de celui de $a$). Dans celle de $2b^2$, l'exposant de 2 est impair (1 plus un nombre pair). Or, par unicité de la décomposition, l'exposant de 2 est le même des deux côtés de l'égalité : contradiction. Donc $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel. $\blacksquare$

Supposons qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers $p_1,\dots,p_r$. Posons $N=p_1p_2\cdots p_r+1$. L'entier $N$ est supérieur ou égal à 2, donc il admet un diviseur premier $q$, d'après le théorème fondamental. Ce $q$ est l'un des $p_i$, donc divise $p_1\cdots p_r$ ; il divise alors $N-p_1\cdots p_r=1$, ce qui est absurde. Il y a donc une infinité de nombres premiers. $\blacksquare$