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Le petit théorème de Fermat : cours de Terminale expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Si $p$ est premier et $a$ n'est pas multiple de $p$ , alors $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ ; pour tout entier $a$ , on a aussi $a^p\equiv a \pmod p$ .
Démonstration : les restes de $a, 2a, \dots, (p-1)a$ sont les entiers $1, \dots, p-1$ dans un autre ordre ; on compare les produits et on simplifie avec le théorème de Gauss.
Pour calculer $a^n$ modulo $p$ , on réduit l'exposant $n$ modulo $p-1$ ; l'inverse de $a$ modulo $p$ est $a^{p-2}$ .
Si $a^{p-1}\not\equiv 1 \pmod p$ avec $a$ non multiple de $p$ , alors $p$ n'est pas premier ; la réciproque n'est pas garantie.
Piège classique : oublier la condition « $a$ non multiple de $p$ », ou réduire l'exposant modulo $p$ au lieu de $p-1$ .

Pourquoi ce théorème et d'où vient-il ?

Tu sais déjà calculer un PGCD, utiliser le théorème de Bézout et celui de Gauss, et décomposer un entier en produit de facteurs premiers. Le petit théorème de Fermat s'appuie directement sur ces outils. Il répond à une question très concrète : comment trouver le reste de la division de $3^{100}$ par $7$ sans calculer un nombre de 48 chiffres ?

Ce résultat appartient à l'arithmétique modulaire, mais il peut aussi se démontrer avec les outils de l'arithmétique élémentaire ³. C'est exactement ce que tu vas faire dans ce cours : une démonstration complète avec Bézout et Gauss, sans rien d'autre.

Côté histoire, l'énoncé apparaît pour la première fois, d'après ce qu'on en connaît, dans un courrier que Fermat adresse à son correspondant Frénicle de Bessy en octobre 1640 ³. Samuel, le fils de Fermat, a publié ce courrier en 1679 dans les Varia Opera ³. Fermat n'y écrit pas de formule moderne : il parle de puissances d'une progression et de nombres premiers qui les mesurent ³.

Le nom du résultat a mis du temps à se fixer. En 1801, Gauss souligne que ce théorème est remarquable par son élégance et par son utilité, et qu'on l'appelle ordinairement « théorème de Fermat » ³. L'expression « petit théorème de Fermat » apparaît dans un ouvrage de Kurt Hensel de 1913 ³. Le mot « petit » sert à ne pas le confondre avec le dernier théorème de Fermat, énoncé sans démonstration au XVIIe siècle et démontré en 1994 par Andrew Wiles ⁴.

Rappels : congruences et outils nécessaires

L'énoncé du petit théorème de Fermat

Cet énoncé dit que, pour un nombre $p$ premier, toute puissance $a^{p-1}$ avec $a$ plus petit que $p$ (et non nul) a pour reste $1$ dans la division par $p$ ³. La condition « $a$ non divisible par $p$ » est indispensable : si $p$ divise $a$ , alors $a\equiv 0$ et toutes les puissances de $a$ sont congrues à $0$ , jamais à $1$ .

Démonstration · De la première forme à la seconde

Si $p$ divise $a$ , alors $a\equiv 0 \pmod p$ et $a^p\equiv 0\equiv a \pmod p$ . Sinon, la première forme donne $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ ; on multiplie les deux membres par $a$ et on obtient $a^p\equiv a \pmod p$ .

Démonstration par permutation des restes

Plusieurs démonstrations existent. L'une consiste à dénombrer, de deux façons, les mots de longueur $p$ écrits avec $a$ lettres ³. Une autre, la seconde preuve d'Euler, passe par l'ordre de $a$ dans le groupe multiplicatif $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ ³. Nous choisissons ici une démonstration qui n'utilise que Gauss et les congruences, donc entièrement à ta portée.

Démonstration · Démonstration du petit théorème de Fermat

Soit $p$ premier et $a$ un entier non divisible par $p$ . Considérons les $p-1$ entiers

$a,\ 2a,\ 3a,\ \dots,\ (p-1)a.$

Étape 1 : aucun n'est multiple de $p$ . Soit $k$ entre $1$ et $p-1$ . Comme $p$ est premier, il est premier avec $k$ (car $k<p$ ) et avec $a$ (car $p$ ne divise pas $a$ ). Si $p$ divisait $ka$ , le théorème de Gauss appliqué avec $p$ premier avec $a$ donnerait que $p$ divise $k$ , ce qui est impossible puisque $0<k<p$ . Donc le reste de $ka$ modulo $p$ appartient à $\{1,2,\dots,p-1\}$ .

