Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Dérivée seconde et convexité : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

La dérivée seconde $f''$ est la dérivée de la dérivée $f'$ : elle mesure comment varie la pente de la courbe.
Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe reste sous ses cordes, et, si elle est dérivable, au-dessus de ses tangentes.
Pour une fonction dérivable : convexe $\Leftrightarrow$ $f'$ croissante $\Leftrightarrow$ $f''\geqslant 0$ (si $f$ est deux fois dérivable).
Concave est l'inverse : $f'$ décroissante, $f''\leqslant 0$ , courbe au-dessus de ses cordes.
Méthode : calculer $f'$ , puis $f''$ , étudier le signe de $f''$ , conclure sur chaque intervalle.

Introduction : lire la forme d'une courbe

Jusqu'ici, la dérivée t'a servi à répondre à une question : la fonction monte-t-elle ou descend-elle ? Le signe de $f'$ donne les variations de $f$ . Mais deux fonctions croissantes peuvent avoir des allures très différentes : l'une monte en s'accélérant, comme un virage qui se redresse, l'autre monte de moins en moins vite, comme une côte qui s'adoucit. La convexité permet de décrire précisément cette différence de forme.

En Terminale, tu poursuis ce que tu as commencé en Première sur la dérivation : tu apprends à dériver une composée, puis tu rencontres la dérivée seconde ⁴. C'est dans ce cadre qu'arrive la convexité, une nouvelle notion qui vient compléter le chapitre des fonctions ⁴. Elle te permet de remettre à profit, en l'approfondissant, ce que tu savais déjà des dérivées ⁴.

Dans ce cours, tu vas apprendre :

à calculer la dérivée seconde d'une fonction, y compris quand la fonction fait intervenir une composée ;
à définir une fonction convexe et une fonction concave à partir de la position de la courbe ;
à relier la convexité au sens de variation de $f'$ et au signe de $f''$ ;
à rédiger une étude de convexité complète, comme on l'attend au Bac.

La dérivée seconde

Le principe est simple : tu dérives, puis tu dérives encore. La dérivée $f'$ donne la pente de la tangente en chaque point. La dérivée seconde $f''$ donne la façon dont cette pente évolue quand $x$ augmente : si $f''(x)>0$ , la pente augmente ; si $f''(x)<0$ , la pente diminue.

Fonction convexe, fonction concave

La convexité se définit par la position relative de la courbe par rapport à certains segments et à certaines droites ². Pour comprendre l'idée, prends deux points $A$ et $B$ sur la courbe $\mathcal{C}_f$ et trace le segment $[AB]$ , qu'on appelle une corde. Deux situations sont possibles : la courbe passe sous la corde entre $A$ et $B$ , ou elle passe au-dessus.

Pour retenir : une courbe convexe a la forme d'une « cuvette » ou d'un « bol » ouvert vers le haut, comme la courbe de $x\mapsto x^2$ . Une courbe concave a la forme d'une « bosse » ou d'un « chapeau » : c'est la courbe de $x\mapsto -x^2$ .

Une courbe convexe et sa corde · La parabole x² est convexe : entre deux points, elle passe sous la corde.

Convexité et tangentes

Quand la fonction est dérivable, la courbe admet une tangente en chaque point. La convexité se lit alors aussi par rapport à ces tangentes. Pour une fonction convexe dérivable, la droite qui approche la fonction au voisinage d'un point reste toujours en dessous de la fonction ⁶. Traduit au niveau du lycée : la courbe d'une fonction convexe est au-dessus de toutes ses tangentes.

Autrement dit, pour une fonction convexe dérivable, la tangente en $a$ , d'équation $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ , vérifie pour tout $x$ de $I$ :

$f(x)\geqslant f(a)+f'(a)\,(x-a).$

Une courbe convexe au-dessus de sa tangente · La tangente en 1 a pour équation y = 2x − 1 et reste sous la parabole.

Cette propriété est très utile : pour démontrer une inégalité de la forme $f(x)\geqslant$ (expression affine), on peut parfois reconnaître la tangente à une courbe convexe. C'est le cas, par exemple, de l'inégalité $e^{x}\geqslant 1+x$ , qui exprime que la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en 0, droite d'équation $y=1+x$ .

