Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Intégration par parties : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

L'intégration par parties transforme l'intégrale d'un produit en une autre intégrale, souvent plus simple à calculer ⁵.
Formule : $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)\,dx$ , avec $u$ et $v$ dérivables et de dérivées continues.
On choisit $u$ pour qu'elle se simplifie en dérivant ; $v'$ doit avoir une primitive facile.
Avec $\ln x$ seul, on pose $v'=1$ ; avec un polynôme multiplié par $e^x$ , $\sin x$ ou $\cos x$ , on pose le polynôme comme $u$ .
Une IPP peut se répéter, ou « boucler » : on retrouve alors l'intégrale cherchée et on résout une équation.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices suivent le programme de spécialité de Terminale, où l'on apprend à calculer une intégrale à l'aide d'une primitive ou à l'aide d'une intégration par parties ³. Tu connais déjà l'intégrale comme aire et ses propriétés de linéarité et de relation de Chasles. Ici, on ajoute un outil pour les produits de fonctions.

Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction à la correction. Une étape de la correction correspond à une action précise : si ton raisonnement diffère, repère l'étape où vous divergez.

Démonstration · D'où vient la formule

Le produit $uv$ est dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$ . En intégrant entre $a$ et $b$ , comme $uv$ est une primitive de $(uv)'$ :

$\Big[uv\Big]_a^b=\int_a^b u'v\,dx+\int_a^b uv'\,dx.$

Il suffit d'isoler $\int_a^b uv'\,dx$ pour obtenir la formule.

Les exercices

Exercice 1 Un produit polynôme-sinus

★☆☆Environ 6 min

Calcule la valeur exacte puis approchée de $I=\int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx.$

Indice 1

Dérive le facteur $x$ : il devient $1$ , donc plus simple.

Indice 2

Une primitive de $\sin x$ est $-\cos x$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x$ et $v'(x)=\sin x$ . Alors $u'(x)=1$ et $v(x)=-\cos x$ ; ces fonctions sont dérivables à dérivées continues.
On applique la formule : $I=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}(-\cos x)\,dx=\Big[-x\cos x\Big]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ .
On calcule le crochet : en $\pi/2$ , $-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}=0$ ; en $0$ , on obtient $0$ . Le crochet vaut $0$ .
On calcule $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1-0=1$ .
Donc $I=0+1=1$ .

$I=1$ . Le crochet s'annule ici parce que $\cos\frac{\pi}{2}=0$ et que le facteur $x$ est nul en $0$ : vérifie toujours ce que deviennent les bornes avant de te lancer dans les calculs.

Exercice 2 Un produit polynôme-exponentielle, avec vérification d'une primitive

★☆☆Environ 8 min

On note $f(x)=x\,e^x$ et $F(x)=(x-1)\,e^x$ .

Vérifie que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
Retrouve ce résultat par intégration par parties.
Calcule $J=\int_0^2 x\,e^x\,dx$ .

Indice 1

Pour la question 1, dérive $F$ comme un produit.

Indice 2

Pour la question 2, pose $u(x)=x$ et $v'(x)=e^x$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : $F=(x-1)e^x$ est un produit ; $F'(x)=1\cdot e^x+(x-1)e^x=x\,e^x=f(x)$ . Donc $F$ est bien une primitive de $f$ .
Question 2 : on pose $u(x)=x$ , $v'(x)=e^x$ , d'où $u'(x)=1$ et $v(x)=e^x$ . Sur $[0\,;2]$ : $\int_0^2 xe^x\,dx=\big[xe^x\big]_0^2-\int_0^2 e^x\,dx$ .
On calcule $\big[xe^x\big]_0^2=2e^2-0=2e^2$ et $\int_0^2 e^x\,dx=e^2-1$ .
Donc $J=2e^2-(e^2-1)=e^2+1$ .
Contrôle avec la primitive : $F(2)-F(0)=(1)e^2-(-1)(1)=e^2+1$ . Les deux méthodes concordent. Valeur approchée : $e^2+1\approx 8{,}389$ .

$J=e^2+1\approx 8{,}389$ . Quand une primitive est donnée, l'intégration par parties sert aussi à la retrouver ou à contrôler un calcul : c'est un excellent réflexe de vérification.