Étape 2 : ces restes sont deux à deux distincts. Supposons $ka\equiv la \pmod p$ avec $1\leq l\leq k\leq p-1$ . Alors $p$ divise $(k-l)a$ . Comme $p$ est premier avec $a$ , le théorème de Gauss donne que $p$ divise $k-l$ . Or $0\leq k-l<p$ , donc $k-l=0$ , c'est-à-dire $k=l$ .

Étape 3 : conclusion sur les restes. Les $p-1$ restes sont des éléments distincts de $\{1,\dots,p-1\}$ , qui en contient exactement $p-1$ . Ce sont donc tous les entiers de $1$ à $p-1$ , dans un ordre éventuellement différent.

Étape 4 : comparaison des produits. En multipliant les congruences, le produit $a\times 2a\times\cdots\times (p-1)a$ est congru au produit $1\times 2\times\cdots\times(p-1)$ modulo $p$ . Cela s'écrit

$a^{p-1}\,(p-1)!\equiv (p-1)! \pmod p.$

Étape 5 : simplification. Le nombre $(p-1)!$ est le produit d'entiers strictement inférieurs à $p$ , tous premiers avec $p$ ; il est donc premier avec $p$ . Par la simplification vue plus haut, on obtient $a^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ . $\blacksquare$

Calculer des restes de grandes puissances

L'usage le plus direct du théorème est de calculer $a^n \bmod p$ lorsque $n$ est grand. L'idée : puisque $a^{p-1}\equiv 1$ , on peut retirer autant de blocs de $p-1$ facteurs que l'on veut sans changer le reste.

Inverses modulo $p$ et équations de congruence

Un test de primalité et un pont vers la cryptographie

Fermat lui-même s'en est servi pour factoriser. Dans une lettre à Mersenne, il affirme que le nombre $100\,895\,598\,169$ est composé et qu'il est le produit de deux nombres premiers, $898\,423$ et $112\,303$ ³. Avec une méthode voisine, Euler a montré que les nombres de Fermat ne sont pas tous premiers, ce qui réfute la seule conjecture fausse de Fermat ³.

Aujourd'hui, la clé secrète du chiffrement RSA est la factorisation d'un très grand entier, qui compte souvent plusieurs centaines de chiffres, en deux nombres premiers ³. Les méthodes employées en industrie au début des années 2000 reposent largement sur le petit théorème de Fermat, pour fabriquer de grands nombres premiers et vérifier si un nombre l'est ³. La cryptographie RSA, notion qui suit celle-ci, réutilisera les exponentiations modulo $p$ que tu viens de maîtriser.

Exercices corrigés

Exercice 1 Reste d'une très grande puissance

★☆☆Environ 8 min

Détermine le reste de la division euclidienne de $2^{2026}$ par $13$ .

Indice 1

Le nombre $13$ est premier et ne divise pas $2$ : quelle puissance de $2$ vaut $1$ modulo $13$ ?

Indice 2

Divise l'exposant $2026$ par $12$ .

Voir la correction pas à pas

Le nombre $13$ est premier et ne divise pas $2$ , donc $2^{12}\equiv 1 \pmod{13}$ d'après le petit théorème de Fermat.
On divise l'exposant par $12$ : $2026=12\times 168+10$ .
Ainsi $2^{2026}=(2^{12})^{168}\times 2^{10}\equiv 2^{10} \pmod{13}$ .
On calcule $2^{10}=1024=13\times 78+10$ , car $13\times 78=1014$ .
Le reste cherché est donc $10$ .

Le reste de $2^{2026}$ dans la division par $13$ est $10$ . La clé est de réduire l'exposant modulo $12=13-1$ .

Exercice 2 Un inverse modulo 11

★★☆Environ 10 min

Soit $p=11$ . Calcule $4^{9}$ modulo $11$ , puis explique pourquoi le résultat est l'inverse de $4$ modulo $11$ . Donne le résultat sous forme d'un entier de $\{0,\dots,10\}$ .

Indice 1

Calcule les puissances $4^2$ , $4^4$ , $4^8$ modulo $11$ en élevant au carré.

Indice 2

Rappelle-toi que $4\times 4^{9}=4^{10}$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule $4^2=16\equiv 5 \pmod{11}$ .
Puis $4^4\equiv 5^2=25\equiv 3 \pmod{11}$ .
Puis $4^8\equiv 3^2=9 \pmod{11}$ .
Donc $4^9=4^8\times 4\equiv 9\times 4=36\equiv 3 \pmod{11}$ .
Justification : $11$ est premier et ne divise pas $4$ , donc $4\times 4^9=4^{10}\equiv 1 \pmod{11}$ par le petit théorème de Fermat ; $4^9$ est donc un inverse de $4$ .
Contrôle direct : $4\times 3=12\equiv 1 \pmod{11}$ .

