Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Intégration par parties : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'intégration par parties remplace l'intégrale d'un produit par d'autres intégrales, souvent plus simples à calculer ⁵.
Formule : $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\left[u(x)v(x)\right]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx$ , avec $u$ et $v$ dérivables à dérivées continues.
Méthode : choisir $u$ (qu'on dérive) et $v'$ (qu'on intègre), calculer $u'$ et $v$ , appliquer la formule, évaluer le crochet.
Règle de choix : on dérive le polynôme ou le logarithme, on intègre l'exponentielle, le sinus ou le cosinus.
Pièges : oublier le signe moins, oublier d'évaluer le crochet aux deux bornes, choisir $u$ et $v'$ à l'envers.

Introduction : quand une primitive ne se devine pas

Tu sais calculer une intégrale à l'aide d'une primitive : si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a\,;\,b]$ , alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ . Le programme de Terminale demande aussi de savoir calculer une intégrale à l'aide d'une intégration par parties ³. Cette seconde technique sert quand la primitive n'apparaît pas du premier coup d'œil.

Prends l'intégrale $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ . La fonction à intégrer est un produit : $x$ multiplié par $\cos x$ . Aucune fonction usuelle que tu connais n'a pour dérivée $x\cos x$ . Tu ne peux pas non plus intégrer facteur par facteur : l'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. C'est là qu'intervient l'intégration par parties, parfois abrégée en IPP : une technique qui remplace l'intégrale d'un produit de fonctions par d'autres intégrales, que l'on espère plus faciles à calculer ⁵.

Dans ce cours, tu vas :

retrouver la formule à partir de la dérivée d'un produit, donc comprendre d'où elle sort ;
apprendre une méthode en étapes, applicable à chaque calcul ;
savoir choisir quel facteur dériver et lequel intégrer ;
traiter les cas qui reviennent au bac : double intégration, intégrale qui « boucle », suites d'intégrales ;
repérer les erreurs de signe et de bornes, qui coûtent le plus de points.

Tu as besoin de deux acquis : le lien entre intégrale et aire, et les propriétés de l'intégrale (linéarité, relation de Chasles). Tu t'en serviras sans cesse. Ce chapitre prépare aussi la valeur moyenne d'une fonction, qui se calcule avec une intégrale.

La formule d'intégration par parties

Démonstration · D'où vient la formule

On peut voir cette formule comme la règle du produit écrite sous forme d'intégrale ⁵. Reprenons la dérivée d'un produit :

$(uv)'=u'v+uv'.$

Les fonctions $u'v$ et $uv'$ sont continues, donc la fonction $(uv)'$ l'est aussi, et $uv$ est une primitive de $(uv)'$ . On intègre entre $a$ et $b$ :

$\int_a^b (uv)'(x)\,dx=\Big[uv\Big]_a^b.$

Par linéarité de l'intégrale, le membre de gauche vaut aussi $\int_a^b u'v\,dx+\int_a^b uv'\,dx$ . On obtient donc :

$\Big[uv\Big]_a^b=\int_a^b u'v\,dx+\int_a^b uv'\,dx.$

Il ne reste qu'à isoler $\int_a^b uv'\,dx$ pour retrouver la formule.

Pourquoi demander que $u'$ et $v'$ soient continues ? Parce que les intégrales de $u'v$ et de $uv'$ n'existent, au programme de Terminale, que pour des fonctions continues. Dans les exercices, $u$ et $v$ sont des fonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme, sinus, cosinus) : la condition est vérifiée, mais vérifie toujours que ton intervalle convient. Par exemple, $\ln$ n'est dérivable que sur $]0\,;\,+\infty[$ , donc des bornes comme $1$ et $\mathrm{e}$ sont adaptées, mais pas $0$ .

La méthode en cinq étapes

Repérer le produitL'intégrande est un produit de deux fonctions
Choisir u et v'On dérive u, on intègre v'
Calculer u' et vUne primitive v de v' suffit, sans constante
Écrire la formule[uv] entre a et b, moins l'intégrale de u'v
ConclureÉvaluer le crochet puis calculer la dernière intégrale

Les étapes d'une intégration par parties · Méthode générale pour toute intégrale d'un produit.

Exemples rédigés pas à pas

ExemplePolynôme × cosinus

Calculons $A=\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$ . Le choix « $u(x)=x$ , $v'(x)=\cos x$ » est le choix classique pour une intégrale de ce type ⁵.

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\cos x$ , donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\sin x$ . Alors :

$A=\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi}-\int_0^{\pi}\sin x\,dx.$

Le crochet vaut $\pi\sin\pi-0\times\sin 0=0$ . Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ , donc $\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=1-(-1)=2$ . Ainsi $A=0-2=-2$ .

