Dérivée d'une fonction composée : quiz de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction composée f=v∘u s'écrit f(x)=v(u(x)) : on applique d'abord u, puis v3.
Sa dérivée est f′(x)=v′(u(x))×u′(x) : la dérivée de v se calcule en u(x), pas en x1.
Le facteur u′(x) est celui que l'on oublie le plus souvent : vérifie toujours sa présence.
Le nombre dérivé en x0 est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x02.
Avant de commencer
Ce quiz porte sur la dérivation des fonctions composées, au programme de la spécialité mathématiques en Terminale. Il couvre le repérage des deux fonctions u et v dans une écriture composée, l'application de la formule de dérivation, le calcul d'un nombre dérivé et le lien avec la tangente à la courbe. Il revient aussi sur les erreurs que l'on rencontre le plus souvent dans les copies.
Quiz
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La formule de dérivation d'une fonction composée est f′(x)=v′(u(x))u′(x)1. La proposition v′(x)u′(x) est fausse : elle oublie que v′ doit être calculée en u(x) et non en x. La proposition u′(v(x))v′(x) inverse les rôles des deux fonctions, ce qui revient à dériver u∘v. Enfin v′(u′(x)) confond « dériver u » et « évaluer en u(x) ».
Ici u(x)=3x−2 et v(t)=t4. On a u′(x)=3 et v′(t)=4t3, donc f′(x)=4(3x−2)3×3=12(3x−2)3. La réponse 4(3x−2)3 est l'erreur tentante : elle oublie le facteur u′(x)=3. La réponse 12(3x−2)4 garde l'exposant 4 au lieu de le diminuer d'une unité.
C'est faux : la composition de fonctions n'est généralement pas commutative 3. Prends u(x)=x+1 et v(x)=x2 : v(u(x))=(x+1)2 alors que u(v(x))=x2+1. Ces deux fonctions n'ont pas la même expression, donc pas la même dérivée.
On pose u(x)=x2+1, donc u′(x)=2x, et v(t)=t3, donc v′(t)=3t2. Alors f′(x)=3(x2+1)2×2x=6x(x2+1)2. La réponse 3(x2+1)2 oublie u′(x)=2x. La réponse 3x2(x2+1)2 mélange la dérivée de t↦t3 évaluée en x avec celle de v évaluée en u(x).
Avec u(x)=2x+1 et v(t)=t3, on obtient f′(x)=3(2x+1)2×2=6(2x+1)2. En x=1 : u(1)=3, donc f′(1)=6×32=54. Si tu trouves 27, tu as oublié le facteur u′(x)=2 ; si tu trouves 18, tu as remplacé (2x+1)2 par 2x+1 au lieu de l'élever au carré.
Dans une composée v(u(x)), la fonction u est calculée en premier : on commence par évaluer x2−4x, puis on élève le résultat à la puissance 5 3. Le choix inverse donnerait (x5)2−4x5, qui est une autre fonction. Le troisième choix fait dépendre v de x, ce qui n'est pas permis. Le dernier donnerait 5(x2−4x) : multiplier par 5, ce n'est pas élever à la puissance 5.
C'est vrai 1. La fonction v reçoit en argument l'image u(x)3, donc c'est en ce point que l'on évalue v′. Par exemple, pour f(x)=(2x+3)2, on calcule v′(t)=2t puis on remplace t par 2x+3, ce qui donne 2(2x+3) avant de multiplier par u′(x)=2.
Avec u(x)=2x+3 et v(t)=t2 : f′(x)=2(2x+3)×2. Cette expression s'écrit aussi 4(2x+3), et en développant on obtient 8x+12 : les trois premières propositions sont donc correctes. La dernière, 2(2x+3), est la dérivée de v évaluée en u(x) mais sans le facteur u′(x)=2 : elle est fausse.
On a u(x)=x2+1, u′(x)=2x et v(t)=t2, v′(t)=2t. Donc f′(x)=2(x2+1)×2x=4x(x2+1). En x=2 : 4×2×5=40. Le résultat 10 correspondrait à 2(x2+1) sans u′(x) ; le résultat 20 viendrait d'un oubli du facteur 2 de v′.
Le nombre dérivé de f en x0 est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x02. Ici f′(x)=3(2x−5)2×2=6(2x−5)2. En x=3 : 2×3−5=1, donc f′(3)=6×1=6. La valeur 3 oublie le facteur 2 de u′ ; la valeur 2 ne retient que u′ ; la valeur 18 vient de 6×3 : on a multiplié par l'abscisse au lieu de calculer (2×3−5)2.
C'est vrai : les ressources académiques indiquent que les théorèmes de dérivation (somme, produit, quotient, composée) sont admis et qu'ils servent à calculer les dérivées des fonctions usuelles 1. L'objectif est donc de savoir appliquer la formule rigoureusement, pas de la redémontrer.
On pose u(x)=5−x, donc u′(x)=−1, et v(t)=t3, donc v′(t)=3t2. Ainsi f′(x)=3(5−x)2×(−1)=−3(5−x)2. La réponse 3(5−x)2 oublie le signe de u′(x) : c'est le piège classique quand le coefficient de x est négatif. La réponse 3(5−x)2−1 additionne au lieu de multiplier.
Avec u(x)=x2+3x, on a u′(x)=2x+3 ; avec v(t)=t2, on a v′(t)=2t. Donc f′(x)=2(x2+3x)(2x+3)1. La réponse 2(x2+3x) oublie u′(x). La réponse 2(2x+3) dérive u puis applique v′ à u′ au lieu de u : c'est la confusion entre v′(u(x)) et v′(u′(x)). La dernière élève u′ au carré, ce qui n'a aucun lien avec la formule.
C'est vrai. On applique la formule f′(x)=v′(u(x))u′(x)1 avec u(x)=3x+1 et u′(x)=3 : on obtient bien 3v′(3x+1). Retiens ce cas : quand u est affine, u′ est une constante et elle vient simplement multiplier v′ évaluée en u(x).
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une fonction est une fonction composée ?
Une composée apparaît quand le résultat d'un calcul sert d'argument à une autre fonction 3. Pose-toi la question : « Quel calcul est fait en premier, et que fait-on ensuite de son résultat ? » Pour (4x−1)5, on calcule d'abord 4x−1 (c'est u), puis on élève à la puissance 5 (c'est v). Cette lecture « de l'intérieur vers l'extérieur » te donne les deux fonctions.
Pourquoi faut-il multiplier par u'(x) à la fin ?
La formule f′(x)=v′(u(x))u′(x)1 traduit le fait que f varie à la fois parce que u varie avec x et parce que v varie avec u. Le facteur u′(x) mesure la vitesse de variation de l'intérieur. Sans lui, tu ne dériverais que l'extérieur. Un bon réflexe de contrôle : si l'intérieur est 3x−2, le résultat doit contenir un facteur 3.
Ce théorème tombe-t-il au bac, et comment le rédiger ?
La dérivation de fonctions composées sert à étudier des fonctions de la forme (ax+b)n ou, plus tard, des fonctions faisant intervenir l'exponentielle et le logarithme. Comme le théorème est admis 1, tu n'as pas à le démontrer : indique simplement les fonctions u et v que tu utilises, donne u′ et v′, puis conclus avec la formule. Cette présentation évite les oublis et montre la méthode au correcteur.