Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Propriétés de l'intégrale : cours de Terminale spé maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Linéarité : l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales, et on sort les constantes : $\int_a^b (\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$ .
Chasles : $\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f$ , et échanger les bornes change le signe : $\int_b^a f=-\int_a^b f$ .
Positivité : si $f\ge 0$ et $a\le b$ , alors $\int_a^b f\ge 0$ . Croissance : si $f\le g$ et $a\le b$ , alors $\int_a^b f\le\int_a^b g$ . Les bornes doivent être dans l'ordre croissant.
Pour une constante $k$ : $\int_a^b k\,dx=k(b-a)$ . L'aire entre deux courbes se calcule avec l'intégrale de la différence, la courbe du dessus moins celle du dessous.
Piège principal : une intégrale positive ne prouve pas que la fonction est positive, et une intégrale ne donne une aire que là où la fonction garde un signe constant.

Pourquoi des propriétés de l'intégrale ?

Au chapitre précédent, tu as relié l'intégrale à une aire sous une courbe. Dans ce cours, on met en place les règles de calcul qui permettent de manipuler une intégrale sans refaire un calcul d'aire à chaque fois : découper un intervalle, séparer une somme, comparer deux fonctions, encadrer une valeur que l'on ne sait pas calculer exactement.

Le programme de Terminale spécialité cite ces propriétés : la linéarité, la positivité, la croissance et la relation de Chasles, ainsi que la définition de l'intégrale lorsque les bornes sont dans le mauvais ordre ¹. Il demande aussi de calculer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle, de calculer une valeur moyenne et de calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes ¹. Toutes ces tâches reposent sur les règles de ce cours.

Le programme admet, sans démonstration, qu'une intégrale existe pour chacune des fonctions que tu rencontres cette année ¹. Tu n'as donc pas à justifier cette existence : tu peux te concentrer sur l'utilisation des propriétés.

Rappels : intégrale, primitive et bornes inversées

Quand $a\le b$ et que $f$ est positive, cette intégrale est l'aire du domaine compris entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ (en unités d'aire). Quand $f$ change de signe, l'intégrale est une aire algébrique : les parties sous l'axe comptent négativement. Nous y reviendrons.

La linéarité

Démonstration · Pourquoi la linéarité fonctionne (cas des primitives)

Soit $F$ une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ . La dérivation étant linéaire, $(\lambda F+\mu G)'=\lambda f+\mu g$ : la fonction $\lambda F+\mu G$ est donc une primitive de $\lambda f+\mu g$ . On obtient

$\int_a^b(\lambda f+\mu g)=(\lambda F+\mu G)(b)-(\lambda F+\mu G)(a)=\lambda\big(F(b)-F(a)\big)+\mu\big(G(b)-G(a)\big),$

ce qui vaut $\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$ .

Attention, erreur fréquentePas de linéarité pour un produit

La linéarité concerne les sommes et les multiples constants. Elle ne s'applique pas à un produit :

$\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx\ne\int_a^b f(x)\,dx\times\int_a^b g(x)\,dx.$

Contre-exemple : avec $f(x)=g(x)=x$ sur $[0\,;1]$ , le membre de gauche vaut $\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ , et le produit des intégrales vaut $\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ . De même, on ne peut pas sortir de l'intégrale une expression qui dépend de $x$ : écrire $x\int_0^1 e^x\,dx$ à la place de $\int_0^1 x\,e^x\,dx$ n'a aucun sens, car $x$ est la variable muette.

La relation de Chasles

Démonstration · Preuve avec une primitive

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$ . Alors

$\int_a^b f+\int_b^c f=\big(F(b)-F(a)\big)+\big(F(c)-F(b)\big)=F(c)-F(a)=\int_a^c f.$

Le terme $F(b)$ apparaît une fois avec un signe plus et une fois avec un signe moins : il se simplifie, comme dans la relation de Chasles pour les vecteurs.