Le signe est plausible : sur $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ , $\cos x$ est négatif et $x$ est plus grand, donc la partie négative l'emporte sur la partie positive de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$ .

ExemplePolynôme × logarithme

Calculons $D=\int_1^{\mathrm{e}}x\ln x\,dx$ . Ici, on ne sait pas intégrer $\ln x$ directement, mais on sait le dériver. On pose donc $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x$ , donc $u'(x)=\dfrac1x$ et $v(x)=\dfrac{x^2}{2}$ .

$D=\Big[\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\frac{x^2}{2}\times\frac1x\,dx=\frac{\mathrm{e}^2}{2}-\int_1^{\mathrm{e}}\frac{x}{2}\,dx.$

Or $\int_1^{\mathrm{e}}\frac{x}{2}\,dx=\Big[\frac{x^2}{4}\Big]_1^{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{e}^2-1}{4}$ . Donc $D=\dfrac{\mathrm{e}^2}{2}-\dfrac{\mathrm{e}^2-1}{4}=\dfrac{\mathrm{e}^2+1}{4}$ .

Le crochet vaut $\frac{\mathrm{e}^2}{2}\ln\mathrm{e}-\frac12\ln 1=\frac{\mathrm{e}^2}{2}$ , car $\ln\mathrm{e}=1$ et $\ln 1=0$ .

Comment choisir u et v'

Le calcul n'a de sens que si l'intégrale $\int u'v$ est plus simple que celle de départ. Le choix de $u$ et $v'$ décide de tout. Voici la logique : on dérive le facteur qui se simplifie en dérivant, et on intègre celui qui reste facile à intégrer.

Un polynôme perd un degré quand on le dérive : bon candidat pour $u$ .
Le logarithme se dérive en $\frac1x$ , fonction rationnelle plus simple, alors que sa primitive est moins évidente : bon candidat pour $u$ .
L'exponentielle, le sinus et le cosinus se primitivent sans difficulté et ne se compliquent pas : bons candidats pour $v'$ .

Quel choix pour u et v' ?
Type de produit	Choix de u (dérivé)	Choix de v' (intégré)
Polynôme × exponentielle	Le polynôme	L'exponentielle
Polynôme × sinus ou cosinus	Le polynôme	Le sinus ou le cosinus
Polynôme × logarithme	Le logarithme	Le polynôme
Logarithme seul	ln x	La constante 1
Exponentielle × sinus ou cosinus	Au choix, mais le même deux fois	L'autre facteur

Quel choix pour u et v' ? · Repères de choix, à adapter selon l'intégrale restante obtenue.

Intégrations par parties répétées et intégrales qui bouclent

Il arrive qu'une seule intégration par parties ne suffise pas : l'intégrale obtenue est encore un produit. On recommence alors. Cette double intégration par parties est une technique classique ⁵.

ExempleL'intégrale qui boucle

Avec une exponentielle et un sinus, on ne simplifie jamais le produit, mais on retombe sur l'intégrale de départ. Cette situation est connue : le calcul de $\int \mathrm{e}^x\sin x\,dx$ par double IPP donne $\dfrac{\mathrm{e}^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$ , où $C$ est une constante d'intégration ⁵. Retrouvons-le sur $[0\,;\,\pi]$ avec $I=\int_0^{\pi}\mathrm{e}^x\sin x\,dx$ et $J=\int_0^{\pi}\mathrm{e}^x\cos x\,dx$ .

Première IPP avec $u=\sin x$ et $v'=\mathrm{e}^x$ :

$I=\Big[\mathrm{e}^x\sin x\Big]_0^{\pi}-J=0-J=-J.$

Seconde IPP sur $J$ avec $u=\cos x$ et $v'=\mathrm{e}^x$ , donc $u'=-\sin x$ :

$J=\Big[\mathrm{e}^x\cos x\Big]_0^{\pi}+\int_0^{\pi}\mathrm{e}^x\sin x\,dx=(-\mathrm{e}^{\pi}-1)+I.$

On remplace $J$ par $-I$ : $I=\mathrm{e}^{\pi}+1-I$ , d'où $2I=\mathrm{e}^{\pi}+1$ et $I=\dfrac{\mathrm{e}^{\pi}+1}{2}$ . C'est bien ce que donne la formule de primitive : à la borne $\pi$ on trouve $\frac{\mathrm{e}^{\pi}}{2}$ , à la borne $0$ on trouve $-\frac12$ , et leur différence est $\frac{\mathrm{e}^{\pi}+1}{2}$ .

Au bac : suites d'intégrales et erreurs à éviter

Les sujets d'épreuve de spécialité proposent souvent de vérifier qu'une fonction est une primitive, puis d'établir à l'aide d'une intégration par parties une relation valable pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ ². Voici le schéma type, que tu peux refaire sans recopier de modèle.

