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Le théorème de Gauss : cours de Terminale (maths expertes)

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Théorème de Gauss : si $a$ divise $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$ .
La démonstration repose sur Bézout : $au+bv=1$ , on multiplie par $c$ et on lit que $a$ divise $c$ .
Corollaire : si $a$ et $b$ sont premiers entre eux et divisent tous deux $c$ , alors $ab$ divise $c$ .
Usage principal : résoudre $ax+by=c$ et $ax=by$ en entiers, et simplifier des congruences par un facteur premier avec le module.
Piège : sans l'hypothèse « premiers entre eux », le théorème est faux ( $6$ divise $4\times 3$ , mais ne divise ni $4$ ni $3$ ).

Pourquoi ce théorème ?

En arithmétique, on se demande souvent ce que l'on peut « enlever » d'une divisibilité. Si $6$ divise $5\times n$ , peut-on dire que $6$ divise $n$ ? Intuitivement oui, puisque $5$ n'a « rien à voir » avec $6$ . Mais si $6$ divise $4\times n$ , la situation est différente : $4$ et $6$ ont un facteur commun, $2$ , et la conclusion devient fausse. Le théorème de Gauss donne la condition exacte qui rend ce raisonnement légitime : les deux nombres concernés doivent être premiers entre eux.

Carl Friedrich Gauss, mathématicien, astronome et physicien allemand, naît à Brunswick en 1777 et meurt à Göttingen en 1855 ; on le surnomme « le prince des mathématiciens » ². À 19 ans, en 1796, il décrit presque complètement les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas, dont l'heptadécagone à 17 côtés ². En 1801, son livre Disquisitiones arithmeticae introduit pour la première fois la notion de congruence et ouvre l'arithmétique modulaire ². Tu manipules justement des congruences dans ce chapitre.

La même année 1801, une méthode de calcul nouvelle lui permet de prévoir où réapparaîtra l'astre Cérès, ce qui le rend célèbre dans toute l'Europe ². Une anecdote, probablement inventée, raconte aussi qu'enfant il aurait retrouvé seul la formule $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ ².

Dans ce cours, tu vas :

rappeler les outils nécessaires (divisibilité, PGCD, Bézout) ;
énoncer et démontrer le théorème ;
en tirer des corollaires très utilisés ;
apprendre à résoudre des équations à deux inconnues entières ;
repérer les erreurs classiques.

Les outils à connaître avant

L'énoncé du théorème de Gauss

Lis-le comme une règle de simplification : dans $a \mid bc$ , on peut « retirer » le facteur $b$ , à condition que $b$ n'ait aucun diviseur commun avec $a$ autre que $1$ .

Démonstration · Démonstration du théorème de Gauss

On suppose que $a \mid bc$ et que $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

Étape 1. D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$ .

Étape 2. On multiplie les deux membres par $c$ :

$acu + bcv = c.$

Étape 3. Le nombre $a$ divise $acu$ , car c'est un multiple de $a$ . Le nombre $a$ divise aussi $bcv$ , car $a \mid bc$ par hypothèse et $bcv$ est un multiple de $bc$ .

Étape 4. Donc $a$ divise la somme $acu + bcv$ , c'est-à-dire $c$ . $\blacksquare$

Deux corollaires incontournables

Le théorème de Gauss s'emploie rarement seul. On l'utilise surtout à travers deux conséquences, que tu peux citer directement dans une copie en indiquant « d'après le théorème de Gauss ».

Démonstration · Preuve du corollaire 1

Comme $a \mid c$ , il existe un entier $k$ tel que $c = ak$ .

Comme $b \mid c$ , on a $b \mid ak$ . Or $b$ et $a$ sont premiers entre eux : d'après le théorème de Gauss, $b \mid k$ . Il existe donc un entier $m$ tel que $k = bm$ .