Convexité, sens de variation de f' et signe de f''

Voici le cœur du chapitre : le lien entre la forme de la courbe et les dérivées. Observe une courbe convexe de gauche à droite. Les tangentes successives sont de plus en plus « relevées » : leurs pentes augmentent. Or la pente de la tangente en $x$ est $f'(x)$ . La fonction $f'$ est donc croissante.

Démonstration · Pourquoi les points 3 et 4 découlent du point 1

On admet le point 1 ⁶. Pour le point 3, on applique à la fonction $f'$ le lien entre monotonie et signe de la dérivée ⁶ : sur un intervalle, une fonction dérivable est croissante si et seulement si sa dérivée est positive ou nulle. La dérivée de $f'$ est $f''$ , donc :

$f' \text{ croissante sur } I \iff f''\geqslant 0 \text{ sur } I.$

Avec le point 1, on obtient : $f$ convexe $\iff f''\geqslant 0$ . Le point 4 se démontre de la même manière avec « décroissante » et « $\leqslant 0$ ».

Dictionnaire convexité et dérivées
Signe de f''	Variations de f'	Convexité de f	Allure de la courbe
f'' ≥ 0	f' croissante	convexe	en cuvette, au-dessus des tangentes
f'' ≤ 0	f' décroissante	concave	en bosse, sous les tangentes

Dictionnaire convexité et dérivées · Le signe de f'' commande la convexité de f.

Méthode : étudier la convexité d'une fonction

Calculer f'Dériver et simplifier l'expression de f'(x).
Calculer f''Dériver f' puis factoriser le résultat.
Signe de f''Résoudre f''(x) = 0 et dresser un tableau de signes.
ConclureConvexe où f'' ≥ 0, concave où f'' ≤ 0, par intervalles.

Étudier la convexité en quatre étapes · Méthode à suivre pour toute étude de convexité.

ExempleÉtude complète : un polynôme de degré 3

Soit $f(x)=x^3-6x^2+2x+1$ sur $\mathbb{R}$ .

Dérivées. $f'(x)=3x^2-12x+2$ puis $f''(x)=6x-12=6(x-2)$ .

Signe de $f''$ . $6(x-2)\geqslant 0 \iff x\geqslant 2$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
signe de $f''(x)$		$-$	$0$	$+$
convexité de $f$		concave		convexe

Conclusion. $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$ . La courbe change de forme en $x=2$ ; ce type de point sera nommé et étudié dans le chapitre sur les points d'inflexion.

ExempleÉtude complète : une composée

Soit $f(x)=e^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$ . On a vu que $f''(x)=(4x^2-2)\,e^{-x^2}$ .

L'exponentielle est strictement positive, donc le signe de $f''(x)$ est celui de $4x^2-2=2(2x^2-1)$ .

$4x^2-2\geqslant 0 \iff x^2\geqslant \frac12 \iff x\leqslant -\frac{\sqrt2}{2}\ \text{ ou }\ x\geqslant \frac{\sqrt2}{2}.$

Conclusion. $f$ est convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\sqrt2}{2}\right]$ et sur $\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$ , et concave sur $\left[-\dfrac{\sqrt2}{2}\,;\dfrac{\sqrt2}{2}\right]$ . C'est la forme de « cloche » : bosse au centre, queues relevées sur les côtés.

Quelques exemples de référence

Il est utile de connaître la convexité de quelques fonctions classiques pour gagner du temps et vérifier tes résultats.

PropriétéFonctions de référence

$x\mapsto x^2$ : $f''(x)=2>0$ , convexe sur $\mathbb{R}$ .
$x\mapsto x^4$ : $f''(x)=12x^2\geqslant 0$ , convexe sur $\mathbb{R}$ , et même strictement convexe ⁶.
$x\mapsto e^{x}$ : $f''(x)=e^{x}>0$ , convexe sur $\mathbb{R}$ .
$x\mapsto \ln x$ : $f''(x)=-\dfrac1{x^2}<0$ , concave sur $]0\,;+\infty[$ .
$x\mapsto x^3$ : $f''(x)=6x$ , concave sur $]-\infty\,;0]$ et convexe sur $[0\,;+\infty[$ .
$x\mapsto \sqrt{x}$ : $f''(x)=-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}<0$ , concave sur $]0\,;+\infty[$ .

Une fonction affine $x\mapsto ax+b$ a une dérivée seconde nulle : elle est à la fois convexe et concave, car sa courbe, une droite, coïncide avec ses cordes et ses tangentes.