Exercice 3 Aire sous une courbe produit

★☆☆Environ 8 min

Dans un repère orthogonal, on considère la courbe de $f(x)=x\cos x$ sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$ , où $f$ est positive.

Exprime l'aire $\mathcal{A}$ du domaine situé entre la courbe et l'axe des abscisses, en unités d'aire, sous forme d'intégrale.
Calcule cette aire.

Indice 1

Une fonction continue positive sur un segment : l'aire est égale à l'intégrale.

Indice 2

Prends $u(x)=x$ et $v'(x)=\cos x$ .

Voir la correction pas à pas

Comme $f$ est continue et positive sur $\left[0\,;\frac{\pi}{2}\right]$ , $\mathcal{A}=\int_0^{\pi/2}x\cos x\,dx$ .
On pose $u(x)=x$ , $v'(x)=\cos x$ ; alors $u'(x)=1$ et $v(x)=\sin x$ .
On applique la formule : $\mathcal{A}=\big[x\sin x\big]_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx$ .
Le crochet vaut $\frac{\pi}{2}\times 1-0=\frac{\pi}{2}$ et $\int_0^{\pi/2}\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_0^{\pi/2}=0+1=1$ .
Donc $\mathcal{A}=\frac{\pi}{2}-1\approx 0{,}571$ unité d'aire.

$\mathcal{A}=\frac{\pi}{2}-1\approx 0{,}571$ u.a. Une aire est toujours positive : le résultat l'est bien, ce qui confirme le calcul.

Exercice 4 Intégrer le logarithme

★★☆Environ 10 min

Calcule $K=\int_1^4 \ln x\,dx.$ On pourra écrire $\ln x=\ln x\times 1$ .

Indice 1

Il n'y a qu'un seul facteur visible : fais-en apparaître deux avec $\ln x\times 1$ .

Indice 2

Pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=\ln x$ et $v'(x)=1$ . Alors $u'(x)=\frac{1}{x}$ et $v(x)=x$ , fonctions dérivables à dérivées continues sur $[1\,;4]$ .
Formule : $K=\big[x\ln x\big]_1^4-\int_1^4 x\times\frac{1}{x}\,dx=\big[x\ln x\big]_1^4-\int_1^4 1\,dx$ .
Crochet : $4\ln 4-1\times\ln 1=4\ln 4$ car $\ln 1=0$ .
Intégrale restante : $\int_1^4 1\,dx=4-1=3$ .
Donc $K=4\ln 4-3\approx 2{,}545$ .

$K=4\ln 4-3\approx 2{,}545$ . La primitive obtenue, $x\ln x-x$ , est à connaître comme application type de la méthode, mais sa redécouverte par IPP est ce qui est attendu quand elle n'est pas fournie.

Exercice 5 Quand le logarithme joue le rôle de $u$

★★☆Environ 10 min

Calcule $L=\int_1^e x\ln x\,dx.$

Indice 1

Ici $x$ a une primitive simple, mais $\ln x$ n'en a pas de directe : lequel dois-tu dériver ?

Indice 2

Pose $v'(x)=x$ , donc $v(x)=\frac{x^2}{2}$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=\ln x$ (on dérive le logarithme, qui se simplifie) et $v'(x)=x$ . Alors $u'(x)=\frac1x$ et $v(x)=\frac{x^2}{2}$ .
Formule : $L=\Big[\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^e-\int_1^e\frac{x^2}{2}\times\frac1x\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^e-\int_1^e\frac{x}{2}\,dx$ .
Crochet : en $e$ , $\frac{e^2}{2}\times 1=\frac{e^2}{2}$ ; en $1$ , $\frac12\ln 1=0$ . Le crochet vaut $\frac{e^2}{2}$ .
Intégrale restante : $\int_1^e\frac x2\,dx=\Big[\frac{x^2}{4}\Big]_1^e=\frac{e^2-1}{4}$ .
Donc $L=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097$ .

$L=\frac{e^2+1}{4}\approx 2{,}097$ . Avec un logarithme, on le prend presque toujours comme $u$ : sa dérivée $\frac1x$ est algébrique, ce qui simplifie le produit.

Exercice 6 Exponentielle décroissante et polynôme

★★☆Environ 10 min

Calcule $M=\int_0^1 (2x+1)\,e^{-x}\,dx.$

Indice 1

Attention à la primitive de $e^{-x}$ : elle n'est pas $e^{-x}$ .

