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Le théorème de Bézout : cours de Terminale maths expertes

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Identité de Bézout : si $a$ et $b$ sont deux entiers non tous nuls, il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=\text{PGCD}(a,b)$ .
Théorème de Bézout : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe $u$ et $v$ entiers avec $au+bv=1$ .
Un couple $(u\,;v)$ se trouve en remontant l'algorithme d'Euclide ; il n'est jamais unique : il y en a une infinité.
$ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $\text{PGCD}(a,b)$ divise $c$ .
Si $au+bv=1$ , alors $u$ est l'inverse de $a$ modulo $b$ : c'est l'outil des congruences.

Pourquoi ce théorème ?

Tu sais déjà calculer un PGCD avec l'algorithme d'Euclide. Cet algorithme donne un nombre, rien de plus. Le théorème de Bézout va plus loin : il relie le PGCD de deux entiers à ces deux entiers eux-mêmes, au moyen d'une égalité de la forme $au+bv=d$ . Cette égalité sert ensuite à démontrer qu'un entier est inversible modulo $n$ , à résoudre des équations en nombres entiers et, dans le chapitre suivant, à établir le théorème de Gauss.

Ce résultat est connu sous plusieurs noms : théorème de Bachet-Bézout, ou identité de Bézout. Il relève de l'arithmétique de base et assure qu'une équation diophantienne linéaire, c'est-à-dire une équation à coefficients entiers dont on cherche les solutions parmi les entiers, a bien des solutions dans les cas qu'il décrit ³. Côté histoire, les ressources officielles rattachent l'algorithme d'Euclide étendu à Bachet (1612), puis à Bézout (1766) ¹. Au programme de maths expertes, il faut savoir appliquer l'algorithme d'Euclide pour calculer un PGCD et en déduire un couple de Bézout ².

L'identité de Bézout

Lis bien ce que dit l'énoncé : il garantit l'existence d'un couple, il ne donne pas de formule pour le trouver. La preuve ci-dessous ne construit pas $u$ et $v$ directement. Pour les calculer, tu utiliseras l'algorithme d'Euclide étendu, expliqué plus bas.

Démonstration · Démonstration de l'identité de Bézout

On considère l'ensemble $E$ des entiers strictement positifs de la forme $ax+by$ avec $x$ et $y$ entiers relatifs.

$E$ n'est pas vide. Comme $a$ et $b$ ne sont pas tous deux nuls, $a^2+b^2>0$ et $a^2+b^2=a\times a+b\times b$ est dans $E$ .

$E$ a un plus petit élément. Toute partie non vide de $\mathbb{N}$ en possède un. Notons $m=au+bv$ ce plus petit élément.

$m$ divise $a$ . Effectuons la division euclidienne de $a$ par $m$ : $a=mq+r$ avec $0\le r<m$ . Alors

$r=a-mq=a-(au+bv)q=a(1-uq)+b(-vq).$

Le reste $r$ est donc de la forme $ax+by$ . S'il était strictement positif, il appartiendrait à $E$ tout en étant plus petit que $m$ , ce qui contredit la minimalité de $m$ . Donc $r=0$ et $m$ divise $a$ . Le même raisonnement montre que $m$ divise $b$ .

$m=d$ . Puisque $m$ divise $a$ et $b$ , c'est un diviseur commun positif, donc $m\le d$ . Réciproquement, $d$ divise $a$ et $b$ , donc divise $au+bv=m$ , ce qui donne $d\le m$ . Ainsi $m=d$ , et $au+bv=d$ .

Démonstration · Preuve de cette propriété

Si $d$ divise $a$ et $b$ , il divise toute combinaison $ax+by$ : ces valeurs sont donc des multiples de $d$ . Réciproquement, soit $c=dk$ un multiple de $d$ . D'après Bézout, $au+bv=d$ . En multipliant par $k$ , on obtient $a(uk)+b(vk)=dk=c$ . Le multiple $c$ est donc bien de la forme $ax+by$ .