Sur un graphique, quand $a\le b\le c$ et que $f$ est positive, la relation traduit une évidence géométrique : l'aire sous la courbe entre $a$ et $c$ est la somme de l'aire entre $a$ et $b$ et de l'aire entre $b$ et $c$ ¹. La relation de Chasles est très utile pour deux situations.

Positivité et croissance

Démonstration · La croissance découle de la positivité et de la linéarité

Si $f\le g$ sur $[a\,;b]$ , alors $g-f\ge 0$ sur $[a\,;b]$ . Par positivité, $\int_a^b (g-f)\ge 0$ . Par linéarité, $\int_a^b (g-f)=\int_a^b g-\int_a^b f$ . Donc $\int_a^b g-\int_a^b f\ge 0$ , c'est-à-dire $\int_a^b f\le\int_a^b g$ .

Les courbes de y = x et y = x² sur [0 ; 1] · Sur [0 ; 1], la droite est au-dessus de la parabole : l'aire entre les deux se calcule avec l'intégrale de x − x².

Fonction constante, encadrement et valeur approchée

Aires et valeur absolue : entre deux courbes

Le programme demande de calculer une aire sous une courbe ou entre deux courbes ¹. Les propriétés précédentes donnent les règles à suivre.

Méthode générale et erreurs fréquentes

RepérerSomme, constante, découpage, comparaison ?
VérifierBornes dans l'ordre : a ≤ b ; signe de la fonction.
AppliquerLinéarité, Chasles, positivité ou croissance.
ConclureCalcul par primitive ou encadrement rédigé.

Démarche pour exploiter une propriété de l'intégrale

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul avec la linéarité

★☆☆Environ 6 min

Calcule $I=\int_0^2 (3x+5)\,dx$ en utilisant la linéarité.

Indice 1

Sépare l'intégrale en deux, puis sors les constantes.

Indice 2

Utilise $\int_0^2 x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2$ et l'intégrale d'une constante.

Voir la correction pas à pas

Linéarité : $I=3\int_0^2 x\,dx+\int_0^2 5\,dx$ .
Primitive de $x$ : $\int_0^2 x\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^2=2-0=2$ .
Constante : $\int_0^2 5\,dx=5\times(2-0)=10$ .
Somme : $I=3\times 2+10=16$ .

On obtient $I=16$ . La linéarité permet de traiter chaque terme séparément ; une constante s'intègre en multipliant par la longueur de l'intervalle.

Exercice 2 Chasles et bornes inversées

★★☆Environ 8 min

Une fonction $f$ continue sur $[0\,;5]$ vérifie $\int_0^5 f(x)\,dx=7$ et $\int_3^5 f(x)\,dx=4$ .

Calcule $\int_0^3 f(x)\,dx$ .
En déduis $\int_3^0 f(x)\,dx$ .

Indice 1

Écris la relation de Chasles avec les bornes $0$ , $3$ et $5$ .

Indice 2

Pour la seconde question, échange les bornes en changeant le signe.

Voir la correction pas à pas

Chasles : $\int_0^5 f=\int_0^3 f+\int_3^5 f$ .
On remplace : $7=\int_0^3 f+4$ , donc $\int_0^3 f=3$ .
Bornes inversées : $\int_3^0 f=-\int_0^3 f$ .
Résultat : $\int_3^0 f(x)\,dx=-3$ .

La première intégrale vaut $3$ et la seconde $-3$ . Le changement de signe dû aux bornes inversées est le point à ne pas oublier.

Exercice 3 Aire entre deux courbes

★★★Environ 12 min

Dans un repère, on considère les courbes $\mathcal C_f$ de $f(x)=x$ et $\mathcal C_g$ de $g(x)=x^2$ sur $[0\,;1]$ .

Compare $f(x)$ et $g(x)$ sur $[0\,;1]$ .
Calcule l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre les deux courbes.

Indice 1

Étudie le signe de $f(x)-g(x)=x(1-x)$ sur $[0\,;1]$ .