Indice 2

Pose $u(x)=2x+1$ et $v'(x)=e^{-x}$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=2x+1$ , $v'(x)=e^{-x}$ . Alors $u'(x)=2$ et $v(x)=-e^{-x}$ (on vérifie : $(-e^{-x})'=e^{-x}$ ).
Formule : $M=\Big[-(2x+1)e^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1 2\times(-e^{-x})\,dx=\Big[-(2x+1)e^{-x}\Big]_0^1+2\int_0^1 e^{-x}\,dx$ .
Crochet : en $1$ on a $-3e^{-1}$ ; en $0$ on a $-1$ . Le crochet vaut $-3e^{-1}+1$ .
Intégrale restante : $2\int_0^1 e^{-x}\,dx=2\big[-e^{-x}\big]_0^1=2(1-e^{-1})=2-2e^{-1}$ .
Somme : $M=1-3e^{-1}+2-2e^{-1}=3-5e^{-1}\approx 1{,}161$ .

$M=3-\frac{5}{e}\approx 1{,}161$ . Les signes sont ici le point délicat : deux signes moins se croisent (celui de $v$ et celui de la formule).

Exercice 7 Une double intégration par parties

★★★Environ 12 min

Calcule $P=\int_0^1 x^2\,e^x\,dx.$ Tu pourras utiliser l'intégrale de l'exercice sur $x\,e^x$ et la relation entre $\int_0^1 xe^x\,dx$ et sa primitive.

Indice 1

Une première IPP fait baisser le degré du polynôme de $2$ à $1$ .

Indice 2

Il restera une intégrale de la forme $\int xe^x\,dx$ , qui demande une seconde IPP.

Voir la correction pas à pas

Première IPP : $u(x)=x^2$ , $v'(x)=e^x$ , donc $u'(x)=2x$ et $v(x)=e^x$ . Alors $P=\big[x^2e^x\big]_0^1-2\int_0^1 xe^x\,dx$ .
Le crochet vaut $e-0=e$ .
Seconde IPP sur $Q=\int_0^1 xe^x\,dx$ : avec $u(x)=x$ , $v'(x)=e^x$ , on obtient $Q=\big[xe^x\big]_0^1-\int_0^1 e^x\,dx=e-(e-1)=1$ .
On remplace : $P=e-2\times 1=e-2$ .
Valeur approchée : $P\approx 0{,}718$ .

$P=e-2\approx 0{,}718$ . Cette répétition de l'IPP pour un polynôme de degré $2$ est classique ; une double intégration par parties est un procédé connu pour des produits de ce genre ⁵.

Exercice 8 Une relation de récurrence

★★★Environ 15 min

Pour tout entier $n\geq 1$ , on pose $I_n=\int_0^1 x^n\,e^x\,dx.$

À l'aide d'une intégration par parties, montre que pour tout $n\geq 1$ : $I_{n+1}=e-(n+1)\,I_n$ .
Sachant que $I_1=1$ et $I_2=e-2$ , calcule $I_3$ .

Indice 1

Pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=e^x$ .

Indice 2

La dérivée de $x^{n+1}$ est $(n+1)x^n$ .

Voir la correction pas à pas

Question 1 : on pose $u(x)=x^{n+1}$ et $v'(x)=e^x$ ; alors $u'(x)=(n+1)x^n$ et $v(x)=e^x$ .
On applique la formule : $I_{n+1}=\big[x^{n+1}e^x\big]_0^1-\int_0^1(n+1)x^ne^x\,dx$ .
Le crochet vaut $1^{n+1}e-0=e$ (car $n+1\geq 2>0$ , donc $0^{n+1}=0$ ).
Par linéarité, $\int_0^1(n+1)x^ne^x\,dx=(n+1)I_n$ . Donc $I_{n+1}=e-(n+1)I_n$ .
Question 2 : on applique la relation avec $n=2$ : $I_3=e-3I_2$ .
On remplace $I_2=e-2$ : $I_3=e-3(e-2)=e-3e+6=6-2e$ .
Valeur approchée : $I_3\approx 0{,}563$ .

$I_3=6-2e\approx 0{,}563$ . Ce type de question (établir une relation entre deux termes consécutifs par intégration par parties, puis l'exploiter) figure dans des sujets de préparation à l'épreuve de spécialité ².