Le théorème de Bézout : caractériser les entiers premiers entre eux

Démonstration · Démonstration

Sens direct. Si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $\text{PGCD}(a,b)=1$ et l'identité de Bézout fournit $u$ et $v$ avec $au+bv=1$ .

Sens réciproque. Supposons $au+bv=1$ pour certains entiers $u$ et $v$ . Soit $c$ un diviseur commun positif de $a$ et $b$ . Alors $c$ divise $au+bv=1$ , donc $c=1$ . Le seul diviseur commun positif est $1$ : $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Trouver un couple de Bézout : l'algorithme d'Euclide étendu

Pour trouver réellement $u$ et $v$ , on part de l'algorithme d'Euclide, qui calcule le PGCD par divisions successives, puis on remonte les divisions en exprimant chaque reste à l'aide de $a$ et $b$ ². Cette idée est ancienne : l'algorithme d'Euclide étendu est attribué à Bachet puis à Bézout ¹.

DivisionsDivisions euclidiennes jusqu'au reste nul
PGCDLe dernier reste non nul est le PGCD
RemontéeExprimer chaque reste avec a et b
VérifierCalculer au + bv et comparer au PGCD

Trouver un couple de Bézout · Méthode de l'algorithme d'Euclide étendu.

ExempleCouple de Bézout de 35 et 12

On applique l'algorithme d'Euclide.

$35=12\times 2+11$ $12=11\times 1+1$ $11=1\times 11+0$

Le dernier reste non nul est $1$ : $\text{PGCD}(35,12)=1$ , les deux nombres sont premiers entre eux.

On remonte. La deuxième ligne donne $1=12-11\times 1$ . La première ligne donne $11=35-12\times 2$ . On remplace :

$1=12-(35-12\times 2)=12-35+12\times 2=35\times(-1)+12\times 3.$

Un couple de Bézout est donc $(u\,;v)=(-1\,;3)$ . Vérification : $35\times(-1)+12\times 3=-35+36=1$ .

Euclide pour 35 et 12
Division	Relation isolée
35 = 12 × 2 + 11	11 = 35 − 12 × 2
12 = 11 × 1 + 1	1 = 12 − 11
11 = 1 × 11 + 0	Arrêt : PGCD = 1

Euclide pour 35 et 12 · Chaque reste s'exprime avec 35 et 12.

ExempleUn cas où le PGCD n'est pas 1

Cherchons un couple de Bézout de $240$ et $46$ .

$240=46\times 5+10$ $46=10\times 4+6$ $10=6\times 1+4$ $6=4\times 1+2$ $4=2\times 2+0$

Le PGCD est $2$ . On remonte en partant de $2=6-4$ :

$4=10-6$ , donc $2=6-(10-6)=2\times 6-10$ ;
$6=46-4\times 10$ , donc $2=2(46-4\times 10)-10=2\times 46-9\times 10$ ;
$10=240-5\times 46$ , donc $2=2\times 46-9(240-5\times 46)=47\times 46-9\times 240$ .

On obtient $240\times(-9)+46\times 47=2$ . Vérification : $-2160+2162=2$ .

Une infinité de couples de Bézout

Les démonstrations classiques ne fournissent qu'un seul couple, mais il en existe en général une infinité d'autres ³. Tu peux le constater sur l'exemple de $35$ et $12$ : le couple $(-1\,;3)$ convient, et $(11\,;-32)$ aussi, car $35\times 11+12\times(-32)=385-384=1$ .

Démonstration · Vérification

On calcule :

$a\left(u_0+\frac{b}{d}k\right)+b\left(v_0-\frac{a}{d}k\right)=au_0+bv_0+\frac{ab}{d}k-\frac{ab}{d}k=au_0+bv_0=d.$

Les deux termes en $k$ s'annulent.