Erreurs fréquentes et lien avec la suite

Le point de la courbe où la convexité change, comme $x=2$ dans l'étude du polynôme de degré 3, est un cas particulier que tu étudieras dans le chapitre suivant : les points d'inflexion. Pour y arriver, retiens dès maintenant qu'un changement de signe de $f''$ correspond à un changement de convexité.

Exercices corrigés

Exercice 1 Convexité d'un polynôme de degré 3

★☆☆Environ 8 min

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-6x^2+2x+1$ .

Calcule $f'(x)$ puis $f''(x)$ .
Détermine la valeur de $x$ pour laquelle $f''(x)=0$ .
En déduire les intervalles sur lesquels $f$ est convexe et ceux où elle est concave.

Indice 1

Dérive terme à terme : la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ .

Indice 2

$f''$ est une fonction affine : son signe change en sa racine.

Voir la correction pas à pas

On dérive : $f'(x)=3x^2-12x+2$ .
On dérive à nouveau : $f''(x)=6x-12=6(x-2)$ .
$f''(x)=0 \iff x=2$ .
$f''(x)\geqslant 0 \iff x\geqslant 2$ , donc $f$ est convexe sur $[2\,;+\infty[$ .
$f''(x)\leqslant 0 \iff x\leqslant 2$ , donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ .

La fonction $f$ est concave sur $]-\infty\,;2]$ et convexe sur $[2\,;+\infty[$ . La valeur qui annule $f''$ est $x=2$ .

Exercice 2 Le logarithme et sa dérivée seconde

★★☆Environ 8 min

Soit $f(x)=\ln x$ définie sur $]0\,;+\infty[$ .

Donne $f'(x)$ puis calcule $f''(x)$ .
Étudie le signe de $f''$ et conclus sur la convexité de $f$ .
Calcule la valeur de $f''(2)$ .

Indice 1

Écris $\dfrac1x$ sous la forme $x^{-1}$ pour la dériver.

Indice 2

Un carré est toujours positif ; ici $x>0$ , donc $x^2>0$ .

Voir la correction pas à pas

$f'(x)=\dfrac1x=x^{-1}$ .
On dérive : $f''(x)=-x^{-2}=-\dfrac1{x^2}$ .
Pour tout $x>0$ , $x^2>0$ , donc $f''(x)<0$ : $f$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ .
On calcule $f''(2)=-\dfrac{1}{2^2}=-\dfrac14=-0{,}25$ .

La fonction logarithme népérien est concave sur $]0\,;+\infty[$ , et $f''(2)=-0{,}25$ .

Exercice 3 Un produit polynôme-exponentielle

★★☆Environ 10 min

Soit $f(x)=x\,e^{x}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f'(x)=(x+1)\,e^{x}$ .
Montre que $f''(x)=(x+2)\,e^{x}$ .
Détermine la valeur de $x$ où le signe de $f''$ change, puis conclus sur la convexité de $f$ .

Indice 1

Utilise $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x}$ .

Indice 2

L'exponentielle est toujours strictement positive : elle n'influence pas le signe.

Voir la correction pas à pas

Avec $u(x)=x$ et $v(x)=e^{x}$ : $f'(x)=1\times e^{x}+x\,e^{x}=(x+1)\,e^{x}$ .
On dérive $(x+1)\,e^{x}$ : $f''(x)=1\times e^{x}+(x+1)\,e^{x}=(x+2)\,e^{x}$ .
Comme $e^{x}>0$ , le signe de $f''(x)$ est celui de $x+2$ .
$x+2=0 \iff x=-2$ .
Donc $f$ est concave sur $]-\infty\,;-2]$ et convexe sur $[-2\,;+\infty[$ .

Le signe de $f''$ change en $x=-2$ : $f$ est concave avant, convexe après.

Exercice 4 Une fonction « en cloche »

★★★Environ 15 min

Soit $f(x)=e^{-x^2}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Calcule $f'(x)$ en utilisant la dérivée d'une composée.
Montre que $f''(x)=(4x^2-2)\,e^{-x^2}$ .
Détermine la plus petite valeur positive de $x$ telle que $f''(x)=0$ .
Précise les intervalles où $f$ est convexe.

