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Dérivée d'une fonction composée : exercices de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Pour dériver $v(u(x))$ , on dérive la fonction extérieure $v$ , on l'évalue en $u(x)$ , puis on multiplie par $u'(x)$ : $(v\circ u)'=v'(u)\times u'$ ¹.
Avant de calculer, repère la fonction intérieure $u$ et la fonction extérieure $v$ ; l'ordre compte, car la composition n'est généralement pas commutative ³.
Le nombre dérivé en $a$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$ ² : une dérivée composée sert donc aussi à écrire une tangente.
Pour étudier des variations, factorise $f'$ puis étudie le signe de chaque facteur ; une exponentielle ne s'annule jamais.

Comment utiliser ces exercices

Cette page rassemble des exercices d'entraînement sur la dérivée d'une fonction composée. Ils sont classés par difficulté croissante : commence par les premiers, qui demandent un seul calcul de dérivée, puis monte vers les exercices où il faut étudier un signe, écrire une tangente ou emboîter plusieurs fonctions. Cherche toujours sur papier avant d'ouvrir un indice, et n'ouvre la correction qu'une fois ta propre réponse écrite. Si ton résultat diffère, compare étape par étape : l'erreur se cache presque toujours dans le choix de $u$ ou dans un facteur oublié.

MéthodeMéthode en quatre gestes

Repérer la fonction intérieure $u(x)$ : ce qui est « à l'intérieur », c'est-à-dire la parenthèse, le contenu de la racine, l'exposant de l'exponentielle, l'argument du logarithme.
Identifier la fonction extérieure $v$ : ce que l'on fait à $u(x)$ (puissance, racine, exponentielle, logarithme).
Dériver séparément : écrire $v'$ et $u'$ .
Assembler : $v'(u(x))\times u'(x)$ , puis simplifier et factoriser si l'on doit étudier un signe.

On s'appuie pour cela sur les dérivées des fonctions de référence, à connaître ¹ : $(t^n)'=nt^{n-1}$ , $(\sqrt t)'=\dfrac{1}{2\sqrt t}$ , $(\mathrm e^t)'=\mathrm e^t$ , $(\ln t)'=\dfrac1t$ .

Reconnaître la structure avant de calculer

La difficulté d'un exercice sur les composées ne vient presque jamais du calcul lui-même, mais du repérage. Un bon réflexe consiste à se demander : « si je devais calculer cette expression avec une calculatrice pour une valeur de $x$ précise, quelle est la toute première opération que je ferais ? » Cette première opération donne $u(x)$ . La dernière opération donne la fonction extérieure $v$ .

Du calcul à l'étude de fonction

Au bac, la dérivée d'une composée n'est presque jamais demandée seule. Elle sert à trouver une tangente, à étudier le signe de $f'$ et à en déduire des variations. Pour cela, on cherche systématiquement une forme factorisée de $f'$ , car un produit se lit facteur par facteur.

Les exercices

Exercice 1 Une puissance d'une expression affine

★☆☆Environ 4 min

On considère $f(x)=(3x+2)^4$ sur $\mathbb R$ .

Identifie les fonctions $u$ et $v$ telles que $f=v\circ u$ .
Calcule $f'(x)$ .
Calcule le nombre dérivé $f'(1)$ .

Indice 1

La fonction intérieure est ce qui se trouve dans la parenthèse.

Indice 2

La dérivée de $t\mapsto t^4$ est $t\mapsto 4t^3$ ; n'oublie pas de multiplier par la dérivée de $3x+2$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=3x+2$ et $v(t)=t^4$ , de sorte que $f(x)=v(u(x))$ .
On dérive chacune : $u'(x)=3$ et $v'(t)=4t^3$ .
On assemble : $f'(x)=v'(u(x))\times u'(x)=4(3x+2)^3\times 3=12(3x+2)^3$ .
On évalue en $1$ : $3\times1+2=5$ , donc $f'(1)=12\times 5^3=12\times125=1500$ .

Le facteur $3$ vient de la fonction intérieure : c'est lui que l'on oublie le plus souvent. On trouve $f'(1)=1500$ .

Exercice 2 Une racine d'une expression affine

★☆☆Environ 5 min

Soit $g(x)=\sqrt{2x+1}$ définie pour $x>-\dfrac12$ .

