Intégration par parties : quiz de Terminale spécialité

Quiz

15 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

1. Quelle est la formule d'intégration par parties pour $u$ et $v$ dérivables à dérivées continues sur $[a\,;\,b]$ ?

   $\int_a^b u v' = [uv]_a^b - \int_a^b u' v$$\int_a^b u v' = [uv]_a^b + \int_a^b u' v$$\int_a^b u v' = \int_a^b u' \times \int_a^b v$$\int_a^b u v' = [u'v]_a^b - \int_a^b u v$
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2. Vrai ou faux : l'intégration par parties sert à ramener l'intégrale d'un produit de deux fonctions à d'autres intégrales.

   VraiFaux
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3. Pour calculer $\int_0^1 x\,e^x\,dx$ par parties, quel choix est le plus judicieux ?

   $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$$u(x)=e^x$ et $v'(x)=x$$u(x)=x\,e^x$ et $v'(x)=1$Aucun : il faut une primitive directe de $x e^x$
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4. Calcule $\int_0^1 x\,e^x\,dx$.

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5. Calcule $\int_0^{\pi} x\cos x\,dx$.

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6. Vrai ou faux : si l'on choisit $v(x)=\sin x + 5$ au lieu de $\sin x$ pour primitive de $\cos x$, le résultat final de l'intégrale change.

   VraiFaux
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7. Calcule $\int_1^e \ln x\,dx$ en écrivant $\ln x = 1\times\ln x$.

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8. Laquelle de ces intégrales se calcule directement avec une primitive, sans intégration par parties ?

   $\int_0^1 2x\,e^{x^2}\,dx$$\int_0^1 x\,e^{x}\,dx$$\int_1^2 x\ln x\,dx$$\int_0^{\pi} x\sin x\,dx$
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9. Calcule $\int_0^1 x^2 e^x\,dx$ (deux intégrations par parties successives sont nécessaires). Donne une valeur approchée à $10^{-2}$ près.

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10. Pour $\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx$, on pose $u=x$ et $v'=\sin x$. Quelle est la valeur de l'intégrale ?

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11. Quels énoncés sont corrects à propos de l'intégration par parties ? (plusieurs réponses)

    Plusieurs réponses possibles.

    Elle peut servir à calculer une primitive d'un produit de fonctions ⁵.Elle est présentée comme une version intégrale de la règle du produit ⁵.Elle ne s'applique jamais deux fois de suite dans un même calcul.Elle donne l'intégrale d'un produit comme produit des intégrales.
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12. Quelle est la valeur de $\int_0^1 (x+1)\,e^x\,dx$ ?

    $e$$e-1$$2e-1$$1$
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13. On calcule $I=\int e^x\sin x\,dx$ par une double intégration par parties. Que se passe-t-il à la fin du calcul ?

    L'intégrale $I$ réapparaît dans le membre de droite et on résout une équation d'inconnue $I$Le calcul ne se termine jamais, la méthode est inapplicableL'intégrale s'annule toujours, donc $I=0$Le résultat est toujours $e^x\cos x$
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14. Quel mathématicien a découvert l'intégration par parties, avec une première publication en 1715 ?

    Brook TaylorIsaac NewtonBernhard RiemannGeorg Cantor
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15. Dans la formule d'intégration par parties, par quoi doit-on remplacer l'intégrale de départ pour que la méthode soit utile ?

    Une intégrale plus simple à calculer que celle de départUne intégrale strictement identiqueUne somme infinie de termesUne dérivée seconde
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