Nombres premiers et décomposition : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs ; 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés.
Théorème fondamental : tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme produit de nombres premiers, de façon unique à l'ordre des facteurs près.
Pour décomposer n, on divise par les premiers successifs et on s'arrête quand le diviseur testé dépasse n.
Pour tester si n est premier, il suffit d'essayer les premiers inférieurs ou égaux à n.
La décomposition donne le nombre de diviseurs : si n=p1a1⋯pkak, il y en a (a1+1)⋯(ak+1).
Définitions à connaître
Le théorème fondamental de l'arithmétique
Méthode : décomposer un entier
Pièges et limites
Questions flash
6 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
59 n'est divisible par aucun premier inférieur à 59≈7,7 (2, 3, 5, 7), donc il est premier. Le nombre 1 est écarté parce qu'il n'a qu'un seul diviseur positif, alors qu'un premier en demande exactement deux. 51 vaut 3×17 et 57 vaut 3×19 : ces deux pièges tentent car ils ne sont ni pairs ni terminés par 5.
360=23×32×5 car 8×9×5=360. La première proposition contient 10, qui n'est pas premier. La troisième donne 8×3×25=600. La dernière contient 12, composé.
Avec 360=23×32×51, on calcule (3+1)(2+1)(1+1)=24. L'erreur tentante est d'additionner les exposants (3+2+1=6) ou de les multiplier sans ajouter 1.
401≈20,02 : il faut tester les premiers jusqu'à 19. S'arrêter à 7 est trop tôt : un diviseur premier égal à 11, 13, 17 ou 19 passerait inaperçu. Aller jusqu'à 200 ou 401 est inutile : si d divise n avec d>n, alors n/d est un diviseur plus petit que n, qu'on aurait déjà trouvé.
Vrai : tout entier pair supérieur à 2 est divisible par 2 en plus de 1 et de lui-même, donc il a au moins trois diviseurs. 2 n'a que deux diviseurs, 1 et 2.
Faux : un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs positifs, or 1 n'en a qu'un.3 L'argument « divisible seulement par 1 et lui-même » est tentant, mais ici 1 et lui-même sont le même nombre.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi l'unicité de la décomposition est-elle importante ?
Elle permet de comparer deux entiers à partir de leurs facteurs premiers, donc de déterminer PGCD, PPCM ou le nombre de diviseurs sans ambiguïté.3 Si une même valeur pouvait s'écrire de deux façons différentes, ces calculs ne seraient pas bien définis.
Faut-il savoir décomposer de grands nombres à la main ?
Non : la méthode des divisions successives n'est praticable que pour de petits nombres.4 On t'attend sur des entiers de taille raisonnable, avec les critères de divisibilité (par 2, 3, 5, 11) et la limite n pour arrêter les essais.
Comment gagner du temps pour tester si un nombre est premier ?
Calcule d'abord n pour fixer la borne, puis élimine rapidement 2, 3 et 5 avec les critères de divisibilité. Il ne reste que les premiers 7, 11, 13, etc. jusqu'à la borne n.4