Donne $u$ et $v$ .
Exprime $g'(x)$ .
Calcule $g'(4)$ .

Indice 1

La dérivée de la racine carrée est $t\mapsto\dfrac{1}{2\sqrt t}$ .

Indice 2

Ici $u'(x)=2$ : le $2$ du numérateur se simplifie avec le $2$ du dénominateur.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=2x+1$ et $v(t)=\sqrt t$ .
On a $u'(x)=2$ et $v'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt t}$ .
Donc $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2x+1}}\times 2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+1}}$ .
En $4$ : $2\times4+1=9$ , donc $g'(4)=\dfrac{1}{\sqrt9}=\dfrac13$ .

On obtient $g'(4)=\dfrac13\approx0{,}333$ . La dérivée est positive partout : $g$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.

Exercice 3 Une exponentielle composée

★☆☆Environ 5 min

Soit $h(x)=\mathrm e^{-2x+1}$ sur $\mathbb R$ .

Calcule $h'(x)$ .
Calcule $h'(0)$ (valeur exacte, puis valeur approchée au centième).

Indice 1

La dérivée de l'exponentielle est elle-même.

Indice 2

La fonction intérieure est $u(x)=-2x+1$ , de dérivée $-2$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=-2x+1$ et $v(t)=\mathrm e^t$ ; $u'(x)=-2$ et $v'(t)=\mathrm e^t$ .
Donc $h'(x)=\mathrm e^{-2x+1}\times(-2)=-2\,\mathrm e^{-2x+1}$ .
En $0$ : $h'(0)=-2\mathrm e^{1}=-2\mathrm e$ .
Avec $\mathrm e\approx2{,}718$ , on trouve $h'(0)\approx-5{,}44$ .

Une exponentielle ne s'annule jamais, donc $h'(x)$ a le signe de $-2$ : $h$ est strictement décroissante sur $\mathbb R$ .

Exercice 4 Équation de tangente

★★☆Environ 8 min

Soit $k(x)=(x^2+1)^3$ et $\mathcal C_k$ sa courbe.

Calcule $k'(x)$ .
Détermine l'équation réduite de la tangente à $\mathcal C_k$ au point d'abscisse $1$ .
Quelle est l'ordonnée à l'origine de cette tangente ?

Indice 1

Le nombre dérivé en $1$ est le coefficient directeur de la tangente en $1$ .

Indice 2

La tangente en $a$ a pour équation $y=k'(a)(x-a)+k(a)$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=t^3$ ; $u'(x)=2x$ et $v'(t)=3t^2$ .
Donc $k'(x)=3(x^2+1)^2\times2x=6x(x^2+1)^2$ .
En $1$ : $k(1)=2^3=8$ et $k'(1)=6\times1\times2^2=24$ .
La tangente est $y=24(x-1)+8=24x-16$ .
L'ordonnée à l'origine est donc $8-24\times1=-16$ .

Le coefficient directeur $24$ est le nombre dérivé en $1$ ². La tangente a pour équation $y=24x-16$ , d'ordonnée à l'origine $-16$ .

Exercice 5 Un logarithme composé

★★☆Environ 6 min

Soit $m(x)=\ln(x^2+1)$ sur $\mathbb R$ .

Justifie que $m$ est bien définie sur $\mathbb R$ .
Calcule $m'(x)$ puis $m'(3)$ .
Détermine le sens de variation de $m$ .

Indice 1

Un logarithme se définit pour un argument strictement positif.

Indice 2

La dérivée de $\ln$ est $t\mapsto\dfrac1t$ ; on la prend en $u(x)=x^2+1$ .

Voir la correction pas à pas

Pour tout réel $x$ , $x^2+1\ge1>0$ , donc $\ln(x^2+1)$ existe : $m$ est définie sur $\mathbb R$ .
On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\ln t$ ; $u'(x)=2x$ et $v'(t)=\dfrac1t$ .
Donc $m'(x)=\dfrac{1}{x^2+1}\times2x=\dfrac{2x}{x^2+1}$ .
En $3$ : $m'(3)=\dfrac{6}{10}=0{,}6$ .
Le dénominateur est strictement positif, donc $m'(x)$ a le signe de $x$ : $m$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ et croît sur $[0\,;+\infty[$ .

