Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Propriétés de l'intégrale : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Linéarité : $\int_a^b (\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^b f+\mu\int_a^b g$ , et l'intégrale d'une constante $c$ vaut $c(b-a)$ .
Chasles : $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$ ; inverser les bornes change le signe de l'intégrale.
Positivité et croissance : si $f\geq 0$ (ou $f\leq g$ ) sur $[a;b]$ avec $a\leq b$ , l'inégalité passe à l'intégrale.
Pour calculer : trouve une primitive $F$ , puis $F(b)-F(a)$ ; pour une valeur approchée : méthode des rectangles.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices viennent après la notion d'intégrale et d'aire. Ils portent sur les propriétés qui permettent de manipuler une intégrale sans toujours la calculer. Cherche chaque exercice sur papier avant d'ouvrir les indices, puis compare ta rédaction avec la correction pas à pas.

Les difficultés augmentent progressivement. Les premiers exercices n'utilisent qu'une seule propriété. Les suivants demandent de repérer laquelle appliquer, puis d'en enchaîner plusieurs. Les derniers mélangent calcul exact, encadrement et approximation.

À retenirLes outils à avoir en tête

Le programme de Terminale prévoit de définir l'intégrale lorsque la borne du bas est plus grande que celle du haut, puis d'utiliser linéarité, positivité, croissance et relation de Chasles ¹. Pour les fonctions que tu rencontres, on admet que l'intégrale existe bien ¹.

Linéarité : $\int_a^b (\lambda f+\mu g)(x)\,dx=\lambda\int_a^b f(x)\,dx+\mu\int_a^b g(x)\,dx$ ¹.
Chasles : $\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx$ ¹.
Bornes inversées : $\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ ¹.
Positivité : si $a\leq b$ et $f\geq 0$ sur $[a;b]$ , alors $\int_a^b f\geq 0$ ¹.
Croissance : si $a\leq b$ et $f\leq g$ sur $[a;b]$ , alors $\int_a^b f\leq\int_a^b g$ ¹.
Fonction constante : $\int_a^b c\,dx=c(b-a)$ ¹.

Les exercices

Exercice 1 Combiner des intégrales connues

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0;2]$ telles que $\int_0^2 f(x)\,dx=3$ et $\int_0^2 g(x)\,dx=5$ .

Calcule $I=\int_0^2 \big(2f(x)-3g(x)+4\big)\,dx$ .

Indice 1

Sépare l'intégrale en trois morceaux grâce à la linéarité.

Indice 2

L'intégrale de la constante $4$ sur $[0;2]$ vaut $4\times(2-0)$ .

Voir la correction pas à pas

On applique la linéarité : $I=2\int_0^2 f-3\int_0^2 g+\int_0^2 4\,dx$ .
On remplace les valeurs connues : $2\times 3-3\times 5$ , soit $6-15=-9$ .
On calcule l'intégrale de la constante : $\int_0^2 4\,dx=4\times(2-0)=8$ .
On additionne : $I=-9+8=-1$ .

On obtient $I=-1$ . Une intégrale peut être négative dès que les fonctions ne sont pas positives ou que les coefficients changent le signe.

Exercice 2 Utiliser la relation de Chasles

★☆☆Environ 4 min

Soit $f$ une fonction continue sur $[1;5]$ telle que $\int_1^3 f(x)\,dx=4$ et $\int_1^5 f(x)\,dx=9$ .

Calcule $\int_3^5 f(x)\,dx$ .

Indice 1

Écris $\int_1^5 f$ comme somme de deux intégrales en coupant en $3$ .

Voir la correction pas à pas

Par Chasles : $\int_1^5 f=\int_1^3 f+\int_3^5 f$ .
On remplace : $9=4+\int_3^5 f$ .
On isole : $\int_3^5 f=9-4=5$ .

On trouve $\int_3^5 f(x)\,dx=5$ . Chasles sert autant à découper qu'à retrouver un morceau manquant.

Exercice 3 Bornes inversées

★☆☆Environ 5 min

Soit $f$ continue sur $[2;5]$ avec $\int_2^5 f(x)\,dx=7$ .

Calcule $J=\int_5^2 \big(3f(x)+1\big)\,dx$ .

Indice 1

Commence par remettre les bornes dans l'ordre croissant en changeant le signe.

Indice 2

N'oublie pas l'intégrale de la constante $1$ .

Voir la correction pas à pas

Bornes inversées : $J=-\int_2^5 \big(3f(x)+1\big)\,dx$ .
Linéarité : $\int_2^5 (3f+1)=3\times 7+\int_2^5 1\,dx=21+(5-2)=24$ .
On remet le signe : $J=-24$ .

Ainsi $J=-24$ . On peut aussi calculer directement avec les bornes $5$ et $2$ : $\int_5^2 1\,dx=2-5=-3$ , ce qui donne $-21-3=-24$ .

Exercice 4 Trouver un paramètre

★★☆Environ 8 min

Soit $k$ un réel et $f_k(x)=kx+1$ . Détermine $k$ pour que $\int_0^2 f_k(x)\,dx=8$ .