Résoudre ax + by = c en nombres entiers

Cette propriété découle directement de ce qui précède : les valeurs de $ax+by$ sont exactement les multiples de $d$ . Si $d$ ne divise pas $c$ , tu peux conclure aussitôt qu'il n'y a aucune solution entière, sans chercher plus loin.

ExempleRésolution de 15x + 21y = 9

On a $21=15\times 1+6$ , $15=6\times 2+3$ , $6=3\times 2+0$ , donc $\text{PGCD}(15,21)=3$ . Comme $3$ divise $9$ , il y a des solutions.

On remonte : $3=15-6\times 2$ et $6=21-15$ , donc $3=15-2(21-15)=15\times 3+21\times(-2)$ . Vérification : $45-42=3$ .

On multiplie par $3$ car $9=3\times 3$ : $15\times 9+21\times(-6)=9$ . Un couple solution est $(9\,;-6)$ .

Le procédé de la partie précédente, appliqué aux coefficients divisés par le PGCD ( $5$ et $7$ ), donne des solutions de la forme $(9+7k\,;\,-6-5k)$ . Pour $k=-1$ , on obtient $(2\,;-1)$ et $15\times 2+21\times(-1)=9$ .

Application aux congruences : l'inverse modulaire

Démonstration · Preuve

Si $a$ et $n$ sont premiers entre eux, Bézout donne $au+nv=1$ , donc $au=1-nv\equiv 1\pmod n$ : $u$ est un inverse de $a$ . Réciproquement, si $au\equiv 1\pmod n$ , il existe un entier $k$ tel que $au-1=nk$ , soit $au+n(-k)=1$ . Par le théorème de Bézout, $a$ et $n$ sont premiers entre eux.

Erreurs fréquentes et conseils pour l'examen

Exercices corrigés

Exercice 1 Couple de Bézout par remontée d'Euclide

★★☆Environ 10 min

Détermine un couple d'entiers $(u\,;v)$ tel que $240u+46v=\text{PGCD}(240,46)$ . Donne la valeur de $v$ du couple obtenu en remontant l'algorithme.

Indice 1

Écris d'abord toutes les divisions euclidiennes de $240$ par $46$ , puis de $46$ par le reste, etc.

Indice 2

Garde les restes sous forme symbolique pendant la remontée.

Voir la correction pas à pas

Divisions : $240=46\times 5+10$ , $46=10\times 4+6$ , $10=6\times 1+4$ , $6=4\times 1+2$ , $4=2\times 2+0$ . Le PGCD est $2$ .
On isole : $2=6-4$ .
On remplace $4=10-6$ : $2=2\times 6-10$ .
On remplace $6=46-4\times 10$ : $2=2\times 46-9\times 10$ .
On remplace $10=240-5\times 46$ : $2=47\times 46-9\times 240$ .
Vérification : $-9\times 240+47\times 46=-2160+2162=2$ . Le couple est $(-9\,;47)$ , donc $v=47$ .

Le couple $(-9\,;47)$ est un couple de Bézout de $240$ et $46$ ; il n'est pas unique, mais la vérification $-2160+2162=2$ le valide.

Exercice 2 Équation 15x + 21y = 9

★★☆Environ 12 min

On cherche les couples d'entiers $(x\,;y)$ vérifiant $15x+21y=9$ .

Montre que l'équation admet des solutions.
Trouve une solution particulière.
Parmi les solutions de la forme $(9+7k\,;-6-5k)$ avec $k$ entier, quelle est la plus petite valeur strictement positive de $x$ ?

Indice 1

Calcule d'abord le PGCD de $15$ et $21$ et compare-le à $9$ .

Indice 2

Pour la dernière question, $x=9+7k$ doit être positif : cherche le reste de la division de $9$ par $7$ .

