Théorème de Bézout : exercices corrigés de Terminale expertes

On calcule : $7\times 15 = 105$ et $4\times 26=104$, donc $7\times 15-4\times 26=1$.

On a trouvé des entiers $u=7$ et $v=-4$ tels que $15u+26v=1$.

D'après le théorème de Bézout, l'existence d'une telle solution entraîne que 15 et 26 sont premiers entre eux ³.

Divisions : $17=3\times 5+2$, puis $5=2\times 2+1$, puis $2=2\times 1+0$. Le dernier reste non nul est 1 : le PGCD vaut 1.

On isole 1 : $1=5-2\times 2$.

On remplace 2 par $17-3\times 5$ : $1=5-2(17-3\times 5)=7\times 5-2\times 17$.

Donc $17\times(-2)+5\times 7=1$, soit $u=-2$ et $v=7$.

Vérification : $-34+35=1$.

Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3, 6 et ceux de 9 sont 1, 3, 9 : le PGCD vaut 3.

Le nombre 3 divise 6 et 9, donc il divise $6x+9y$ pour tous entiers x et y.

Or 3 ne divise pas 10.

Le membre de gauche est toujours un multiple de 3 alors que 10 n'en est pas un : l'équation n'a aucune solution entière.

$1001=2\times 357+287$.

$357=1\times 287+70$.

$287=4\times 70+7$.

$70=10\times 7+0$. Le dernier reste non nul est 7 : le PGCD vaut 7.

On remonte : $7=287-4\times 70$.

Or $70=357-287$, donc $7=287-4(357-287)=5\times 287-4\times 357$.

Or $287=1001-2\times 357$, donc $7=5(1001-2\times 357)-4\times 357=5\times 1001-14\times 357$.

Vérification : $5005-4998=7$. Donc $u=5$ et $v=-14$.

$11=1\times 7+4$, puis $7=1\times 4+3$, puis $4=1\times 3+1$ : le PGCD vaut 1.

$1=4-3=4-(7-4)=2\times 4-7=2(11-7)-7=2\times 11-3\times 7$.

Donc $7\times(-3)+11\times 2=1$.

Modulo 11, le terme $11\times 2$ disparaît : $7\times(-3)\equiv 1 \pmod{11}$.

On ramène $-3$ dans l'intervalle voulu : $-3+11=8$. Vérification : $7\times 8=56=55+1\equiv 1$.

$5\times 3+7\times(-2)=15-14=1$ : le couple est bien solution.

En multipliant par 3 : $5\times 9+7\times(-6)=3$, donc $(9,-6)$ est solution.

Si $(x,y)$ est une autre solution, par soustraction $5(x-9)=-7(y+6)$. Comme 5 et 7 sont premiers entre eux, 7 divise $x-9$ (théorème de Gauss, vu après Bézout). On obtient $x=9+7k$ et $y=-6-5k$.

Pour $x>0$ minimal : $9+7k>0$ donne $k\geq -1$, et $k=-1$ conduit à $x=2$.

Vérification : $y=-6+5=-1$ et $5\times 2+7\times(-1)=3$.

$11=1\times 9+2$, $9=4\times 2+1$. Donc $1=9-4\times 2=9-4(11-9)=5\times 9-4\times 11$.

Ainsi $9\times 5\equiv 1 \pmod{11}$ : 5 est un inverse de 9 modulo 11.

On multiplie la congruence par 5 : $5\times 9x\equiv 5\times 4$, soit $x\equiv 20 \pmod{11}$.

Comme $20=11+9$, on obtient $x\equiv 9 \pmod{11}$.

Vérification : $9\times 9=81=77+4\equiv 4$.

Le PGCD de 12 et 18 est 6, qui divise 300. On divise par 6 : $2x+3y=50$.

Une solution évidente est $(25,0)$ car $2\times 25=50$.

Si $(x,y)$ est solution, $2(x-25)=-3y$. Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, 3 divise $x-25$ : $x=25+3k$, puis $y=-2k$, avec k entier relatif.

Condition $y\geq 0$ : $k\leq 0$. Condition $x\geq 0$ : $25+3k\geq 0$, soit $k\geq -8$ car k est entier.

Les valeurs de k vont de $-8$ à $0$ : cela fait 9 valeurs.

Contrôle : y prend les valeurs paires de 0 à 16, et pour $y=16$ on a bien $x=1$.

On calcule $3a-2b=3(2n+1)-2(3n+2)=6n+3-6n-4=-1$.

En multipliant par $-1$ : $-3a+2b=1$, soit $u=-3$ et $v=2$.

Cette relation est valable pour tout n : d'après le théorème de Bézout, a et b sont premiers entre eux ³.

Pour $n=10$ : $a=21$ et $b=32$. Le PGCD vaut 1 d'après la question 2.