Alors $c = ak = abm$ , ce qui prouve que $ab \mid c$ . $\blacksquare$

Démonstration · Preuve du corollaire 2

Supposons que $p \mid ab$ et que $p$ ne divise pas $a$ . Les seuls diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$ ; comme $p \nmid a$ , le seul diviseur positif commun à $p$ et $a$ est $1$ . Donc $p$ et $a$ sont premiers entre eux. Le théorème de Gauss, appliqué à $p \mid ab$ , donne $p \mid b$ . $\blacksquare$

Quand les nombres ne sont pas premiers entre eux

Fréquemment, la divisibilité à traiter n'a pas la forme parfaite du théorème. Par exemple : $4 \mid 10n$ . Ici $4$ et $10$ ne sont pas premiers entre eux, donc on ne peut pas conclure directement que $4 \mid n$ . La méthode consiste à diviser par le PGCD pour se ramener au cas où le théorème s'applique.

Résoudre des équations en nombres entiers

L'application la plus fréquente du théorème de Gauss est la résolution d'équations dont les inconnues sont des entiers relatifs. Deux cas à maîtriser : l'équation sans second membre $ax = by$ , puis l'équation $ax + by = c$ .

Démonstration · Preuve

Si $ax = by$ , alors $a \mid by$ . Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne $a \mid y$ : il existe $k$ entier avec $y = ak$ . En remplaçant, $ax = bak$ , donc $x = bk$ (on simplifie par $a \neq 0$ ).

Réciproquement, pour tout entier $k$ , le couple $(bk\,;ak)$ vérifie $a\times bk = b\times ak$ . $\blacksquare$

Le PGCD divise-t-il c ?Sinon, aucune solution.
Solution particulièreTrouver (x0 ; y0) à tâtons ou avec Euclide.
Soustrairea(x - x0) = -b(y - y0)
Appliquer GaussExprimer x et y avec un entier k.
VérifierTester une valeur de k dans l'équation.

Résoudre ax + by = c en entiers · Méthode générale pour une équation à deux inconnues entières.

ExempleRésoudre 7x + 5y = 43

Étape 1. $7$ et $5$ sont premiers entre eux : la divisibilité par $d=1$ ne pose pas de problème.

Étape 2. Une solution particulière : $x_0 = 4$ et $y_0 = 3$ , car $7\times 4 + 5\times 3 = 28+15 = 43$ .

Étape 3. Pour un couple $(x\,;y)$ solution, on soustrait les deux égalités :

$7(x-4) + 5(y-3) = 0 \quad\text{donc}\quad 7(x-4) = -5(y-3).$

Étape 4. Alors $7 \mid 5(y-3)$ . Comme $7$ et $5$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne $7 \mid (y-3)$ : $y = 3 + 7k$ avec $k \in \mathbb{Z}$ . En remplaçant, $7(x-4) = -5\times 7k$ , donc $x = 4 - 5k$ .

Étape 5. Vérification avec $k=1$ : $(x\,;y)=(-1\,;10)$ et $7\times(-1)+5\times 10 = 43$ .

L'ensemble des solutions est $\{(4-5k\,;3+7k) \mid k\in\mathbb{Z}\}$ .

Simplifier une congruence

En congruences, on ne peut pas toujours « diviser » comme on le fait avec des égalités. Le théorème de Gauss précise dans quel cas c'est permis.

Démonstration · Preuve

L'hypothèse signifie que $n \mid ac - bc$ , soit $n \mid c(a-b)$ . Comme $n$ et $c$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne $n \mid a-b$ , c'est-à-dire $a\equiv b \pmod n$ . $\blacksquare$

Récapitulatif des erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Exercice 1 Divisibilité et théorème de Gauss

★☆☆Environ 8 min

Soit $n$ un entier naturel non nul tel que $12 \mid 35n$ . Quel est le plus petit entier $n$ possible ? Justifie en citant le théorème de Gauss.

Indice 1

Calcule le PGCD de $12$ et de $35$ .

Indice 2

Si le théorème s'applique, la conclusion donne directement un diviseur de $n$ .

Voir la correction pas à pas

Les diviseurs positifs de $12$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ ; ceux de $35$ sont $1, 5, 7, 35$ . Le seul diviseur commun est $1$ : $12$ et $35$ sont premiers entre eux.
On a $12 \mid 35n$ avec $12$ premier avec $35$ . D'après le théorème de Gauss, $12 \mid n$ .
Les multiples strictement positifs de $12$ sont $12, 24, 36, \dots$ Le plus petit est $12$ .
Vérification : $35\times 12 = 420 = 12\times 35$ , donc $12 \mid 420$ .

