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Nombres premiers et décomposition : quiz de Terminale expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs entiers positifs ; 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés 3.
- Tout entier composé s'écrit comme produit de nombres premiers, et cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près 3.
- Pour décomposer, on teste les divisions par les nombres premiers successifs, et on s'arrête quand on atteint √n 4.
- La décomposition donne les diviseurs, le PGCD et le PPCM, mais elle devient impraticable pour de très grands nombres 34.
Avant de commencer
Ce quiz couvre les nombres premiers et la décomposition en produit de facteurs premiers, après les congruences, le PGCD, le théorème de Bézout et le théorème de Gauss. Il t'oblige à reconnaître un nombre premier, à décomposer un entier, à utiliser l'unicité de la décomposition et à relier cette notion à ses applications.
Réponds d'abord sans calculatrice quand c'est possible, puis vérifie. Chaque explication dit pourquoi la bonne réponse est juste et pourquoi l'erreur tentante est fausse : lis-les même quand tu as bon, elles rappellent les pièges classiques.
Quiz
15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs entiers positifs ; 1 n'en a qu'un seul, lui-même 3. Cette exclusion garantit aussi un énoncé simple du théorème fondamental de l'arithmétique 3. L'imparité n'a rien à voir : 3 est impair et premier, et 2 est pair et premier. Être divisible par tous les entiers est la situation de 0, pas de 1 : le seul diviseur positif de 1 est 1.
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61 n'est divisible ni par 2, 3, 5 ni par 7, et : il n'y a rien d'autre à tester, donc 61 est premier 4. Les trois autres sont des pièges classiques : (somme des chiffres 6), (somme des chiffres 12) et , que beaucoup prennent pour premier parce qu'il n'est divisible ni par 2, 3 ni 5.
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Faux. Le nombre 0 est divisible par tous les entiers positifs, il en a donc une infinité et non deux ; il n'est ni premier ni composé 3. On pourrait croire qu'« il n'est divisible que par lui-même » comme 1 : c'est l'inverse, 0 est un multiple de tout entier.
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. Les facteurs doivent tous être premiers 4. Les propositions avec 10 ou 15 s'arrêtent trop tôt, car ces nombres sont composés. La dernière propose des facteurs premiers mais son produit vaut , pas 360.
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Les facteurs premiers sont 2, 3, 11 et 13 ; le plus grand est 13. L'erreur tentante est de répondre 121, qui apparaît dans l'écriture mais n'est pas premier () : un facteur premier est un nombre premier, pas une puissance. La décomposition de 9438 se retrouve en divisant successivement par les nombres premiers croissants 4.
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Il suffit de connaître les nombres premiers inférieurs ou égaux à pour décider de l'arrêt 4. Ici , donc on teste 2, 3, 5, 7, 11 et 13 ; aucun ne divise 211, qui est premier. S'arrêter à 11 oublie 13. Aller jusqu'à 17 est inutile, et 105 correspond à la moitié du nombre, une borne correcte mais très coûteuse.
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La décomposition permet de déterminer le nombre de diviseurs 1. Un diviseur s'écrit avec , , , soit choix. L'erreur fréquente est de multiplier les exposants () au lieu d'ajouter 1 à chacun : on oublie l'exposant 0, qui correspond à l'absence du facteur.
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2, 17 et 29 n'ont que deux diviseurs positifs. Le nombre 2 est premier bien que pair : c'est même le seul nombre pair premier. Les nombres 9 et 27 sont des puissances de 3 ( et ), donc composés. Une erreur fréquente est de croire que tout nombre impair est premier.
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La décomposition permet de déterminer le PGCD et le PPCM 3. Pour le PGCD, on garde chaque facteur commun avec le plus petit exposant : . Prendre le plus grand exposant donnerait , qui ne divise pas 84 : cette règle sert au PPCM, pas au PGCD.
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Tous les exposants sont pairs, donc . On vérifie : . L'erreur tentante est de diviser seulement un exposant par deux, ou de garder les exposants tels quels, ce qui donnerait un nombre dont le carré est bien plus grand que .
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Les divisions par 2, 3 et 5 échouent, mais 4. Il ne faut pas conclure trop vite que 1001 est premier parce qu'il n'est pas divisible par les petits nombres 2, 3, 5 : on teste jusqu'à . L'écriture contient un facteur composé, puisque ; vaut 987.
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À chaque fois qu'on ajoute deux chiffres au nombre à factoriser, le temps de calcul est multiplié par 10 pour cet algorithme 4. Le nombre de candidats à tester dépend de : deux chiffres de plus multiplient par 100 et donc par 10. Répondre 100 confond et sa racine carrée.
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Vrai : c'est le résultat obtenu par Dirichlet en 1838 pour les progressions arithmétiques 3. La condition « premiers entre eux » est indispensable : avec et , tous les nombres sont pairs et supérieurs à 2, donc aucun n'est premier. Avec et , qui sont premiers entre eux, il existe bien une infinité de premiers.
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De nombreuses applications reposent sur la connaissance algorithmique des nombres premiers, et parfois sur la difficulté des problèmes qui leur sont liés, comme certains systèmes cryptographiques 3. Pour de grands nombres, la factorisation par essais est impraticable, alors qu'on dispose de tests de primalité rapides 3. La première proposition est donc l'inverse de la réalité ; les deux dernières sont sans fondement.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si un grand nombre est premier sans tout tester ?
Pourquoi la décomposition en facteurs premiers est-elle unique, et à quoi sert cette unicité ?
C'est le contenu du théorème fondamental de l'arithmétique : la factorisation d'un nombre composé en nombres premiers est unique à l'ordre des facteurs près 3. Cette unicité permet de comparer deux entiers facteur par facteur, donc de déterminer leur PGCD et leur PPCM, ou de compter leurs diviseurs 13. À l'examen, elle justifie qu'on lise une propriété d'un nombre directement sur sa décomposition.
Sources
- Ressource Éduscol — Arithmétique et divisibilité (Document 36770), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Ressource Éduscol — Nombres premiers et décomposition (Document 24574), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Nombre premier, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Algorithme de décomposition en produit de facteurs premiers, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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