Dérivée d'une fonction composée : cours de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction composée v∘u applique d'abord u, puis v au résultat : (v∘u)(x)=v(u(x)).3
Sa dérivée vaut (v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x) : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur.1
Méthode : repérer u et v, calculer u′ et v′, évaluer v′ en u(x), multiplier, puis simplifier ou factoriser.
Piège numéro un : oublier le facteur u′(x). Piège numéro deux : confondre v′(u(x)) et v(u′(x)).
Cette dérivée sert à étudier les variations, écrire une tangente et préparer l'étude de l'exponentielle et du logarithme composés.
Pourquoi une nouvelle règle de dérivation ?
Tu sais déjà dériver une somme, un produit ou un quotient de fonctions. Pourtant, certaines fonctions résistent à ces règles. Prends f(x)=(3x+2)4 ou g(x)=x2+1. Tu peux développer la première, mais c'est long et source d'erreurs. La seconde ne se développe pas du tout.
En Terminale, on met en place l'outil de la fonction dérivée et on se donne les moyens de calculer la dérivée de familles de fonctions plus larges.1 Parmi les règles du programme figurent la dérivation d'une somme, d'un produit, d'un quotient et d'une composée de deux fonctions.1 Ce cours est consacré à la dernière : la composée.
Ce que tu dois savoir faire à la fin du cours :
reconnaître qu'une fonction est une composée et identifier ses deux « étages » ;
appliquer la formule de dérivation sans oublier de facteur ;
utiliser le résultat pour étudier des variations ou écrire une tangente.
Rappels : nombre dérivé et fonction dérivée
Le nombre dérivé renseigne sur le comportement local de la fonction : il mesure la vitesse à laquelle la fonction change quand la variable change.2 Si f′(x0)>0, la fonction croît autour de x0 ; si f′(x0)<0, elle décroît.
Pour les fonctions simples, on lit la dérivée dans la table des dérivées usuelles. Pour un produit, un quotient ou une composée, on s'appuie sur quelques règles de calcul qui découlent de la définition.2 Le programme demande de connaître les dérivées des fonctions de référence.1 Nous nous servirons notamment de celles-ci :
Fonction v(t)
Dérivée v′(t)
tn (n entier)
ntn−1
t (t>0)
2t1
t1 (t=0)
−t21
et
et
La composition de fonctions
Le théorème de dérivation d'une fonction composée
DécomposerRepérer u(x) à l'intérieur et v(t) à l'extérieur
DériverCalculer u'(x) et v'(t) séparément
AssemblerÉcrire v'(u(x)) multiplié par u'(x)
SimplifierFactoriser pour étudier le signe
Dériver une fonction composée · Les quatre étapes de la méthode.
Formules particulières à connaître
En appliquant le théorème avec les dérivées de référence, on obtient des formules d'usage courant. Elles se retrouvent toutes avec la formule générale : mieux vaut comprendre le mécanisme que les apprendre par cœur.
Démonstration · Retrouver la formule de $\sqrt{u}$
Prenons v(t)=t, de dérivée v′(t)=2t1 pour t>0. Si u(x)>0, le théorème donne
La condition u(x)>0 est indispensable : la racine n'est pas dérivable en 0.
Démonstration · Retrouver la formule de $\dfrac1u$
Prenons v(t)=t1, de dérivée v′(t)=−t21 pour t=0. Si u(x)=0, le théorème donne
(u1)′(x)=−u(x)21×u′(x)=−u(x)2u′(x).
Tu retrouves ainsi la formule de dérivation de l'inverse, sans avoir à l'apprendre séparément.
Méthode complète et exemples rédigés
Le cas particulier d'une fonction affine à l'intérieur
Très souvent, la fonction intérieure est affine : u(x)=ax+b. Dans ce cas u′(x)=a, un simple nombre, et le théorème prend une forme très pratique.1
Cas plus délicats : combiner les règles
Dans un exercice de Bac, la composée apparaît souvent à l'intérieur d'un produit ou d'un quotient. Les règles se combinent : on traite l'expression de l'extérieur vers l'intérieur, en choisissant à chaque étage la règle adaptée.1
À quoi sert cette dérivée ?