ExempleUne relation de récurrence entre intégrales

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^x\,dx$ .

Calcul de $I_0$ : $I_0=\int_0^1\mathrm{e}^x\,dx=\mathrm{e}-1$ .

Relation : pour $I_{n+1}$ , on pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ , donc $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

$I_{n+1}=\Big[x^{n+1}\mathrm{e}^x\Big]_0^1-(n+1)\int_0^1x^n\mathrm{e}^x\,dx=\mathrm{e}-(n+1)I_n.$

On en déduit $I_1=\mathrm{e}-I_0=1$ , ce qui confirme le calcul de $B$ , puis $I_2=\mathrm{e}-2I_1=\mathrm{e}-2$ , ce qui confirme $E$ .

Attention, erreur fréquenteLes erreurs qui coûtent des points

Oublier le signe moins devant $\int u'v$ . Écris-le dès la première ligne de la formule.
Ne pas appliquer le crochet aux deux bornes. Il faut calculer $u(b)v(b)-u(a)v(a)$ , pas seulement la valeur en $b$ .
Confondre $v$ et $v'$ : on met $v'$ dans l'intégrale de départ et $v$ dans la nouvelle.
Dériver au lieu d'intégrer pour passer de $v'$ à $v$ .
Perdre un signe avec $\cos$ et $\sin$ : $(\sin)'=\cos$ mais $(\cos)'=-\sin$ , et $-\cos$ est une primitive de $\sin$ .
Choisir l'intégrale « qui boucle » sans l'écrire proprement : nomme les deux intégrales ( $I$ et $J$ ) pour retrouver l'équation.

Exercices corrigés

Exercice 1 Un produit affine par une exponentielle

★☆☆Environ 8 min

Calcule $\int_0^1 (2x+1)\,\mathrm{e}^x\,dx$ . Donne la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Indice 1

Dérive le facteur affine, intègre l'exponentielle.

Indice 2

Après la formule, l'intégrale restante est celle de $2\mathrm{e}^x$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=2x+1$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ , donc $u'(x)=2$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ .
On applique la formule : $\int_0^1(2x+1)\mathrm{e}^x\,dx=\Big[(2x+1)\mathrm{e}^x\Big]_0^1-2\int_0^1\mathrm{e}^x\,dx$ .
Le crochet vaut $3\mathrm{e}-1$ car $(2\times1+1)\mathrm{e}^1=3\mathrm{e}$ et $(2\times0+1)\mathrm{e}^0=1$ .
L'intégrale restante vaut $2(\mathrm{e}-1)$ .
Le résultat est $3\mathrm{e}-1-2\mathrm{e}+2=\mathrm{e}+1\approx 3{,}7183$ .

Le résultat est $\mathrm{e}+1\approx 3{,}7183$ . Le piège était d'oublier le facteur $2$ devant l'intégrale restante, qui vient de $u'(x)=2$ .

Exercice 2 Un sinus multiplié par x

★☆☆Environ 8 min

Calcule $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$ .

Indice 1

Une primitive de $\sin$ est $-\cos$ .

Indice 2

Attention au signe : le terme obtenu après la formule change de signe deux fois.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\sin x$ , donc $u'(x)=1$ et $v(x)=-\cos x$ .
La formule donne $\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}(-\cos x)\,dx$ .
Le crochet vaut $-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}-0=0$ .
Le second terme devient $+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2}=1$ .
Donc l'intégrale vaut $0+1=1$ .

L'intégrale vaut $1$ . Le signe moins de $v(x)=-\cos x$ s'ajoute au signe moins de la formule : on retrouve un signe plus.

Exercice 3 Un polynôme de degré 2 par un logarithme

★★☆Environ 12 min

Calcule $\int_1^{\mathrm{e}} x^2\ln x\,dx$ . Donne la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Indice 1

On ne sait pas intégrer $\ln$ directement : c'est lui qu'on dérive.

Indice 2

Après simplification, l'intégrale restante est celle de $\frac{x^2}{3}$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=x^2$ , donc $u'(x)=\frac1x$ et $v(x)=\frac{x^3}{3}$ .
La formule donne $\Big[\frac{x^3}{3}\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}}-\int_1^{\mathrm{e}}\frac{x^3}{3}\times\frac1x\,dx$ .
Le crochet vaut $\frac{\mathrm{e}^3}{3}$ car $\ln\mathrm{e}=1$ et $\ln1=0$ .
L'intégrale restante vaut $\int_1^{\mathrm{e}}\frac{x^2}{3}\,dx=\Big[\frac{x^3}{9}\Big]_1^{\mathrm{e}}=\frac{\mathrm{e}^3-1}{9}$ .
Donc le résultat est $\frac{\mathrm{e}^3}{3}-\frac{\mathrm{e}^3-1}{9}=\frac{2\mathrm{e}^3+1}{9}\approx 4{,}5746$ .