On trouve $m'(3)=0{,}6$ , et $m$ admet un minimum en $0$ , où elle vaut $\ln1=0$ .

Exercice 6 Étude des variations d'une exponentielle composée

★★☆Environ 8 min

Soit $p(x)=\mathrm e^{x^2-2x}$ sur $\mathbb R$ .

Calcule $p'(x)$ .
Résous $p'(x)=0$ .
Dresse le tableau de signe de $p'$ et déduis les variations de $p$ .

Indice 1

Factorise $p'(x)$ : un des facteurs est une exponentielle.

Indice 2

Une exponentielle est toujours strictement positive : elle n'influence pas le signe.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x^2-2x$ et $v(t)=\mathrm e^t$ ; $u'(x)=2x-2$ .
Donc $p'(x)=(2x-2)\,\mathrm e^{x^2-2x}$ .
Comme $\mathrm e^{x^2-2x}>0$ , $p'(x)=0$ équivaut à $2x-2=0$ , soit $x=1$ .
Le signe de $p'(x)$ est celui de $2x-2$ : négatif pour $x<1$ , positif pour $x>1$ .
Donc $p$ décroît sur $]-\infty\,;1]$ et croît sur $[1\,;+\infty[$ . Son minimum vaut $p(1)=\mathrm e^{-1}$ .

La dérivée s'annule uniquement en $x=1$ , où $p$ atteint son minimum $\mathrm e^{-1}\approx0{,}37$ .

Exercice 7 Une racine d'un trinôme

★★☆Environ 6 min

Soit $s(x)=\sqrt{x^2+1}$ sur $\mathbb R$ .

Justifie que $s$ est dérivable sur $\mathbb R$ .
Calcule $s'(x)$ .
Calcule $s'(2)$ (valeur exacte, puis approchée au centième).

Indice 1

Ici $u(x)=x^2+1$ est toujours strictement positif : la racine ne pose pas de problème.

Indice 2

Le $2$ de $2x$ se simplifie avec le $2$ de $2\sqrt{u}$ .

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=\sqrt t$ . Comme $u(x)\ge1>0$ , la racine est dérivable en $u(x)$ pour tout $x$ : $s$ est dérivable sur $\mathbb R$ .
On a $u'(x)=2x$ et $v'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt t}$ .
Donc $s'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2+1}}\times2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .
En $2$ : $s'(2)=\dfrac{2}{\sqrt5}\approx0{,}89$ .

La dérivée a le signe de $x$ : $s$ décroît sur $]-\infty\,;0]$ puis croît sur $[0\,;+\infty[$ . On a $s'(2)=\dfrac{2}{\sqrt5}\approx0{,}89$ .

Exercice 8 Trois fonctions emboîtées

★★★Environ 10 min

Soit $r(x)=\mathrm e^{\sqrt x}$ sur $]0\,;+\infty[$ .

Écris $r$ comme composée de deux fonctions de référence.
Calcule $r'(x)$ .
Calcule $r'(4)$ (valeur exacte, puis valeur approchée au centième).

Indice 1

La fonction extérieure est l'exponentielle, la fonction intérieure est la racine carrée $w(x)=\sqrt x$ .

Indice 2

Pour $x=4$ , $\sqrt4=2$ simplifie beaucoup.

Voir la correction pas à pas

On pose $w(x)=\sqrt x$ , puis $r(x)=\mathrm e^{w(x)}$ , c'est-à-dire $r=\exp\circ w$ où $w$ est la racine carrée.
On applique la règle à l'exponentielle : $r'(x)=\mathrm e^{w(x)}\times w'(x)$ .
La dérivée de la racine donne $w'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ .
Donc $r'(x)=\dfrac{\mathrm e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}$ .
En $4$ : $r'(4)=\dfrac{\mathrm e^{2}}{4}\approx\dfrac{7{,}389}{4}\approx1{,}85$ .

Quand plusieurs fonctions s'emboîtent, on applique la règle en cascade, de l'extérieur vers l'intérieur. Ici $r'(4)=\dfrac{\mathrm e^2}{4}\approx1{,}85$ .

Exercice 9 Un logarithme d'une somme avec exponentielle

★★★Environ 10 min

Soit $q(x)=\ln(\mathrm e^{x}+1)$ sur $\mathbb R$ .

