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Théorème de Gauss : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
- Théorème de Gauss : si divise et si et sont premiers entre eux, alors divise .
- Preuve : on part de l'égalité de Bézout et on la multiplie par .
- Corollaire : si et sont premiers entre eux et divisent tous deux , alors leur produit divise .
- Piège : sans l'hypothèse « », le résultat est faux ; vérifie-la toujours avant de conclure.
- Usage : résoudre des équations comme en nombres entiers.
L'essentiel à retenir
Le théorème de Gauss de cette fiche appartient à l'arithmétique : il parle de divisibilité entre entiers. Il prolonge le théorème de Bézout que tu connais déjà. Il sert à « simplifier » une divisibilité, un peu comme on simplifie une fraction par un facteur sans rapport avec le dénominateur.
Démonstration et corollaire
Démonstration · Preuve du théorème de Gauss
Supposons que divise et que .
- D'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers et tels que .
- On multiplie par : .
- Le nombre divise , évidemment. Il divise aussi , car il divise .
- Donc divise la somme , c'est-à-dire .
Démonstration · Preuve du corollaire
Comme divise , on écrit avec entier.
Comme divise et que , le théorème de Gauss donne : divise . On écrit .
Alors , donc divise .
Méthode, exemples et pièges
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
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C'est exactement le théorème de Gauss : divise . La réponse « divise » est fausse : et étant premiers entre eux, ne peut diviser que si . Rien ne permet non plus d'affirmer que divise .
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Faux. divise , mais ne divise ni ni . Le théorème de Gauss ne s'applique pas, car . Il faut toujours vérifier que les deux nombres sont premiers entre eux.
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On part de , fournie par le théorème de Bézout puisque et sont premiers entre eux, puis on multiplie par . Le petit théorème de Fermat vient après dans le chapitre et n'est pas nécessaire ici.
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Comme divise et que , on a ; ici . Alors . Vérification : .
Les questions qu'on se pose
À quoi sert le théorème de Gauss ?
Il sert surtout à résoudre des équations en nombres entiers et à simplifier des divisibilités. Dès que tu obtiens une égalité du type avec et premiers entre eux, il te dit que divise et que divise , ce qui te donne toutes les solutions.
Comment savoir si j'ai le droit de l'utiliser ?
Deux conditions, et deux seulement : divise un produit , et . Si tu ne peux pas justifier la seconde, calcule le PGCD par l'algorithme d'Euclide. Si le PGCD est différent de , le théorème ne s'applique pas.
Quelle différence avec le théorème de Bézout ?
Bézout affirme que deux entiers sont premiers entre eux si et seulement si on peut écrire . Gauss est une conséquence de Bézout : il utilise cette égalité pour conclure sur une divisibilité.
Sources
- Théorème de la progression arithmétique et angles des premiers de Gauss, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
- Carl Friedrich Gauss, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
- Théorème de Gauss (physique), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
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