Intégration par parties : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
L'intégration par parties (IPP) remplace l'intégrale d'un produit de fonctions par un crochet et une autre intégrale 5.
Formule : ∫abu′(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu(x)v′(x)dx pour u et v dérivables à dérivées continues.
Méthode : choisir la fonction à dériver (v) et celle à intégrer (u′), calculer u et v′, appliquer la formule, terminer le calcul.
Piège n°1 : le signe moins devant la nouvelle intégrale ; piège n°2 : oublier les bornes dans le crochet.
Le programme demande de savoir calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ou d'une intégration par parties 3.
L'essentiel à retenir
L'intégration par parties, souvent notée IPP, est une technique de calcul : au lieu d'intégrer directement un produit de deux fonctions, tu le remplaces par un terme entre crochets et par une autre intégrale, en principe plus simple 5. Tu l'utilises pour une intégrale (ou une primitive) quand aucune primitive d'un produit comme xcosx ou xex ne saute aux yeux 5. Le programme de Terminale la place à côté du calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive : tu dois savoir faire les deux 3.
Démonstration · D'où vient la formule ?
La dérivée d'un produit s'écrit (uv)′=u′v+uv′. Donc u′v=(uv)′−uv′.
On intègre entre a et b. Comme uv est une primitive de (uv)′ :
∫abu′v=∫ab(uv)′−∫abuv′=[uv]ab−∫abuv′.
Une primitive de f est une fonction dérivable dont la dérivée est égale à f6.
La méthode en pratique
ChoisirRepérer le facteur à dériver et celui à intégrer.
CalculerÉcrire u et v' sans oublier aucune dérivée.
AppliquerCrochet moins nouvelle intégrale, avec les bornes.
ConclureCalculer le crochet puis l'intégrale restante.
Les étapes d'une intégration par parties · Méthode générale pour une intégration par parties.
Deux exemples rédigés
Pièges et repères
Côté histoire, Brook Taylor est le mathématicien à qui l'on doit la découverte de l'intégration par parties, dont il a publié l'idée dès 1715 5. L'intégrale elle-même est apparue au XVIIe siècle avec Leibniz et Newton 6.
Questions flash
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La formule vient de (uv)′=u′v+uv′, donc u′v=(uv)′−uv′ : le second terme est soustrait. La version avec « + » est l'erreur de signe classique. L'intégrale d'un produit n'est jamais le produit des intégrales, et on ne dérive pas les deux facteurs à la fois.
Dériver x donne 1 : l'intégrale restante est ∫exdx, facile. Dériver ex donne encore ex et intégrer x donne 2x2 : on obtient ∫2x2ex, plus compliquée que celle de départ.
On pose v=x, u′=sinx, donc u=−cosx. Alors ∫0πxsinxdx=[−xcosx]0π+∫0πcosxdx=π+[sinx]0π=π+0=π. Oublier le signe moins de −cosx conduirait à −π.
Vrai : une constante additive dans u disparaît au cours des calculs intermédiaires 5. Elle s'annule entre le crochet et la nouvelle intégrale. On prend donc la primitive la plus simple, sans constante.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser l'intégration par parties ?
Cherche d'abord une primitive directe. Si l'expression est un produit de deux fonctions de natures différentes (polynôme et exponentielle, polynôme et sinus ou cosinus, polynôme et logarithme) et qu'aucune primitive évidente n'apparaît, l'IPP est le bon réflexe : elle ramène l'intégrale d'un produit à d'autres intégrales 5.
Que faire si l'IPP ne simplifie pas l'intégrale ?
Inverse le rôle des deux facteurs. Si aucun choix ne simplifie, la méthode n'est peut-être pas adaptée. Dans certains cas, on retombe sur l'intégrale de départ après deux IPP : on résout alors une équation pour la retrouver, comme pour exsinx5.
Est-ce que l'IPP tombe au bac ?
Le programme de spécialité prévoit de savoir calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ou d'une intégration par parties 3. Les sujets d'exemple proposent d'établir une relation par intégration par parties, souvent avec une indication sur le choix de u et v2. Entraîne-toi donc à rédiger la formule complète avec ses bornes.