Nombres premiers et décomposition : exercices de Terminale

$1\,260$ est pair : $1\,260=2\times630$.

$630$ est pair : $630=2\times315$. Puis $315$ est impair : on passe à 3.

La somme des chiffres de $315$ vaut $9$, divisible par 3 : $315=3\times105$, puis $105=3\times35$.

$35$ n'est plus divisible par 3 ; il est divisible par 5 : $35=5\times7$, et 7 est premier.

On regroupe : $1\,260=2^2\times3^2\times5\times7$. Vérification : $4\times9=36$ et $36\times35=1\,260$.

On a $19^2=361<391<400=20^2$, donc $\sqrt{391}$ est compris entre 19 et 20. Il suffit de tester les nombres premiers jusqu'à 19 ⁴.

391 est impair, donc non divisible par 2. La somme de ses chiffres vaut 13 : pas de division par 3. Il ne finit ni par 0 ni par 5.

$7\times55=385$, reste 6 : pas divisible par 7. $11\times35=385$, reste 6 : non. $13\times30=390$, reste 1 : non.

$17\times23=391$ : la division par 17 tombe juste.

$14^2=196<223<225=15^2$, donc $14<\sqrt{223}<15$. On teste les nombres premiers inférieurs ou égaux à 14 : 2, 3, 5, 7, 11, 13.

223 est impair ; la somme de ses chiffres est 7 (pas de 3) ; il ne finit ni par 0 ni par 5.

$7\times31=217$, reste 6. $11\times20=220$, reste 3. $13\times17=221$, reste 2.

Aucun reste n'est nul.

$360=2\times180=2^2\times90=2^3\times45=2^3\times3^2\times5$.

Si $d$ divise $n$, tout facteur premier de $d$ divise $n$ ; par unicité de la décomposition ³, $d=2^a\times3^b\times5^c$ avec $0\le a\le3$, $0\le b\le2$, $0\le c\le1$.

Choix possibles : $4$ valeurs pour $a$, $3$ pour $b$, $2$ pour $c$.

Chaque triplet $(a\,;b\,;c)$ donne un diviseur distinct (toujours par unicité) : $4\times3\times2=24$.

On a $1\,260=2^2\times3^2\times5^1\times7^1$.

Un carré $k^2$ a tous ses exposants pairs : si $k=\prod p_i^{e_i}$, alors $k^2=\prod p_i^{2e_i}$ (unicité de la décomposition ³).

Les exposants de 2 et de 3 sont déjà pairs. Ceux de 5 et de 7 sont impairs : il faut au moins un facteur 5 et un facteur 7 en plus.

Le plus petit $n$ possible est donc $5\times7=35$.

Contrôle : $1\,260\times35=44\,100=210^2$.

$840=2^3\times3\times5\times7$ car $8\times105=840$ et $105=3\times5\times7$.

$1\,050=2\times3\times5^2\times7$ car $1\,050=2\times525$ et $525=3\times5^2\times7$.

PGCD : $2^{1}\times3^{1}\times5^{1}\times7^{1}=210$.

PPCM : $2^{3}\times3^{1}\times5^{2}\times7^{1}=8\times3\times25\times7=4\,200$.

Contrôle : $210\times4\,200=882\,000$ et $840\times1\,050=882\,000$.

Si $n=\prod p_i^{e_i}$, le nombre de diviseurs vaut $\prod(e_i+1)$ (voir l'exercice de dénombrement).

Quatre profils : $e=11$ ; $(5\,;1)$ ; $(3\,;2)$ ; $(2\,;1\,;1)$.

Pour minimiser, on place les plus grands exposants sur les plus petits premiers : $2^{11}=2\,048$ ; $2^5\times3=96$ ; $2^3\times3^2=72$ ; $2^2\times3\times5=60$.

On compare : le plus petit est $60$. Contrôle : $60=2^2\times3\times5$ a bien $3\times2\times2=12$ diviseurs.

$M=2\,048-1=2\,047$. On a $45^2=2\,025<2\,047<2\,116=46^2$ : la borne est 45 ⁴.

Les tests par 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 échouent (par exemple $2\,047=7\times292+3$ et $2\,047=11\times186+1$).

Avec 23 : $23\times89=2\,047$ car $23\times90=2\,070$ et $2\,070-23=2\,047$.

89 est premier : $9^2=81<89<100$, et ni 2, 3, 5, 7 ne divisent 89 ($7\times12=84$, reste 5).

On a $n^2-1=(n-1)(n+1)$.

Cas $n=0$ : $n^2-1=-1$ n'est pas un nombre premier. Cas $n=1$ : on obtient $0$, qui n'est ni premier ni composé ³.

Cas $n=2$ : $n^2-1=3$, qui est premier.

Cas $n\ge3$ : $n-1\ge2$ et $n+1\ge4$, donc $n^2-1$ est le produit de deux entiers strictement supérieurs à 1. Il possède un diviseur autre que 1 et lui-même : il est composé.

Ainsi la seule valeur possible est $n=2$.