Exercice 9 Une intégration par parties qui boucle

★★★Environ 15 min

On pose $A=\int_0^{\pi} e^x\sin x\,dx\quad\text{et}\quad B=\int_0^{\pi} e^x\cos x\,dx.$

Par une intégration par parties, exprime $A$ en fonction de $B$ .
Par une autre intégration par parties, exprime $B$ en fonction de $A$ .
Déduis-en la valeur de $A$ .

Indice 1

Pour $A$ , pose $u(x)=\sin x$ et $v'(x)=e^x$ .

Indice 2

Tu obtiendras un système de deux égalités à deux inconnues.

Voir la correction pas à pas

Question 1 : avec $u(x)=\sin x$ , $v'(x)=e^x$ , on a $u'(x)=\cos x$ et $v(x)=e^x$ . Donc $A=\big[e^x\sin x\big]_0^{\pi}-B$ .
Le crochet vaut $e^{\pi}\sin\pi-e^0\sin 0=0$ . Donc $A=-B$ .
Question 2 : avec $u(x)=\cos x$ , $v'(x)=e^x$ , on a $u'(x)=-\sin x$ et $v(x)=e^x$ . Donc $B=\big[e^x\cos x\big]_0^{\pi}+A$ .
Le crochet vaut $e^{\pi}\cos\pi-e^0\cos 0=-e^{\pi}-1$ . Donc $B=-e^{\pi}-1+A$ .
Question 3 : on remplace $B=-A$ dans la seconde égalité : $-A=-e^{\pi}-1+A$ , soit $2A=e^{\pi}+1$ .
Donc $A=\frac{e^{\pi}+1}{2}\approx 12{,}070$ .

$A=\frac{e^{\pi}+1}{2}\approx 12{,}070$ . Ce résultat est cohérent avec la primitive classique $\frac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}$ , que l'on obtient aussi par double intégration par parties ⁵ : $\frac{e^{\pi}(0+1)-(1)(0-1)}{2}=\frac{e^{\pi}+1}{2}$ . Il y a « bouclage » car la seconde IPP refait apparaître l'intégrale de départ.

Les questions qu'on se pose

Comment choisir $u$ et $v'$ ?

Choisis pour $u$ la fonction qui devient plus simple quand on la dérive (un polynôme dont le degré baisse, un logarithme), et pour $v'$ celle dont tu connais une primitive (exponentielle, sinus, cosinus). Si l'intégrale obtenue est plus compliquée que celle de départ, inverse les rôles. Dans l'exemple classique d'un produit « $x$ fois un cosinus », on prend $u(x)=x$ et $v'(x)=\cos x$ ⁵.

Faut-il ajouter une constante quand je calcule $v$ ?

Non. Il suffit d'une primitive $v$ : une constante additive disparaîtrait de toute façon au cours des calculs ⁵. Prendre la plus simple (sans constante) évite des erreurs de rédaction.

À quoi sert l'intégration par parties, et la retrouve-t-on au bac ?

Elle permet de calculer l'intégrale ou une primitive d'un produit de fonctions, quand aucune primitive usuelle ne convient ⁵. Elle est explicitement au programme de spécialité de Terminale ³. Dans les sujets de préparation à l'épreuve, on rencontre souvent une consigne du type « à l'aide d'une intégration par parties, établir la relation… » ² : la question guide le choix de $u$ et $v'$ et teste surtout la rigueur des signes et des bornes.

Sources

Programme visé : Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale · Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse

Programme de l'enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse. Consulté le 6 novembre 2026.
Préparer l'épreuve de spécialité Mathématiques au baccalauréat général, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Documents pédagogiques Éduscol - Intégrales et primitives, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Calcul intégral et intégration par parties - Cours magistral, CNRS. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration par parties, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Un produit polynôme-sinus

Exercice 2 Un produit polynôme-exponentielle, avec vérification d'une primitive

Exercice 3 Aire sous une courbe produit

Exercice 4 Intégrer le logarithme

Exercice 5 Quand le logarithme joue le rôle de $u$

Exercice 6 Exponentielle décroissante et polynôme

Exercice 7 Une double intégration par parties

Exercice 8 Une relation de récurrence

Exercice 9 Une intégration par parties qui boucle

Les questions qu'on se pose

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