Indice 2

L'aire est l'intégrale de la courbe du dessus moins la courbe du dessous.

Voir la correction pas à pas

Pour $x\in[0\,;1]$ : $x\ge 0$ et $1-x\ge 0$ , donc $x-x^2=x(1-x)\ge 0$ : la droite est au-dessus de la parabole.
Aire : $\mathcal A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx$ .
Linéarité : $\mathcal A=\int_0^1 x\,dx-\int_0^1 x^2\,dx$ .
Primitives : $\int_0^1 x\,dx=\dfrac12$ et $\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ .
Résultat : $\mathcal A=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16\approx 0{,}167$ unité d'aire.

L'aire vaut $\dfrac16$ unité d'aire. Les trois temps à retenir : déterminer quelle courbe est au-dessus, écrire l'intégrale de la différence, puis calculer par linéarité et primitives.

Les questions qu'on se pose

À quoi servent les propriétés de l'intégrale si on sait calculer avec une primitive ?

Elles servent d'abord quand la primitive n'est pas accessible : on peut encadrer ou comparer une intégrale sans la calculer. Elles servent aussi à organiser un calcul (séparer une somme, découper en deux) et à raisonner sur des intégrales dont on ne connaît que les valeurs, comme dans les questions du Bac qui donnent $\int_0^3 f=5$ sans donner $f$ . Certaines primitives ne s'expriment pas avec les fonctions usuelles ⁴, et l'encadrement devient alors précieux.

Pourquoi faut-il que a ≤ b pour utiliser la positivité et la croissance ?

Parce que l'intégrale de $a$ à $b$ avec $a>b$ est, par définition, l'opposé de l'intégrale de $b$ à $a$ (le programme prévoit cette définition ¹). Le signe change, donc le sens des inégalités aussi. Exemple : $x\ge 0$ sur $[0\,;2]$ , mais $\int_2^0 x\,dx=-2<0$ . Avant d'invoquer ces propriétés, vérifie toujours que la borne du bas est inférieure à celle du haut.

Comment savoir si une intégrale est une aire ?

Une intégrale $\int_a^b f$ donne directement une aire, en unités d'aire, quand $a\le b$ et que $f\ge 0$ sur l'intervalle. Si $f\le 0$ , l'aire est l'opposé de l'intégrale. Si $f$ change de signe, tu découpes avec Chasles aux points d'annulation, puis tu additionnes les aires de chaque morceau avec le bon signe.

Qu'est-ce qui peut tomber au Bac sur ce chapitre ?

On y retrouve souvent : un calcul d'intégrale par primitive, l'utilisation de la linéarité ou de Chasles à partir de valeurs données, une comparaison de deux intégrales par croissance, un encadrement d'une intégrale, un calcul d'aire entre deux courbes, ou une valeur moyenne ¹. Le plus important est de justifier chaque étape par le nom de la propriété utilisée et de vérifier l'ordre des bornes.

La valeur d'une intégrale dépend-elle de la lettre utilisée pour la variable ?

Non. Dans $\int_a^b f(x)\,dx$ , la variable $x$ est muette : on peut écrire $t$ , $u$ ou toute autre lettre sans changer la valeur. Le résultat ne dépend que de $f$ , de $a$ et de $b$ .

Sources

Ressources d'accompagnement — Calcul intégral (Propriétés de l'intégrale), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe — Programme spécialité mathématiques Terminale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégrale impropre, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Propriétés de l'intégrale : cours de Terminale spé maths

L'essentiel

Pourquoi des propriétés de l'intégrale ?

Rappels : intégrale, primitive et bornes inversées

La linéarité

La relation de Chasles

Positivité et croissance

Fonction constante, encadrement et valeur approchée

Aires et valeur absolue : entre deux courbes

Méthode générale et erreurs fréquentes

Exercices corrigés

Exercice 1 Calcul avec la linéarité

Exercice 2 Chasles et bornes inversées

Exercice 3 Aire entre deux courbes

Quiz

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