Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La dérivée seconde f′′ est la dérivée de la dérivée f′ : elle s'ajoute en terminale à l'étude de la dérivation commencée en première 4.
Une fonction dérivable est convexe sur un intervalle quand sa dérivée f′ est croissante6.
Si f′′≥0 sur l'intervalle, alors f′ est croissante, donc f est convexe : on étudie le signe de f′′6.
Pour une fonction convexe, la tangente en un point reste au-dessous de la courbe 6.
Un f′′ qui s'annule en un point isolé n'empêche pas la stricte convexité, comme pour x↦x4 en 0 6.
Avant de commencer
Ce quiz couvre la notion de dérivée seconde et son lien avec la convexité. Il suppose acquise la dérivée d'une fonction composée, car plusieurs questions demandent de dériver deux fois une expression de la forme (ax+b)n. En terminale, l'étude de la dérivation commencée en première s'étend à la dérivée d'une fonction composée et à l'introduction de la dérivée seconde 4. Les fonctions convexes permettent ensuite de réinvestir le travail fait sur les dérivées 2.
Quiz
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Les fonctions dérivables convexes sont celles dont la dérivée est croissante 6. La croissance de f elle-même (réponse A) est une autre propriété : x↦x est croissante sur ]0;+∞[ sans être convexe, car sa dérivée y décroît. De même, f′ positive (C) dit seulement que f croît, et f positive (D) ne dit rien sur la forme de la courbe.
On dérive une première fois : f′(x)=3x2−3. On dérive une seconde fois : f′′(x)=6x. Donc f′′(2)=12. L'erreur tentante est de s'arrêter à f′(2)=9, qui est la dérivée première, ou de calculer f(2)=2.
On a f′(x)=2x+5 puis f′′(x)=2, qui est strictement positif sur R. La dérivée f′ est donc croissante, et f est convexe 6. Le terme 5x ne change rien : une fonction affine ajoutée à une fonction convexe n'altère pas la croissance de la dérivée.
C'est faux. Pour x↦x4, on trouve f′′(x)=12x2, qui est positive et ne s'annule qu'en 0 : la fonction est pourtant strictement convexe 6. L'erreur tentante est d'exiger f′′>0 partout ; il suffit que f′′ soit positive et ne s'annule qu'en des points isolés.
Pour une fonction convexe, l'approximation affine en tout point est une minorante de f6 : la tangente reste au-dessous de la courbe. Placer la tangente au-dessus (A) correspond à l'autre type de courbure. Le cas D est celui d'un point d'inflexion, qui n'arrive pas sur un intervalle où f est convexe.
On a f′′(x)≥0 si et seulement si x≥0. Sur [0;+∞[, f′ est donc croissante et f est convexe 6. Sur ]−∞;0], f′′≤0 : la dérivée f′(x)=3x2 y est décroissante, donc f n'y est pas convexe. L'erreur tentante est de conclure sur R sans étudier le signe de f′′.
Pour x2, f′′=2>0. Pour ex, f′′=ex>0. Pour x4, f′′=12x2≥06. Pour −x2, au contraire, f′′=−2<0 : la dérivée −2x est décroissante, donc la fonction n'est pas convexe. L'erreur tentante est de croire que « la parabole est toujours convexe » sans regarder le signe du coefficient.
On calcule f′(x)=3x2−12x, puis f′′(x)=6x−12. Cette expression s'annule quand 6x=12, soit x=2. Elle est négative avant 2 et positive après : f est convexe sur [2;+∞[. L'erreur tentante est de résoudre f′(x)=0, ce qui donne x=0 ou x=4 : ce sont les points où la tangente est horizontale, pas ceux où la convexité change.
La dérivée seconde est la dérivée de la fonction dérivée : on dérive f pour obtenir f′, puis on dérive f′. Le carré (f′)2 est un produit, pas une dérivation. La primitive est l'opération inverse de la dérivation, donc le contraire de ce qu'on fait ici.
On utilise la dérivée d'une composée, de la forme (v∘u)′=(v′∘u)×u′4. Ici u(x)=2x+1 et v(t)=t3, donc f′(x)=3(2x+1)2×2=6(2x+1)2. En dérivant encore : f′′(x)=6×2(2x+1)×2=24(2x+1). En 0, on obtient 24. L'erreur tentante est d'oublier le facteur 2 de u′ à l'une des deux dérivations, ce qui donne 12 ou 6.
Vrai. Le signe de la dérivée donne la monotonie : si f′′≥0 sur I, la fonction f′ est croissante 6. Or une fonction dérivable est convexe exactement quand sa dérivée est croissante 6. L'inégalité large suffit : on n'a pas besoin que f′′ soit strictement positive pour la convexité simple.
Faux : les fonctions dérivables convexes sont celles dont la dérivée est croissante 6. Une dérivée strictement décroissante correspond à une fonction non convexe, comme x↦−x2 dont la dérivée −2x décroît. Ne confonds pas « f décroissante » et « f′ décroissante ».
La dérivée du logarithme népérien, au programme de terminale 4, est f′(x)=x1. On dérive de nouveau : f′′(x)=−x21, qui est strictement négatif sur ]0;+∞[. La dérivée f′ est donc décroissante et f n'est pas convexe 6. L'erreur tentante (réponses A et C) est d'oublier le signe moins en dérivant x1.
Le trinôme (x−1)(x+3) a pour racines −3 et 1 et un coefficient dominant positif : il est positif à l'extérieur des racines et négatif entre elles. Là où f′′≥0, la dérivée est croissante et f est convexe 6. Cela donne ]−∞;−3] et [1;+∞[. Choisir [−3;1] revient à inverser le signe d'un trinôme du second degré, erreur très fréquente.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si je dois étudier f' ou f'' pour répondre à une question ?
Regarde le mot-clé de la question. « Variations de f » ou « signe de f » : on étudie le signe de f′. « Convexe », « tangente au-dessous de la courbe » ou « f′ croissante » : on étudie le signe de f′′. Une fonction dérivable est convexe quand f′ est croissante 6, et la croissance de f′ se lit sur le signe de f′′6.
Faut-il que f'' soit strictement positive pour que f soit convexe ?
Non. Pour la convexité, f′′≥0 suffit. Pour la stricte convexité, f′′ doit être positive sans s'annuler sur un intervalle entier ; elle peut s'annuler en un point isolé, comme celle de x↦x4 en 0 6.
Dans quelles situations rencontre-t-on la convexité en dehors du cours de maths ?
La convexité sert par exemple en finance, où le signe d'une quantité liée à la dérivée seconde du prix d'une obligation renseigne sur la convexité locale de ce prix 5. Elle intervient aussi en optimisation, où l'étude des fonctions convexes est une motivation majeure de la théorie 6.