Calculer une dérivée n'est jamais le but : c'est un moyen. Le signe de la dérivée donne le sens de variation, le nombre dérivé donne la pente de la tangente.2 La dérivation d'une composée s'appliquera à diverses familles de fonctions, et notamment à l'étude des fonctions logarithme et exponentielle.1 Elle te servira aussi pour la suite du chapitre, avec la dérivée seconde et la convexité, puis les points d'inflexion.
Exercices corrigés
Exercice 1 Dériver une puissance et évaluer
★☆☆Environ 6 min
Soit f(x)=(3x+2)4 définie sur R.
Identifie u et v telles que f=v∘u.
Calcule f′(x).
Calcule le nombre dérivé f′(1).
Indice 1
L'intérieur est ce que tu calcules en premier : 3x+2.
Indice 2
N'oublie pas de multiplier par la dérivée de l'intérieur.
Voir la correction pas à pas
On pose u(x)=3x+2 et v(t)=t4, donc f=v∘u.
On calcule u′(x)=3 et v′(t)=4t3.
On assemble : f′(x)=v′(u(x))×u′(x)=4(3x+2)3×3=12(3x+2)3.
On évalue en 1 : 3×1+2=5, donc f′(1)=12×53=12×125=1500.
Le nombre dérivé vaut f′(1)=1500 : la tangente en x=1 est très raide, ce qui est cohérent avec une fonction qui monte vite (f(1)=625).
Exercice 2 Dérivée d'une racine
★★☆Environ 8 min
Soit g(x)=x2+1 définie sur R.
Justifie que g est dérivable sur R.
Calcule g′(x).
Calcule la valeur décimale de g′(2) arrondie à 10−3 près.
Indice 1
La racine n'est dérivable que pour des valeurs strictement positives.
Indice 2
Utilise (u)′=2uu′.
Voir la correction pas à pas
Pour tout réel x, x2+1≥1>0 : la racine est dérivable en ces valeurs, donc g est dérivable sur R.
On pose u(x)=x2+1, donc u′(x)=2x.
On applique la formule : g′(x)=2x2+12x=x2+1x.
En x=2 : g′(2)=52≈0,894.
On obtient g′(2)=52≈0,894. Le résultat est positif, ce qui confirme que g croît pour x>0.
Exercice 3 Dérivée d'un inverse
★★☆Environ 8 min
Soit k(x)=x2+41 définie sur R.
Justifie que k est dérivable sur R.
Calcule k′(x).
Calcule k′(1).
Indice 1
Pose u(x)=x2+4 et utilise (u1)′=−u2u′.
Indice 2
Le dénominateur ne s'annule jamais.
Voir la correction pas à pas
Pour tout réel x, x2+4≥4>0 : le dénominateur ne s'annule pas, donc k est dérivable sur R.
On pose u(x)=x2+4, donc u′(x)=2x.
On applique la formule : k′(x)=−(x2+4)22x.
En x=1 : k′(1)=−522=−252=−0,08.
On trouve k′(1)=−0,08 : la tangente en x=1 est légèrement descendante, ce qui est cohérent avec une fonction qui décroît pour x>0.
Exercice 4 Exponentielle composée et variations
★★★Environ 12 min
Soit h(x)=ex2−x définie sur R.
Calcule h′(x).
Étudie le signe de h′ et dresse le tableau de variations de h.
Calcule la pente de la tangente à la courbe de h en x=1 (valeur exacte).
Indice 1
Pose u(x)=x2−x et utilise (eu)′=u′eu.
Indice 2
Une exponentielle est toujours strictement positive.
Voir la correction pas à pas
On pose u(x)=x2−x, donc u′(x)=2x−1.
On obtient h′(x)=(2x−1)ex2−x.
Comme ex2−x>0, le signe de h′(x) est celui de 2x−1 : négatif pour x<21, positif pour x>21.
La fonction h décroît sur ]−∞;21] et croît sur [21;+∞[, avec un minimum h(21)=e−1/4.
En x=1 : u(1)=0 et u′(1)=1, donc h′(1)=1×e0=1.
La pente de la tangente en x=1 vaut exactement 1, et h admet un minimum en x=21.
Quiz
9 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
On pose u(x)=5x−1, u′(x)=5 et v(t)=t3. Donc f′(x)=3(5x−1)2×5=15(5x−1)2. La réponse 3(5x−1)2 oublie le facteur u′(x)=5, erreur la plus fréquente.
Par définition, (v∘u)(x)=v(u(x)) : on calcule d'abord u(x), puis on applique v. Lire de gauche à droite fait croire que v passe d'abord, ce qui est faux.
Avec u(x)=3x2, u′(x)=6x, donc la dérivée est 6xe3x2. Seule ex est sa propre dérivée ; dès que l'exposant n'est pas x, il faut multiplier par u′.
Avec u′(x)=4, on obtient 24x+14=4x+12. La réponse 24x+11 oublie u′ ; 4x+14 oublie le facteur 2 du dénominateur.
f′(x)=3×2×(2x−1)2=6(2x−1)2. En x=2 : 6×32=54. En oubliant le facteur 2, on trouverait 27.
Le théorème de dérivation d'une composée donne f′(x)=v′(u(x))u′(x). La première formule évalue v′ en x au lieu de u(x) ; la deuxième remplace le produit par une composition.
h′(x)=(2x−4)ex2−4x et l'exponentielle est strictement positive : le signe est celui de 2x−4. Le signe de x2−4x concerne l'exposant, pas la pente.
Avec u(x)=−3x+1, u′(x)=−3 et (eu)′=u′eu : on obtient −3e−3x+1. Recopier e−3x+1 oublie u′ ; 3e−3x+1 perd le signe moins ; la dernière réponse multiplie par u au lieu de u′.
Avec u(x)=x2+4 et (u1)′=−u2u′, on trouve bien −(x2+4)22x. L'erreur tentante est d'écrire −(x2+4)21, qui oublie le facteur u′(x)=2x.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction est une composée ?
Imagine le calcul de f(x) à la calculatrice. S'il y a une opération appliquée à un résultat intermédiaire qui n'est pas simplement x (puissance, racine, exponentielle, inverse d'une expression), tu as une composée. La dernière opération effectuée est la fonction extérieure v.
Faut-il toujours utiliser la formule, ou puis-je développer ?
Développer est possible pour une petite puissance, mais devient vite long et risqué. Pour une racine ou une exponentielle, le développement est impossible. La formule est plus sûre, et elle donne directement une forme factorisée, utile pour étudier le signe.
Pourquoi y a-t-il un facteur $u'(x)$ ?
Parce que la variable intermédiaire u(x) varie elle-même quand x varie. La variation finale combine deux effets : celui de x sur u, puis celui de u sur v. D'où le produit des deux dérivées. Le théorème est admis au lycée et expliqué graphiquement.1
Est-ce que ça tombe au Bac ?
Oui, très souvent, surtout avec des exponentielles ou des puissances dans l'étude de fonction. La dérivation d'une composée fait partie des règles du programme de Terminale.1 Pense à justifier la dérivabilité et à factoriser f′(x) avant d'étudier son signe.
Que faire quand il y a plusieurs compositions imbriquées ?
Applique la formule de l'extérieur vers l'intérieur, étage par étage. À chaque étape, tu gardes l'intérieur tel quel puis tu multiplies par sa dérivée, que tu calcules à son tour avec la même règle si besoin.