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Quiz sur le théorème de Bézout : Terminale maths expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Deux entiers et sont premiers entre eux si et seulement s'il existe des entiers et tels que 3.
- Le sens « si » est immédiat : un diviseur commun de et divise , donc divise 1 3.
- Un couple se calcule avec l'algorithme d'Euclide, remonté à l'envers 2.
- Un couple de Bézout n'est jamais unique : il en existe une infinité 3.
- Si , on sait seulement que le PGCD de et divise : on ne peut pas conclure que est le PGCD.
Avant de commencer
Ce quiz couvre l'énoncé du théorème de Bézout, sa réciproque, le calcul d'un couple à l'aide de l'algorithme d'Euclide et quelques applications, dont l'inverse modulaire. Tu dois déjà maîtriser la division euclidienne, les congruences et le calcul d'un PGCD par l'algorithme d'Euclide, que le programme associe au calcul d'un couple de Bézout 2.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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Le théorème affirme l'équivalence entre « et premiers entre eux » et « l'équation a une solution entière » 3. Les autres propositions confondent « premiers entre eux » avec « nombres premiers » (4 et 9 sont premiers entre eux sans être premiers) ou imposent des conditions sur ou qui n'ont aucun rapport.
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C'est le sens réciproque du théorème, qualifié d'immédiat 3. Un diviseur commun de et divise , donc divise 1 : seuls 1 et conviennent. Il ne faut pas croire que ce sens demande un calcul compliqué : une ligne suffit.
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On a , donc et . L'erreur tentante est de donner : le signe compte, car dépasse d'un multiple de 28, il faut donc retrancher.
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Le PGCD de 18 et 30 est 6. Si avait une solution, 6 diviserait 1, ce qui est absurde. Les trois autres paires sont premières entre elles ( et ; et ; et ), donc le théorème de Bézout garantit une solution 3. Ne confonds pas « non premiers eux-mêmes » avec « non premiers entre eux » : 25 n'est pas premier, mais 14 et 25 sont premiers entre eux.
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On applique l'algorithme d'Euclide 2 : , puis . Le dernier reste non nul est 12. Le piège est de s'arrêter à 36, le plus petit des deux nombres, alors que 36 ne divise pas 84.
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On remonte l'algorithme d'Euclide : , , . Donc . Vérification : . Le couple donne (erreur de signe), donne et donne .
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Comme 7 et 11 sont premiers entre eux, Bézout assure qu'il existe et avec 3. Ici , donc et . Le nombre 4, par exemple, donne , pas 1.
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Le PGCD de 9 et 12 est 3. Les nombres et sont tous deux multiples de 3, donc leur somme aussi, et 1 n'est pas un multiple de 3. De façon équivalente, 9 et 12 ne sont pas premiers entre eux, donc le théorème de Bézout exclut une solution 3.
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On calcule . On retrouve que les solutions ne sont jamais uniques : il en existe en général une infinité 3. Le couple donne 2. Le couple ajoute et le couple ajoute : aucun des deux ne redonne 1.
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Le théorème porte les noms de Bachet et de Bézout 3. Les sources situent l'algorithme d'Euclide étendu chez Bachet (1612) puis Bézout (1766) 1. Euclide a donné son nom à l'algorithme de calcul du PGCD, et Gauss à un autre théorème d'arithmétique qui vient après celui-ci : ce ne sont pas les noms de cet énoncé.
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Le PGCD de et divise , donc il vaut 1 ou 2, sans qu'on puisse choisir. Contre-exemple : alors que 3 et 5 sont premiers entre eux. Seul le cas permet de conclure, et alors le PGCD vaut 1 3.
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Il suffit que les coefficients soient premiers entre eux 3. C'est le cas de 7 et 10, et de 8 et 15. En revanche 6 et 10 ont pour PGCD 2, et 12 et 18 ont pour PGCD 6 : le premier membre serait pair (respectivement multiple de 6), jamais égal à 1.
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De on tire , et est un multiple de , donc . Voilà pourquoi la relation de Bézout sert à inverser un nombre dans les congruences. serait vrai si divisait , ce qui n'est pas le cas ici.
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Un diviseur commun de et divise , donc vaut : on applique le sens réciproque du théorème à et 3. Les autres propositions sont fausses : par exemple avec négatif, et 2 et ne sont pas égaux à 11 et 7.
Les questions qu'on se pose
Un couple de Bézout est-il unique ?
Non. Si convient pour , alors convient aussi pour tout entier . Les démonstrations n'en fournissent qu'un seul, mais il en existe en général une infinité d'autres 3.
Comment trouver concrètement $u$ et $v$ ?
On écrit les divisions de l'algorithme d'Euclide, puis on remonte les étapes en exprimant chaque reste à l'aide des deux nombres de départ. Le programme associe d'ailleurs le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide au calcul d'un couple de Bézout 2. Vérifie toujours le résultat en remplaçant et dans .
Le « théorème de Bézout » des courbes est-il le même que celui de l'arithmétique ?
Non, c'est un autre énoncé, qui concerne les points d'intersection de courbes algébriques planes : deux courbes de degrés et sans composante commune ont points d'intersection, comptés avec leur multiplicité 4. Il est hors programme au lycée. Le théorème que tu révises concerne les entiers et la relation .
Sources
- Ressource Éduscol - Arithmétique et théorème de Bézout, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
- Programme officiel - Mathématiques expertes (PDF), Ministère de l'Éducation nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
- Théorème de Bachet-Bézout, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Théorème de Bézout, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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