Voir la correction pas à pas

$21=15\times 1+6$ , $15=6\times 2+3$ , $6=3\times 2+0$ : $\text{PGCD}(15,21)=3$ , et $3$ divise $9$ , donc il y a des solutions.
Remontée : $3=15-2\times 6=15-2(21-15)=15\times 3+21\times(-2)$ .
On multiplie par $3$ : $15\times 9+21\times(-6)=9$ . Le couple $(9\,;-6)$ convient.
On veut $x=9+7k>0$ le plus petit possible. Pour $k=-1$ , $x=2$ ; pour $k=-2$ , $x=-5$ n'est plus positif.
La plus petite valeur positive de $x$ est donc $2$ , avec $y=-6+5=-1$ . Vérification : $15\times 2+21\times(-1)=9$ .

L'équation est soluble parce que le PGCD $3$ divise $9$ ; la plus petite valeur strictement positive de $x$ est $2$ , obtenue avec $y=-1$ .

Exercice 3 Inverse modulaire

★★★Environ 12 min

Justifie que $7$ est inversible modulo $26$ .
Détermine l'inverse de $7$ modulo $26$ compris entre $0$ et $25$ .

Indice 1

Utilise l'algorithme d'Euclide pour $26$ et $7$ , puis remonte.

Indice 2

Un inverse négatif s'ajuste en ajoutant un multiple de $26$ .

Voir la correction pas à pas

$26=7\times 3+5$ , $7=5\times 1+2$ , $5=2\times 2+1$ : le PGCD de $7$ et $26$ vaut $1$ . Ils sont premiers entre eux, donc $7$ est inversible modulo $26$ .
Remontée : $1=5-2\times 2$ , puis $2=7-5$ donne $1=3\times 5-2\times 7$ .
Avec $5=26-3\times 7$ : $1=3\times 26-11\times 7$ .
On en déduit $7\times(-11)\equiv 1\pmod{26}$ . On ajoute $26$ : $-11+26=15$ .
Vérification : $7\times 15=105=4\times 26+1$ , donc $7\times 15\equiv 1\pmod{26}$ .

L'inverse de $7$ modulo $26$ qui est compris entre $0$ et $25$ est $15$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle différence entre l'identité de Bézout et le théorème de Bézout ?

L'identité affirme que, pour tous entiers $a$ et $b$ non tous nuls, il existe $u$ et $v$ avec $au+bv=\text{PGCD}(a,b)$ . Le théorème de Bézout est le cas où le PGCD vaut $1$ : $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si $au+bv=1$ a une solution entière ³.

À quoi sert le théorème de Bézout ?

Il sert à démontrer que deux entiers sont premiers entre eux, à résoudre des équations entières de la forme $ax+by=c$ et à calculer des inverses modulaires. Il intervient dans de nombreux domaines de la théorie des nombres ³ et prépare le théorème de Gauss.

Comment trouver u et v sans me tromper ?

Écris toutes les divisions d'Euclide, isole le PGCD dans l'avant-dernière, puis remplace les restes un par un en gardant leurs noms symboliques. Termine par la vérification : calcule $au+bv$ et compare au PGCD. Au programme, on attend que tu saches calculer un PGCD par Euclide et en déduire un couple de Bézout ².

Le théorème de Bézout est-il le même que celui sur les courbes ?

Non. Le même nom désigne aussi un résultat de géométrie algébrique sur le nombre de points d'intersection de deux courbes, attribué à Étienne Bézout ⁴. Il est hors programme de Terminale. Le théorème de ce cours concerne les entiers et le PGCD.

Que faire si le PGCD ne divise pas c dans ax + by = c ?

Conclus qu'il n'y a pas de solution entière. Les valeurs de $ax+by$ sont toujours des multiples du PGCD de $a$ et $b$ : si $c$ n'en est pas un, aucun couple d'entiers ne convient. Inutile de chercher plus loin.

Sources

Ressource Éduscol - Arithmétique et théorème de Bézout, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme officiel - Mathématiques expertes (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Bachet-Bézout, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Bézout, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Pourquoi ce théorème ?

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Une infinité de couples de Bézout

Résoudre ax + by = c en nombres entiers

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