La valeur exacte est $\dfrac{2\mathrm{e}^3+1}{9}\approx 4{,}5746$ . Réduire au même dénominateur $9$ est l'étape où l'on se trompe le plus souvent.

Exercice 4 Une suite d'intégrales

★★★Environ 15 min

Pour tout entier naturel $n$ , on pose $I_n=\int_0^1 x^n\mathrm{e}^x\,dx$ . On admet que $I_1=1$ .

Montre, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n$ , $I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n$ .
Calcule $I_3$ . Donne la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-4}$ près.

Indice 1

Pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ .

Indice 2

Applique la relation deux fois : d'abord pour $n=1$ , puis pour $n=2$ .

Voir la correction pas à pas

Pour la relation, on pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=\mathrm{e}^x$ , donc $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ .
La formule donne $I_{n+1}=\Big[x^{n+1}\mathrm{e}^x\Big]_0^1-(n+1)\int_0^1x^n\mathrm{e}^x\,dx$ .
Le crochet vaut $\mathrm{e}$ (valeur $1^{n+1}\mathrm{e}^1$ moins valeur nulle en $0$ ), donc $I_{n+1}=\mathrm{e}-(n+1)I_n$ .
Pour $n=1$ : $I_2=\mathrm{e}-2I_1=\mathrm{e}-2$ .
Pour $n=2$ : $I_3=\mathrm{e}-3I_2=\mathrm{e}-3(\mathrm{e}-2)=6-2\mathrm{e}\approx 0{,}5634$ .

On obtient $I_3=6-2\mathrm{e}\approx0{,}5634$ . La relation permet de calculer chaque terme à partir du précédent sans refaire d'intégration.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser une intégration par parties ?

Cherche d'abord une primitive directe, notamment avec la forme $u'\mathrm{e}^u$ ou $u'u^n$ . Si la fonction est un produit de deux facteurs de natures différentes (polynôme et exponentielle, polynôme et sinus, polynôme et logarithme) sans lien de dérivée entre eux, l'intégration par parties est la méthode adaptée. Le programme la présente comme l'une des deux techniques de calcul d'une intégrale, avec le calcul à l'aide d'une primitive ³.

Quel facteur dois-je dériver et lequel dois-je intégrer ?

Dérive celui qui se simplifie : un polynôme (son degré baisse) ou un logarithme (il devient $\frac1x$ ). Intègre celui qui reste simple à primitiver : exponentielle, sinus, cosinus. Si tu hésites, calcule $u'$ et $v$ pour les deux choix et regarde si l'intégrale obtenue est plus facile que celle de départ.

Comment intégrer ln(x) alors qu'il n'y a qu'un seul facteur ?

Écris $\ln x=\ln x\times1$ et pose $u(x)=\ln x$ , $v'(x)=1$ . Alors $u'(x)=\frac1x$ et $v(x)=x$ , et la nouvelle intégrale est $\int 1\,dx$ . Le résultat est la primitive $x\ln x-x$ de la fonction $\ln$ .

Que faire quand l'intégrale revient à elle-même après deux intégrations ?

C'est le cas de $\int\mathrm{e}^x\sin x$ ou $\int\mathrm{e}^x\cos x$ : on obtient une équation de la forme $I=\text{quelque chose}-I$ . Il suffit de la résoudre : $2I=\text{quelque chose}$ . Pour éviter les confusions, donne un nom à chaque intégrale ( $I$ et $J$ ) et garde le même choix de dérivation et d'intégration dans les deux étapes.

Est-ce que l'intégration par parties tombe au bac ?

Oui, c'est une technique attendue en spécialité mathématiques. Les sujets proposent souvent de l'utiliser pour établir une relation valable pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1$ entre deux intégrales consécutives ². La consigne l'annonce généralement (« à l'aide d'une intégration par parties »). Ton travail consiste à bien poser $u$ et $v'$ et à ne pas faire d'erreur de signe.

Sources

Programme visé : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Préparer l'épreuve de spécialité Mathématiques au baccalauréat général, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Documents pédagogiques Éduscol - Intégrales et primitives, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul intégral et intégration par parties - Cours magistral, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration par parties, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Intégration par parties : cours de Terminale spécialité maths

L'essentiel

Introduction : quand une primitive ne se devine pas

La formule d'intégration par parties

La méthode en cinq étapes

Exemples rédigés pas à pas

Comment choisir u et v'

Intégrations par parties répétées et intégrales qui bouclent

Au bac : suites d'intégrales et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Un produit affine par une exponentielle

Exercice 2 Un sinus multiplié par x

Exercice 3 Un polynôme de degré 2 par un logarithme

Exercice 4 Une suite d'intégrales

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur