Dérivée d'une fonction composée : fiche de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction composée est de la forme x↦v(u(x)) : on applique d'abord u, puis v au résultat.
Sa dérivée est (v∘u)′(x)=v′(u(x))×u′(x) : dérivée de l'extérieur prise en u(x), multipliée par la dérivée de l'intérieur.
Méthode : repérer u (l'intérieur) et v (l'extérieur), dériver chacune, puis assembler.
Piège principal : oublier le facteur u′(x) ou écrire v′(x) au lieu de v′(u(x)).
Ce qu'il faut retenir
Quand une fonction s'écrit comme une fonction à l'intérieur d'une autre, on ne peut pas la dériver comme un simple produit ou une simple somme. Il faut un théorème dédié, admis en Terminale et justifié graphiquement dans les ressources officielles 1.
La méthode en quatre temps
Les cas particuliers à reconnaître
En appliquant le théorème aux dérivées des fonctions de référence, on obtient des formules rapides. Ce sont des applications directes de la formule générale, à connaître par cœur pour gagner du temps le jour du bac. Le programme annonce d'ailleurs que ce théorème servira pour les familles de fonctions rencontrées plus tard, notamment l'étude du logarithme et de l'exponentielle 1.
Pièges fréquents
Questions flash
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Avec u(x)=5x−2 et v(t)=t3, on a f′(x)=3(5x−2)2×5=15(5x−2)2. La première réponse oublie le facteur u′(x)=5, erreur classique. La troisième multiplie par 5x au lieu de 5 : ce n'est pas la dérivée de l'intérieur.
Faux : v′ est calculée en u(x), la valeur de l'intérieur. Prendre v′(x) revient à ignorer la composition et donne un résultat faux, par exemple 2x1 au lieu de 2x2+41 pour x2+4.
Ici u(x)=x2, u′(x)=2x et v=exp est sa propre dérivée : g′(x)=2xex2. La première réponse oublie u′. La quatrième modifie l'exposant, alors que l'intérieur reste x2 dans l'exponentielle.
f′(x)=2(3x+1)×3=6(3x+1), donc f′(1)=6×4=24. Si tu trouves 8, tu as oublié le facteur 3 de u′(x).
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois utiliser la formule de la composée ?
Regarde si une expression « enveloppe » une autre : un carré, une racine, une exponentielle ou un logarithme appliqué à autre chose que x tout seul. Si l'argument est plus compliqué que x, c'est une composée. Pour ln(x) ou x2, l'intérieur est simplement x et la formule générale ne change rien.
Dois-je savoir démontrer ce théorème pour le bac ?
Non : le théorème de dérivation d'une fonction composée est admis en Terminale et accompagné d'une justification graphique 1. Ce qu'on attend de toi, c'est de l'appliquer correctement et de justifier la dérivabilité.
Quel lien avec la suite du chapitre ?
Cette formule sert pour dériver des fonctions comme eu ou ln(u), puis pour calculer une dérivée seconde et étudier la convexité. Bien maîtriser la dérivée première rend ces étapes beaucoup plus simples.