Indice 1

Pose $u(x)=-x^2$ : alors $f=\exp\circ u$ et $f'=(\exp\circ u)\times u'$ .

Indice 2

Pour $f''$ , dérive le produit de $-2x$ par $e^{-x^2}$ ; la dérivée de $e^{-x^2}$ est $-2x\,e^{-x^2}$ .

Indice 3

Résous $4x^2-2=0$ .

Voir la correction pas à pas

Avec $u(x)=-x^2$ , $u'(x)=-2x$ : $f'(x)=-2x\,e^{-x^2}$ .
Dérivation du produit $(-2x)\times e^{-x^2}$ : $f''(x)=-2\,e^{-x^2}+(-2x)(-2x)\,e^{-x^2}$ .
On factorise : $f''(x)=(4x^2-2)\,e^{-x^2}$ .
$4x^2-2=0 \iff x^2=\dfrac12 \iff x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}$ ; la plus petite valeur positive est $\dfrac{\sqrt2}{2}\approx 0{,}7071$ .
Comme $e^{-x^2}>0$ , $f''(x)\geqslant 0 \iff x^2\geqslant \dfrac12$ .
$f$ est donc convexe sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\sqrt2}{2}\right]$ et sur $\left[\dfrac{\sqrt2}{2}\,;+\infty\right[$ , concave entre les deux.

Les changements de convexité se font en $x=-\dfrac{\sqrt2}{2}$ et $x=\dfrac{\sqrt2}{2}$ , soit environ $\pm 0{,}7071$ .

Les questions qu'on se pose

Quelle est la différence entre le sens de variation et la convexité ?

Le sens de variation dit si la fonction monte ou descend : il se lit sur le signe de $f'$ . La convexité dit comment la courbe est courbée : elle se lit sur le signe de $f''$ ou sur les variations de $f'$ . Une fonction croissante peut être convexe (comme $e^{x}$ ) ou concave (comme $\ln$ sur $]0\,;+\infty[$ ).

Comment savoir si je dois calculer $f''$ ou seulement $f'$ ?

Si l'énoncé parle de convexité, de concavité, de position de la courbe par rapport à ses tangentes ou demande d'étudier le signe de $f''$ , il faut la dérivée seconde. Si l'énoncé demande des variations, un maximum ou un minimum, la dérivée première suffit.

Une fonction peut-elle être convexe si $f''$ s'annule ?

Oui. Il suffit que $f''\geqslant 0$ sur l'intervalle. Par exemple, $f(x)=x^4$ a pour dérivée seconde $12x^2$ , positive et nulle seulement en 0 : la fonction est convexe, et même strictement convexe ⁶. Ce qui compte, c'est que $f''$ ne devienne pas négative.

Pourquoi étudier la convexité, à quoi ça sert ?

La convexité permet de démontrer des inégalités (une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes ⁶), de décrire précisément l'allure d'une courbe et de préparer l'étude des points d'inflexion. Dans d'autres domaines, la notion sert aussi à mesurer un risque : en finance, la convexité d'une obligation complète la sensibilité au taux ⁵.

Comment retenir la différence entre convexe et concave ?

Une courbe convexe a la forme d'un bol ( $\cup$ ) : sa dérivée seconde est positive. Une courbe concave a la forme d'une bosse ( $\cap$ ) : sa dérivée seconde est négative. En cas de doute, teste une fonction que tu connais : $x\mapsto x^2$ est convexe, avec $f''=2>0$ .

Que tombe-t-il au Bac sur ce chapitre ?

On te demande en général de calculer $f'$ puis $f''$ (souvent avec une exponentielle ou un logarithme), d'étudier le signe de $f''$ , de conclure sur la convexité de $f$ et parfois de justifier une inégalité par la position de la courbe par rapport à une tangente. Soigne la factorisation de $f''$ et la justification du signe.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie générale et technologique, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Document ressource - Spécialité Mathématiques (Compléments de dérivation), Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Programme officiel - Document complet, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Projet d'aménagement du programme de mathématiques de terminale générale, Ministère de l'Éducation Nationale. Consulté le 6 novembre 2026.
Convexité (finance), Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Fonction convexe, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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Introduction : lire la forme d'une courbe

La dérivée seconde

Fonction convexe, fonction concave

Convexité et tangentes

Convexité, sens de variation de f' et signe de f''

Méthode : étudier la convexité d'une fonction

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