Dérivée seconde et convexité : exercices corrigés de Terminale

On dérive une première fois : $f'(x)=3x^2-6x+2$.

On dérive une seconde fois : $f''(x)=6x-6=6(x-1)$.

On évalue en 2 : $f''(2)=6\times 2-6=6$.

Signe de $f''$ : $6(x-1)\geq 0$ équivaut à $x\geq 1$. La dérivée seconde est négative avant 1 et positive après.

Conclusion : $f''\geq 0$ sur $[1\,;+\infty[$, donc $f'$ y est croissante et $f$ est convexe sur $[1\,;+\infty[$ ⁶. Sur $]-\infty\,;1]$, $f''\leq 0$ et $f$ est concave.

Première dérivée : $f'(x)=4x^3-12x$.

Seconde dérivée : $f''(x)=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$.

Tableau de signe : le trinôme est positif à l'extérieur de ses racines $-1$ et $1$, négatif entre elles.

Donc $f''\geq 0$ sur $]-\infty\,;-1]$ et sur $[1\,;+\infty[$, donc $f'$ est croissante sur chacun de ces intervalles et $f$ y est convexe ⁶.

Sur $[-1\,;1]$, $f''\leq 0$ : $f$ est concave.

La convexité continue à droite démarre en $x=1$.

On pose $u(x)=2x-1$, donc $u'(x)=2$, et $v(t)=e^t$, donc $v'(t)=e^t$.

Avec $(v\circ u)'=(v'\circ u)\times u'$ ⁴, on obtient $f'(x)=2e^{2x-1}$.

On dérive $f'$ : le facteur 2 reste, et $e^{2x-1}$ se dérive en $2e^{2x-1}$. Ainsi $f''(x)=4e^{2x-1}$.

En $\tfrac12$ : $2\times\tfrac12-1=0$, donc $f''\left(\tfrac12\right)=4e^0=4$.

Une exponentielle est strictement positive, donc $f''(x)>0$ pour tout réel $x$. La dérivée $f'$ est croissante, donc $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ⁶.

On a $f'(x)=\frac1x=x^{-1}$.

On dérive : $f''(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.

En 2 : $f''(2)=-\frac14=-0{,}25$.

Pour tout $x>0$, $x^2>0$, donc $f''(x)<0$. La dérivée $f'$ est décroissante : $f$ est concave sur $]0\,;+\infty[$ ⁶.

Inversement, la dérivée seconde de $e^x$ est $e^x>0$ : l'exponentielle est convexe. Les deux fonctions ont donc des courbures de sens opposés.

Avec $u(x)=x^2+1$ et $v(t)=t^2$ : $f'(x)=v'(u(x))\times u'(x)=2(x^2+1)\times 2x=4x(x^2+1)=4x^3+4x$ ⁴.

On dérive le polynôme obtenu : $f''(x)=12x^2+4$.

En 1 : $f''(1)=12+4=16$.

Pour tout réel $x$, $12x^2\geq 0$, donc $f''(x)\geq 4>0$.

La dérivée seconde est strictement positive : $f'$ est strictement croissante et $f$ est strictement convexe sur $\mathbb{R}$ ⁶.

$f_a'(x)=3x^2+2ax+1$, donc $f_a''(x)=6x+2a$.

La dérivée seconde est affine, croissante, et change de signe en son unique zéro $x=-\frac a3$. On veut ce zéro égal à 1.

Équation : $6\times 1+2a=0$, soit $a=-3$.

Avec $a=-3$ : $f_a''(x)=6x-6=6(x-1)$.

Pour $x\leq 1$, $f_a''(x)\leq 0$ : $f_a'$ décroît et $f_a$ est concave. Pour $x\geq 1$, $f_a''(x)\geq 0$ : $f_a'$ croît et $f_a$ est convexe ⁶.

On a $f(0)=1$ et $f'(0)=e^0=1$. L'équation de $T$ est $y=1\times(x-0)+1=x+1$.

Comme $f''(x)=e^x>0$, la dérivée est croissante et $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ ⁶.

Pour une fonction convexe dérivable, l'approximation affine en un point minore la fonction ⁶ : la courbe est donc au-dessus de $T$, c'est-à-dire $e^x\geq x+1$ pour tout réel $x$.

En $x=1$ : $f(1)=e$ et $y_T(1)=2$. L'écart vaut $e-2\approx 0{,}718$.

$C'(x)=3x^2-12x+15$ et $C''(x)=6x-12=6(x-2)$.

Signe : $C''(x)<0$ pour $x<2$ et $C''(x)>0$ pour $x>2$.

Donc $C'$ est décroissante sur $[0\,;2]$ puis croissante sur $[2\,;+\infty[$ : le coût marginal est minimal en $x=2$, soit 200 objets.

Valeur du minimum : $C'(2)=12-24+15=3$ (milliers d'euros par centaine d'objets).

Interprétation : $C$ est concave sur $[0\,;2]$ (le coût augmente de moins en moins vite), puis convexe sur $[2\,;+\infty[$ (le coût augmente de plus en plus vite), car sa dérivée devient croissante ⁶.