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Théorème de Gauss : quiz de Terminale Maths expertes
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Théorème de Gauss : si divise et si et sont premiers entre eux, alors divise .
- La condition « premiers entre eux » est indispensable : divise sans diviser ni .
- La preuve repose sur l'égalité de Bézout , multipliée par .
- Conséquence : si et sont premiers entre eux et divisent tous deux , alors divise .
- Usage typique : résoudre en entiers quand .
Avant de commencer
Ce quiz porte sur le théorème de Gauss de l'arithmétique, celui qui permet de « simplifier » une divisibilité. Il couvre l'énoncé exact, le rôle de l'hypothèse sur le PGCD, la démonstration par Bézout, la conséquence sur deux diviseurs premiers entre eux et la résolution d'équations à solutions entières. Tu dois connaître la divisibilité, les congruences, le PGCD et le théorème de Bézout.
Démonstration · Pourquoi ça marche
Comme et sont premiers entre eux, Bézout fournit des entiers et tels que . En multipliant par : . Or divise , et divise puisqu'il divise . Donc divise la somme, c'est-à-dire .
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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La première proposition est exactement l'énoncé : premier avec , donc passe sur . La deuxième est tentante mais fausse : sans diviser ni . La troisième n'a aucune raison d'être vraie : , , donnent et , mais ne divise pas . La quatrième est la transitivité de la divisibilité, un autre résultat.
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C'est vrai : et , donc le théorème de Gauss donne . On pourrait croire qu'il faut que divise , ce qui est faux, mais ce n'est pas la bonne lecture : étant premier avec , il ne peut « venir » que de .
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C'est faux : , donc , mais et . Le théorème de Gauss ne s'applique pas car n'est premier ni avec (PGCD ) ni avec (PGCD ). La conclusion « divise l'un ou l'autre » n'est vraie que pour un diviseur premier.
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et , donc par Gauss. « multiple de » est faux : convient et n'est pas multiple de . « Multiple de » est faux pour la même raison. « divise » est évidemment faux.
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et , donc par le théorème de Gauss. Le plus petit multiple strictement positif de est lui-même. Vérification : . Le piège serait de répondre ou en cherchant un multiple de au lieu de .
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et , donc : . L'équation devient , soit . Le couple donne , ce qui est faux sauf pour . Le couple donne , même problème. Le dernier donne , impossible.
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, donc par Gauss. De découlent et . En revanche n'est pas assuré : vérifie mais .
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, donc équivaut à (la réciproque est immédiate). Il faut compter les multiples de entre et : , soit entiers. Répondre viendrait d'un décalage en comptant , qui n'est pas dans l'intervalle.
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et sont premiers entre eux. Écris ; alors et, par Gauss, , donc . « divise » est vrai aussi, mais ce n'est pas le résultat le plus précis, et la formulation « rien de plus » est fausse. n'a aucun rapport. peut valoir par exemple.
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C'est faux : est divisible par et par , mais pas par . La conséquence du théorème de Gauss ne marche que si les deux diviseurs sont premiers entre eux ; or . Le bon résultat ici est que (le PPCM) divise .
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Quand et sont premiers entre eux, Bézout assure l'existence de , tels que . On multiplie ensuite par pour obtenir . Fermat concerne les puissances modulo un nombre premier et n'intervient pas ici. La division euclidienne sert à construire l'algorithme d'Euclide, mais ne donne pas à elle seule cette égalité.
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De on tire , donc ; alors et , d'où . Mais est faux : donne , divisible par , alors que . Pour la même raison n'est pas forcément pair, ni multiple de . Ici , on ne peut donc pas appliquer Gauss directement à .
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Les Disquisitiones arithmeticae paraissent en 1801 et définissent pour la première fois les congruences 2. 1777 est l'année de naissance de Gauss 2. 1796 est l'année où il caractérise presque complètement les polygones réguliers constructibles 2. 1818 est celle du début de son étude géodésique du Hanovre 2.
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C'est faux. En physique, le théorème de Gauss traite d'un champ de vecteurs : il rattache ce qui sort d'une surface fermée aux sources du champ, charges ou masses 3. C'est un autre résultat, qui relève de l'analyse. Le théorème d'arithmétique, lui, se démontre avec Bézout, sur les entiers. Seul le nom de leur auteur commun les rapproche.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je peux appliquer le théorème de Gauss ?
Il te faut deux éléments : une divisibilité de la forme et la certitude que est premier avec l'un des facteurs, par exemple. Calcule le PGCD ou utilise une propriété connue (deux entiers consécutifs sont premiers entre eux, un nombre premier est premier avec tout entier qu'il ne divise pas). Alors divise l'autre facteur, .
Que faire si $a$ n'est pas premier avec $b$ ?
Le théorème ne s'applique plus tel quel, et la conclusion peut être fausse : sans diviser ni . Tu peux parfois te ramener au cas premier en divisant par le PGCD. Par exemple, si , on simplifie en , puis Gauss donne .
Quelle différence avec le théorème de Bézout ?
Bézout dit que deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si une combinaison vaut . Gauss en est une conséquence : il utilise cette égalité pour faire passer un diviseur d'un produit vers un seul facteur. Au bac, retiens que Bézout sert à démontrer et que Gauss sert à conclure sur une divisibilité ou une équation en entiers.
Sources
- Théorème de la progression arithmétique et angles des premiers de Gauss, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Carl Friedrich Gauss, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Théorème de Gauss (physique), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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