On trouve $4^9\equiv 3 \pmod{11}$ et $3$ est bien l'inverse de $4$ modulo $11$ . En général, l'inverse de $a$ modulo $p$ est $a^{p-2}$ .

Exercice 3 Divisibilité de $n^{13}-n$

★★★Environ 15 min

Soit $n$ un entier. On veut montrer que $n^{13}-n$ est divisible par $2$ , $3$ , $5$ , $7$ et $13$ , puis en déduire que $n^{13}-n$ est divisible par un entier $N$ égal au produit de ces cinq nombres premiers. Calcule $N$ .

Indice 1

Pour un nombre premier $p$ , utilise la forme $n^p\equiv n \pmod p$ et la relation $n^{13}=n\times n^{12}$ .

Indice 2

Vérifie que $p-1$ divise $12$ pour chacun des cinq nombres premiers.

Voir la correction pas à pas

Soit $p$ l'un des nombres premiers $2,3,5,7,13$ . Alors $p-1$ vaut respectivement $1,2,4,6,12$ , et chacun de ces nombres divise $12$ .
Si $p$ divise $n$ , alors $n^{13}-n$ est divisible par $p$ (les deux termes le sont).
Sinon, $n^{p-1}\equiv 1 \pmod p$ . Comme $p-1$ divise $12$ , on a $n^{12}=(n^{p-1})^{12/(p-1)}\equiv 1 \pmod p$ .
On en déduit $n^{13}=n\times n^{12}\equiv n \pmod p$ , donc $p$ divise $n^{13}-n$ .
Les cinq nombres premiers $2,3,5,7,13$ divisent tous $n^{13}-n$ et sont deux à deux premiers entre eux : leur produit divise aussi $n^{13}-n$ (par le théorème de Gauss, appliqué de proche en proche).
Le produit vaut $N=2\times 3\times 5\times 7\times 13=2730$ .

Pour tout entier $n$ , $n^{13}-n$ est divisible par $2730$ . Le raisonnement repose sur le fait que $p-1$ divise $12$ pour chacun des cinq nombres premiers.

Les questions qu'on se pose

Pourquoi dit-on « petit » théorème de Fermat ?

Pour le distinguer du dernier théorème de Fermat, énoncé sans démonstration au XVIIe siècle et démontré en 1994 par Andrew Wiles ⁴. L'expression « petit théorème de Fermat » est attestée dans un ouvrage de Kurt Hensel de 1913 ³. Les deux résultats n'ont aucun rapport direct de preuve : l'un est élémentaire, l'autre a demandé plus de trois siècles.

Le théorème marche-t-il si le module n'est pas premier ?

Non. Le module $p$ doit être premier. Avec $n=15$ , on a par exemple $2^{14}\equiv 4 \pmod{15}$ , et non $1$ . C'est même ce qui permet de prouver que $15$ n'est pas premier. Pour un module composé, il existe une généralisation, mais elle n'est pas au programme de cette option.

Si $a^{n-1}\equiv 1 \pmod n$, est-ce que $n$ est forcément premier ?

Non, rien ne le garantit : le théorème donne une condition nécessaire, pas suffisante ³. Un résultat différent de $1$ prouve que $n$ est composé ; un résultat égal à $1$ laisse un doute. Les tests plus élaborés comme celui de Miller-Rabin servent à réduire ce doute ³.

À quoi sert ce théorème en pratique ?

À trois choses principales : calculer rapidement des restes de grandes puissances, trouver des inverses modulo un nombre premier, et tester si un nombre est composé. Il intervient aussi dans la fabrication de grands nombres premiers et dans la sécurisation des échanges sur internet ³. La cryptographie RSA en est une suite ².

Comment savoir si je dois réduire l'exposant modulo $p$ ou modulo $p-1$ ?

Toujours modulo $p-1$ pour l'exposant, et modulo $p$ pour la base. Le raisonnement : $a^{p-1}\equiv 1$ , donc on peut enlever des paquets de $p-1$ facteurs. Vérifie sur un petit exemple : $3^{7}$ modulo $7$ doit donner $3$ , ce qui est cohérent avec $a^p\equiv a$ .

Sources

Petit théorème de Fermat et applications (Collège Stanislas), CNRS - Blog Ressources mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Du petit théorème de Fermat à la notion de groupe, CNRS - Blog Ressources mathématiques. Consulté le 6 novembre 2026.
Petit théorème de Fermat, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Fermat, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi ce théorème et d'où vient-il ?

Rappels : congruences et outils nécessaires

L'énoncé du petit théorème de Fermat

Démonstration par permutation des restes

Calculer des restes de grandes puissances

Inverses modulo $p$ et équations de congruence

Un test de primalité et un pont vers la cryptographie

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Exercice 1 Reste d'une très grande puissance

Exercice 2 Un inverse modulo 11

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