Théorème de Bézout : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Pour deux entiers non nuls a et b de PGCD d, il existe des entiers u et v tels que au+bv=d : c'est l'identité de Bézout.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe u,v entiers avec au+bv=1.
Un couple (u,v) se calcule en remontant les divisions de l'algorithme d'Euclide.
Le couple n'est pas unique : si (u,v) convient, d'autres couples conviennent aussi.
Piège : au+bv=2 ne prouve pas que le PGCD vaut 2, seulement qu'il divise 2.
L'énoncé à connaître
Tu connais déjà la divisibilité, les congruences et le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide. Le théorème de Bézout relie le PGCD de deux entiers à une équation à deux inconnues entières. Il est la clé de la suite du chapitre : théorème de Gauss, inverses modulaires, équations ax+by=c.
Pourquoi le sens réciproque est immédiat
Démonstration · Si $au+bv=1$, alors $a$ et $b$ sont premiers entre eux
Le sens « si » va de soi 3. Voici pourquoi. Soit c un diviseur commun de a et b. Alors c divise au+bv, donc c divise 1. Le seul diviseur positif commun est donc 1 : PGCD(a;b)=1.
Trouver un couple de Bézout
Applications et pièges
Questions flash
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C'est le théorème de Bézout, avec second membre 1. Avec 2, on obtient seulement que le PGCD divise 2 : il peut valoir 2, donc ce n'est pas une équivalence. Les deux autres propositions n'ont aucun lien avec le PGCD.
Faux : le PGCD divise au+bv=2, donc il vaut 1 ou 2. Par exemple 3×1+(−1)×1=2 avec a=3, b=−1... et le PGCD vaut 1. Seul 1 est certain à coup sûr quand le second membre est 1.
252=198+54, 198=3×54+36, 54=36+18, 36=2×18. Le dernier reste non nul est 18. Les valeurs 6 ou 9 divisent bien les deux nombres mais ne sont pas le plus grand diviseur commun.
Un couple solution rendrait 6 et 9 premiers entre eux, or 3 divise les deux, donc 3 divise 6x+9y qui ne peut valoir 1. Être entier ne suffit pas ; et même quand il y a des solutions, il y en a une infinité.
Les questions qu'on se pose
Le couple de Bézout est-il unique ?
Non. Dès qu'il en existe un, il en existe une infinité d'autres. Par exemple (−1;3) et (11;−32) conviennent tous deux pour 35u+12v=1. L'énoncé demande donc « un » couple, et ton correction vaut dès que au+bv donne bien le bon résultat.
À quoi sert le théorème de Bézout ?
Il sert à démontrer d'autres résultats d'arithmétique, comme le théorème de Gauss, et à calculer des inverses modulaires. Il intervient aussi dans de nombreux domaines de la théorie des nombres 3.