Justifie que $q$ est définie sur $\mathbb R$ .
Calcule $q'(x)$ .
Montre que $0<q'(x)<1$ pour tout réel $x$ , puis calcule $q'(0)$ .

Indice 1

Ici la fonction intérieure est $u(x)=\mathrm e^x+1$ , de dérivée $\mathrm e^x$ .

Indice 2

Pour comparer $q'(x)$ à $1$ , compare le numérateur et le dénominateur de la fraction.

Voir la correction pas à pas

Pour tout $x$ , $\mathrm e^x>0$ donc $\mathrm e^x+1>1>0$ : $q$ est définie sur $\mathbb R$ .
On pose $u(x)=\mathrm e^x+1$ et $v(t)=\ln t$ ; $u'(x)=\mathrm e^x$ et $v'(t)=\dfrac1t$ .
Donc $q'(x)=\dfrac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+1}$ .
Le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc $q'(x)>0$ . De plus $\mathrm e^x<\mathrm e^x+1$ , donc $q'(x)<1$ .
En $0$ : $q'(0)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac12$ .

La fonction $q$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ , avec une pente toujours comprise entre $0$ et $1$ . On a $q'(0)=\dfrac12$ .

Exercice 10 Tangentes horizontales

★★★Environ 12 min

Soit $g(x)=(x^2-4x+1)^2$ sur $\mathbb R$ .

Calcule $g'(x)$ sous forme factorisée.
Détermine les abscisses des points de la courbe où la tangente est horizontale.
Calcule la somme de ces abscisses.

Indice 1

Une tangente horizontale a un coefficient directeur nul, donc $g'(x)=0$ .

Indice 2

Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est ; l'un des facteurs est du second degré, utilise le discriminant.

Voir la correction pas à pas

On pose $u(x)=x^2-4x+1$ et $v(t)=t^2$ ; $u'(x)=2x-4$ et $v'(t)=2t$ .
Donc $g'(x)=2(x^2-4x+1)(2x-4)=4(x-2)(x^2-4x+1)$ .
$g'(x)=0$ si $x=2$ ou si $x^2-4x+1=0$ .
Pour $x^2-4x+1=0$ , le discriminant vaut $16-4=12$ , d'où $x=\dfrac{4\pm2\sqrt3}{2}=2\pm\sqrt3$ .
Les abscisses sont $2$ , $2+\sqrt3$ et $2-\sqrt3$ ; leur somme vaut $2+(2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)=6$ .

Trois points de la courbe ont une tangente horizontale. Leurs abscisses ont pour somme $6$ : les deux racines du trinôme s'additionnent en $4$ , et on ajoute $2$ .

Les questions qu'on se pose

Comment reconnaître une fonction composée dans un exercice ?

Cherche une expression où une fonction est appliquée à une autre expression que $x$ : $(3x+2)^4$ , $\sqrt{2x+1}$ , $\mathrm e^{-2x+1}$ , $\ln(x^2+1)$ . On compose de l'intérieur vers l'extérieur : on calcule d'abord $u(x)$ , puis on applique $v$ ³. Si tu hésites, calcule l'expression pour un nombre précis et note dans quel ordre tu fais les opérations.

Pourquoi multiplier par $u'(x)$ à la fin ?

Quand $x$ varie, c'est d'abord $u(x)$ qui varie, puis $v$ réagit à cette variation. Le taux de variation de l'ensemble est le produit des deux. Le programme admet ce résultat et l'accompagne d'une justification graphique : $(v\circ u)'=v'(u)\times u'$ ¹. Oublier ce facteur est l'une des erreurs de copie les plus courantes.

Dois-je développer avant de dériver, par exemple $(3x+2)^4$ ?

Non, c'est inutile et source d'erreurs. La formule de la composée donne directement une expression déjà factorisée, idéale pour étudier le signe de la dérivée. Développer ne se justifie que si la fonction est un polynôme de petit degré et que le développement est demandé.

Sources

Ressources académiques - Compléments de dérivation Terminale, Académie de Strasbourg. Consulté le 6 novembre 2026.
Dérivée, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Composition de fonctions, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

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Exercice 1 Une puissance d'une expression affine

Exercice 2 Une racine d'une expression affine

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Exercice 6 Étude des variations d'une exponentielle composée

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Exercice 8 Trois fonctions emboîtées

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Les questions qu'on se pose

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