Indice 1

Une primitive de $x\mapsto kx+1$ est $x\mapsto \dfrac{k}{2}x^2+x$ .

Indice 2

Évalue en $2$ et en $0$ , puis résous une équation du premier degré en $k$ .

Voir la correction pas à pas

Une primitive de $f_k$ est $F(x)=\dfrac{k}{2}x^2+x$ .
On calcule $F(2)-F(0)=\dfrac{k}{2}\times 4+2-0=2k+2$ .
On résout $2k+2=8$ , soit $2k=6$ .
On obtient $k=3$ .

La valeur cherchée est $k=3$ . Vérification : $\int_0^2 (3x+1)\,dx=\left[\tfrac32x^2+x\right]_0^2=6+2=8$ .

Exercice 5 Une valeur absolue découpée

★★☆Environ 10 min

On considère la fonction $h(x)=|x|$ sur $[-2;3]$ . Calcule $\int_{-2}^{3}|x|\,dx$ en la découpant avec la relation de Chasles, puis interprète le résultat comme une aire.

Indice 1

Pour $x\leq 0$ , $|x|=-x$ ; pour $x\geq 0$ , $|x|=x$ .

Indice 2

Coupe l'intervalle en $0$ .

Voir la correction pas à pas

Par Chasles : $\int_{-2}^{3}|x|\,dx=\int_{-2}^{0}(-x)\,dx+\int_{0}^{3}x\,dx$ .
Première intégrale : une primitive de $-x$ est $-\dfrac{x^2}{2}$ , donc $\left[-\dfrac{x^2}{2}\right]_{-2}^{0}=0-(-2)=2$ .
Seconde intégrale : $\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^3=\dfrac92$ .
Somme : $2+\dfrac92=\dfrac{13}{2}=6{,}5$ .

L'intégrale vaut $6{,}5$ . Comme la fonction est positive, c'est l'aire du domaine entre la courbe et l'axe des abscisses : deux triangles d'aires $2$ et $4{,}5$ .

Exercice 6 Comparer deux intégrales

★★☆Environ 10 min

Justifie que pour tout $x\in[0;1]$ , $x^2\leq x$ .
En déduire une comparaison de $\int_0^1 x^2\,dx$ et $\int_0^1 x\,dx$ .
Calcule $\int_0^1 (x-x^2)\,dx$ et vérifie la cohérence avec la positivité.

Indice 1

Factorise $x-x^2$ .

Indice 2

Utilise la croissance de l'intégrale, bornes dans l'ordre croissant.

Voir la correction pas à pas

$x-x^2=x(1-x)$ : sur $[0;1]$ , $x\geq 0$ et $1-x\geq 0$ , donc $x-x^2\geq 0$ .
Comme $x^2\leq x$ sur $[0;1]$ et $0\leq 1$ , la croissance donne $\int_0^1 x^2\,dx\leq\int_0^1 x\,dx$ .
Par linéarité : $\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^1-\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ .
Ce résultat est positif, ce qui est cohérent avec la positivité appliquée à $x-x^2\geq 0$ .

On trouve $\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\dfrac16\approx 0{,}1667$ , strictement positif, en accord avec la comparaison.

Exercice 7 Intégrale d'une somme avec exponentielle

★★☆Environ 8 min

Calcule exactement $L=\int_0^1 \big(e^{x}+2x\big)\,dx$ , en séparant les deux termes par linéarité.

Indice 1

Une primitive de $e^x$ est $e^x$ .

Indice 2

Une primitive de $2x$ est $x^2$ .

Voir la correction pas à pas

Par linéarité : $L=\int_0^1 e^x\,dx+\int_0^1 2x\,dx$ .
Première intégrale : $\left[e^x\right]_0^1=e-1$ .
Seconde intégrale : $\left[x^2\right]_0^1=1$ .
Somme : $L=e-1+1=e$ .

On obtient $L=e\approx 2{,}718$ . Les deux termes se compensent en partie : le $-1$ venant de l'exponentielle est annulé par le $+1$ du terme linéaire.

Exercice 8 Encadrer sans primitive

★★★Environ 12 min

On pose $M=\int_0^1 \dfrac{1}{1+x^2}\,dx$ . On ne cherche pas de primitive.

Montre que pour tout $x\in[0;1]$ , $\dfrac12\leq\dfrac{1}{1+x^2}\leq 1$ .
Déduis-en un encadrement de $M$ .

Indice 1

Encadre d'abord $1+x^2$ lorsque $x\in[0;1]$ .

Indice 2

Une fonction inverse renverse les inégalités entre nombres positifs.

Indice 3

Intègre ensuite les trois termes de l'encadrement sur $[0;1]$ , ce sont des constantes aux extrémités.

Voir la correction pas à pas

Pour $x\in[0;1]$ , on a $0\leq x^2\leq 1$ , donc $1\leq 1+x^2\leq 2$ .
Tous ces nombres sont strictement positifs : en prenant les inverses, l'ordre s'inverse et $\dfrac12\leq\dfrac{1}{1+x^2}\leq 1$ .
Les bornes $0\leq 1$ sont dans l'ordre croissant : la croissance de l'intégrale donne $\int_0^1\dfrac12\,dx\leq M\leq\int_0^1 1\,dx$ .
Les deux intégrales de constantes valent $\dfrac12\times 1=\dfrac12$ et $1\times 1=1$ .

