Théorème de Gauss : exercices corrigés de Terminale maths expertes

On a $7 \mid 12\times n$.

$7$ est premier et ne divise pas $12$, donc $\text{PGCD}(7,12)=1$.

Le théorème de Gauss s'applique avec $a=7$, $b=12$, $c=n$ : $7$ divise $n$.

Les entiers $n>0$ divisibles par $7$ sont $7, 14, 21,\dots$ Le plus petit est $7$.

Vérification : $12\times 7 = 84 = 7\times 12$, donc $7$ divise bien $84$.

Les diviseurs de $4$ sont $1, 2, 4$ ; ceux de $9$ sont $1, 3, 9$. Le seul diviseur commun est $1$ : $\text{PGCD}(4,9)=1$.

Si $n$ est divisible par $4$ et par $9$, le corollaire du théorème de Gauss donne : $4\times 9 = 36$ divise $n$.

Réciproquement, tout multiple de $36$ est divisible par $4$ et par $9$.

On compte les multiples de $36$ entre $1$ et $200$ : $36, 72, 108, 144, 180$.

Le suivant, $216$, dépasse $200$. Il y en a donc $5$ (on a $200 = 5\times 36 + 20$).

L'égalité $7x = 5y$ montre que $5$ divise $7x$.

$\text{PGCD}(5,7)=1$ car $5$ et $7$ sont premiers distincts. Par le théorème de Gauss, $5$ divise $x$ : on écrit $x = 5k$ avec $k$ entier naturel non nul.

On remplace : $7\times 5k = 5y$, donc $y = 7k$. Ainsi $y$ est bien un multiple de $7$.

Réciproquement, pour tout entier $k$, le couple $(5k\,;\,7k)$ vérifie $7\times 5k = 5\times 7k$.

Les conditions deviennent $5k \le 100$, soit $k \le 20$, et $7k \le 100$, soit $k \le 14$ (car $7\times 14=98$ et $7\times 15 = 105$). La plus contraignante est $k\le 14$.

Avec $k$ entier de $1$ à $14$, on obtient $14$ couples.

La congruence signifie que $11$ divise $4x-12$.

On factorise : $4x - 12 = 4(x-3)$. Donc $11 \mid 4(x-3)$.

$11$ est premier et ne divise pas $4$, donc $\text{PGCD}(11,4)=1$.

Le théorème de Gauss donne $11 \mid x-3$, c'est-à-dire $x \equiv 3 \pmod{11}$.

Réciproquement, si $x\equiv 3$, alors $4x \equiv 12 \pmod{11}$. L'ensemble des solutions est $\{3+11k,\ k\in\mathbb{Z}\}$.

Dans l'intervalle de $0$ à $10$, la seule solution est $x=3$.

$14 = 2\times 7$ et $35 = 5\times 7$ : le PGCD vaut $7$, donc $14$ et $35$ ne sont pas premiers entre eux. Gauss ne s'applique pas directement.

On écrit $35m = 14k$ avec $k$ entier, puis on divise par $7$ : $5m = 2k$.

Maintenant $2 \mid 5m$ et $\text{PGCD}(2,5)=1$. Par le théorème de Gauss, $2 \mid m$.

Le plus petit entier $m>0$ pair est $2$.

Vérification : $35\times 2 = 70 = 14\times 5$, donc $14$ divise bien $70$. Et $m=1$ ne convient pas, car $14$ ne divise pas $35$.

Vérification : $9\times 0 + 4\times 25 = 100$. Le couple $(0\,;\,25)$ est solution.

Soit $(x\,;\,y)$ une solution. En soustrayant l'égalité de la solution particulière : $9x + 4y = 9\times 0 + 4\times 25$, donc $9x = 4(25-y)$.

Ainsi $4$ divise $9x$. Comme $\text{PGCD}(4,9)=1$, le théorème de Gauss donne $4 \mid x$ : $x = 4k$ avec $k$ entier relatif.

On remplace : $36k = 4(25-y)$, donc $25 - y = 9k$ et $y = 25-9k$.

Réciproquement, $9\times 4k + 4(25-9k) = 36k + 100 - 36k = 100$. Les solutions sont les couples $(4k\,;\,25-9k)$, $k\in\mathbb{Z}$.

Positivité : $x>0$ équivaut à $k>0$, donc $k\ge 1$. $y>0$ équivaut à $25 - 9k > 0$, soit $k < \frac{25}{9} \approx 2{,}8$, donc $k\le 2$.

Il reste $k=1$, qui donne $(4\,;\,16)$, et $k=2$, qui donne $(8\,;\,7)$. Il y a donc $2$ solutions.

Les diviseurs de $8$ sont $1,2,4,8$ et $15$ n'est divisible par aucun d'eux sauf $1$ : $\text{PGCD}(8,15)=1$.

Soit $n$ divisible par $8$ : $n = 8k$ avec $k$ entier.

$15$ divise $n = 8k$ et $\text{PGCD}(15,8)=1$, donc le théorème de Gauss donne $15 \mid k$ : $k = 15k'$.

Alors $n = 8\times 15\,k' = 120\,k'$ : $120$ divise $n$.

Réciproquement, tout multiple de $120$ est divisible par $8$ et par $15$. On cherche donc le plus grand multiple de $120$ strictement inférieur à $500$.

On a $499 = 4\times 120 + 19$, donc le plus grand multiple est $4\times 120 = 480$.

Contrôle : $480 = 8\times 60 = 15\times 32$.