Le plus petit entier $n$ cherché est 12. Il suffit de savoir que $12$ et $35$ sont premiers entre eux pour passer de $12 \mid 35n$ à $12 \mid n$ .

Exercice 2 Une équation ax = by

★☆☆Environ 8 min

On cherche les couples d'entiers relatifs $(x\,;y)$ tels que $5x = 8y$ .

Démontre que $8 \mid x$ .
Détermine tous les couples solutions.
Parmi les solutions où $x > 0$ , quelle est la plus petite valeur de $x + y$ ?

Indice 1

Pour la question 1, remarque que $8$ divise $5x$ .

Indice 2

Pose $x = 8k$ et déduis $y$ en fonction de $k$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : l'égalité $5x = 8y$ montre que $8 \mid 5x$ . Comme $5$ et $8$ sont premiers entre eux, le théorème de Gauss donne $8 \mid x$ .
On écrit $x = 8k$ avec $k$ entier. L'équation devient $40k = 8y$ , soit $y = 5k$ .
Réciproquement, pour tout entier $k$ , $5\times 8k = 40k = 8\times 5k$ . Les solutions sont les couples $(8k\,;5k)$ avec $k\in\mathbb{Z}$ .
Question 3 : la condition $x>0$ équivaut à $k \geq 1$ . Alors $x+y = 13k$ , qui est minimal pour $k=1$ : on obtient $13$ .

Les solutions sont les couples $(8k\,;5k)$ , $k \in \mathbb{Z}$ , et la plus petite valeur de $x+y$ avec $x>0$ vaut 13, pour le couple $(8\,;5)$ .

Exercice 3 Combien de solutions positives ?

★★☆Environ 12 min

On considère l'équation $(E) : 3x + 5y = 41$ , où $x$ et $y$ sont des entiers.

Vérifie que $(12\,;1)$ est solution de $(E)$ .
Détermine l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}^2$ .
Combien y a-t-il de solutions pour lesquelles $x$ et $y$ sont strictement positifs ?

Indice 1

Soustrais la solution particulière : $3(x-12) = -5(y-1)$ .

Indice 2

Exprime $x$ et $y$ avec un paramètre $k$ , puis écris les deux inégalités $x>0$ et $y>0$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : $3\times 12 + 5\times 1 = 36 + 5 = 41$ . Le couple est bien solution.
Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant, $3(x-12) + 5(y-1) = 0$ , donc $3(x-12) = -5(y-1)$ .
Alors $3 \mid 5(y-1)$ . Comme $3$ et $5$ sont premiers entre eux, $3 \mid y-1$ : $y = 1 + 3k$ avec $k$ entier.
En remplaçant, $3(x-12) = -15k$ , donc $x = 12 - 5k$ . Les solutions sont $(12-5k\,;1+3k)$ , $k\in\mathbb{Z}$ (la vérification se fait directement : $3(12-5k)+5(1+3k)=41$ ).
Question 3 : $x>0$ équivaut à $12-5k>0$ , soit $k \leq 2$ (car $k$ est entier). $y>0$ équivaut à $1+3k>0$ , soit $k \geq 0$ .
Les valeurs possibles sont $k = 0, 1, 2$ : couples $(12\,;1)$ , $(7\,;4)$ , $(2\,;7)$ . On vérifie $(7\,;4)$ : $21+20=41$ ; $(2\,;7)$ : $6+35=41$ .

L'équation admet 3 solutions en entiers strictement positifs. La méthode est toujours la même : solution particulière, soustraction, théorème de Gauss, paramètre $k$ , puis conditions de signe.

Exercice 4 Deux conditions de divisibilité

★★★Environ 12 min

Un entier $n$ est divisible à la fois par $8$ et par $15$ , et vérifie $1000 < n < 1100$ .

Montre que $n$ est divisible par $120$ .
Détermine $n$ .

Indice 1

Pour la question 1, utilise le corollaire sur le produit de deux diviseurs premiers entre eux.

Indice 2

Liste les multiples de $120$ autour de $1000$ .

Voir la correction pas à pas

Les nombres $8$ et $15$ sont premiers entre eux : le seul diviseur positif commun à $8$ (diviseurs $1,2,4,8$ ) et à $15$ (diviseurs $1,3,5,15$ ) est $1$ .
Comme $8 \mid n$ et $15 \mid n$ , le corollaire du théorème de Gauss donne $8\times 15 \mid n$ , c'est-à-dire $120 \mid n$ .
Les multiples de $120$ sont $\dots, 960, 1080, 1200, \dots$ car $120\times 8 = 960$ , $120\times 9 = 1080$ et $120\times 10=1200$ .
Le seul multiple de $120$ strictement compris entre $1000$ et $1100$ est $1080$ .
Vérification : $1080 = 8\times 135 = 15\times 72$ .

L'entier cherché est 1080. Sans l'hypothèse « premiers entre eux », on ne pourrait pas multiplier les diviseurs : $12$ est divisible par $4$ et par $6$ sans être divisible par $24$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je peux appliquer le théorème de Gauss ?

Vérifie deux choses. D'abord, tu dois avoir une relation de la forme $a \mid bc$ . Ensuite, le nombre $a$ doit être premier avec $b$ , le facteur que tu veux enlever. Justifie-le par les diviseurs de chacun, par un PGCD calculé ou par une relation de Bézout. Si le PGCD vaut autre chose que $1$ , simplifie d'abord par ce PGCD.

Quelle est la différence entre le théorème de Bézout et le théorème de Gauss ?

Le théorème de Bézout dit que deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si on peut écrire $au+bv=1$ . Le théorème de Gauss en est une conséquence : il utilise cette écriture pour montrer qu'une divisibilité par $a$ se « transmet » de $bc$ à $c$ . Dans la pratique, Bézout sert à prouver ou à construire des solutions, Gauss à raisonner sur les divisibilités et à résoudre des équations.

À quoi sert le théorème de Gauss concrètement ?

Il sert à trois choses : résoudre des équations à deux inconnues entières comme $ax+by=c$ , déduire des conditions de divisibilité (par exemple « divisible par $4$ et par $9$ donc par $36$ ») et simplifier des congruences. Il prépare aussi la décomposition en facteurs premiers et le petit théorème de Fermat, qui reviennent dans la suite de l'arithmétique.

Pourquoi ne peut-on pas toujours simplifier une congruence comme une égalité ?

Parce que la congruence $ac \equiv bc \pmod n$ signifie seulement $n \mid c(a-b)$ . Pour en déduire $n \mid a-b$ , il faut que $c$ soit premier avec $n$ (théorème de Gauss). Exemple : $6\times 5 \equiv 6\times 2 \pmod 9$ , mais $5\not\equiv 2 \pmod 9$ . On peut tout de même simplifier par le PGCD de $c$ et $n$ en changeant de module.

Le théorème de Gauss de physique est-il le même ?

Non. Le théorème de Gauss de physique rattache la quantité de champ qui sort d'une surface fermée à ce qui produit ce champ, par exemple des charges électriques ³. Celui de ce cours concerne uniquement les entiers et leurs diviseurs. Le contexte (arithmétique ou physique) indique toujours de quel théorème on parle.

Que faut-il écrire dans une copie pour justifier l'application du théorème ?

Écris la phrase complète : « $a$ divise $bc$ et $a$ est premier avec $b$ , donc d'après le théorème de Gauss, $a$ divise $c$ », en justifiant que $a$ et $b$ sont premiers entre eux (liste des diviseurs, PGCD ou Bézout). Les correcteurs sanctionnent surtout l'oubli de cette vérification.

Sources

Théorème de la progression arithmétique et angles des premiers de Gauss, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Carl Friedrich Gauss, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Théorème de Gauss (physique), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Pourquoi ce théorème ?

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L'énoncé du théorème de Gauss

Deux corollaires incontournables

Quand les nombres ne sont pas premiers entre eux

Résoudre des équations en nombres entiers

Simplifier une congruence

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Exercice 1 Divisibilité et théorème de Gauss

Exercice 2 Une équation ax = by

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