On obtient $\dfrac12\leq M\leq 1$ . Cet encadrement ne donne pas la valeur de $M$ , mais il montre qu'on peut renseigner une intégrale sans primitive explicite.

Exercice 9 Valeur approchée par rectangles

★★★Environ 12 min

On veut approcher $A=\int_0^1 x^2\,dx$ par la méthode des rectangles, avec $4$ rectangles de même largeur et en prenant la valeur de la fonction à l'extrémité gauche de chaque sous-intervalle.

Calcule cette valeur approchée $S$ .
Sachant qu'une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ , calcule $A$ exactement et compare. Explique pourquoi $S$ est inférieure à $A$ .

Indice 1

La largeur de chaque rectangle est $\dfrac14$ ; les abscisses de gauche sont $0$ , $\dfrac14$ , $\dfrac12$ , $\dfrac34$ .

Indice 2

La fonction $x\mapsto x^2$ est croissante sur $[0;1]$ .

Voir la correction pas à pas

Largeur : $\dfrac{1-0}{4}=\dfrac14$ .
Hauteurs : $0^2=0$ , $\left(\dfrac14\right)^2=\dfrac1{16}$ , $\left(\dfrac24\right)^2=\dfrac4{16}$ , $\left(\dfrac34\right)^2=\dfrac9{16}$ .
$S=\dfrac14\left(0+\dfrac1{16}+\dfrac4{16}+\dfrac9{16}\right)=\dfrac14\times\dfrac{14}{16}=\dfrac{14}{64}=0{,}21875$ .
Valeur exacte : $A=\dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3}=\dfrac13\approx 0{,}3333$ .
La fonction étant croissante, sur chaque sous-intervalle le rectangle de gauche reste sous la courbe : il donne une valeur par défaut, donc $S<A$ .

On obtient $S=0{,}21875$ contre $A\approx 0{,}3333$ . Augmenter le nombre de rectangles resserre l'approximation ; c'est le principe d'un encadrement par rectangles.

Exercice 10 Chasles, linéarité et bornes inversées réunies

★★★Environ 12 min

Soit $f$ continue sur $[0;6]$ telle que $\int_0^4 f(x)\,dx=10$ et $\int_6^4 f(x)\,dx=-3$ .

Calcule $K=\int_0^6 \big(2f(x)-1\big)\,dx$ .

Indice 1

Utilise les bornes inversées pour obtenir $\int_4^6 f$ .

Indice 2

Puis Chasles pour obtenir $\int_0^6 f$ .

Voir la correction pas à pas

Bornes inversées : $\int_4^6 f=-\int_6^4 f=3$ .
Chasles : $\int_0^6 f=\int_0^4 f+\int_4^6 f=10+3=13$ .
Linéarité : $K=2\times 13-\int_0^6 1\,dx=26-6$ .
$K=20$ .

On trouve $K=20$ . Ici trois propriétés s'enchaînent : retourner les bornes, recoller par Chasles, puis appliquer la linéarité.

Les questions qu'on se pose

Quand a-t-on le droit d'utiliser la croissance de l'intégrale ?

Il faut deux conditions : les bornes sont rangées dans l'ordre croissant ( $a\leq b$ ) et l'inégalité $f\leq g$ est vraie pour tout $x$ de $[a;b]$ ¹. Si les bornes sont inversées, l'inégalité change de sens à cause du signe moins. Vérifie toujours l'ordre des bornes avant de conclure.

La relation de Chasles marche-t-elle si $b$ n'est pas entre $a$ et $c$ ?

Oui, tant que $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ , car la définition avec bornes inversées permet de placer les bornes dans n'importe quel ordre ¹. En pratique, au lycée, on découpe presque toujours avec un point intermédiaire, comme dans les exercices ci-dessus.

Comment calculer une intégrale quand on ne connaît pas la fonction mais seulement d'autres intégrales ?

On ramène l'intégrale cherchée à celles qu'on connaît grâce à la linéarité, à Chasles et au changement de signe pour les bornes inversées ¹. Écris l'intégrale demandée comme combinaison des données, puis remplace par leurs valeurs, sans chercher de primitive.

Sources

Ressources d'accompagnement — Calcul intégral (Propriétés de l'intégrale), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programmes et ressources en mathématiques - Voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Annexe — Programme spécialité mathématiques Terminale, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégration (mathématiques), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Intégrale impropre, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Propriétés de l'intégrale : exercices corrigés de Terminale

L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Combiner des intégrales connues

Exercice 2 Utiliser la relation de Chasles

Exercice 3 Bornes inversées

Exercice 4 Trouver un paramètre

Exercice 5 Une valeur absolue découpée

Exercice 6 Comparer deux intégrales

Exercice 7 Intégrale d'une somme avec exponentielle

Exercice 8 Encadrer sans primitive

Exercice 9 Valeur approchée par rectangles

Exercice 10 Chasles, linéarité et bornes inversées réunies

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur