Dérivée seconde et convexité : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
La dérivée secondef′′ est la dérivée de la dérivée f′ : elle mesure comment varie la pente de la courbe.
Une fonction dérivable est convexe sur un intervalle si sa dérivée f′ est croissante6.
Pour une fonction deux fois dérivable : f′′≥0 sur I revient à dire que f est convexe sur I6.
Graphiquement, une courbe convexe est au-dessus de ses tangentes 6 et en dessous de ses sécantes.
Méthode : calculer f′, puis f′′, étudier le signe de f′′ et conclure sur chaque intervalle.
L'essentiel à retenir
En classe de Terminale, l'étude de la dérivation commencée en Première est prolongée : on y ajoute la dérivée d'une fonction composée et la dérivée seconde4. Le thème des fonctions s'enrichit alors de la notion de fonction convexe2. Cette fiche rassemble ce qu'il faut savoir pour passer de la dérivée seconde à la convexité, sans se perdre dans les détails.
Le lien entre $f'$, $f''$ et la convexité
Le raisonnement est le même que pour tout sens de variation : une fonction dérivable est croissante quand sa dérivée est positive. Ici, la fonction étudiée est f′, et sa dérivée est f′′. Si f′′≥0, alors f′ est croissante : la pente de la courbe ne fait qu'augmenter, et la courbe se « courbe vers le haut ».
Méthode et exemples
Questions flash
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Si f′′≥0, la dérivée f′ est croissante, ce qui caractérise la convexité de f6. Dire que f est croissante demanderait f′≥0, ce qui est une autre condition. Et f′ décroissante correspondrait à f′′≤0.
Sa dérivée seconde est 12x2, positive sur R et nulle seulement en 06. Il suffit que f′′ reste positive : qu'elle s'annule en un point isolé ne casse pas la convexité.
On a f′(x)=3x2−6x puis f′′(x)=6x−6, donc f′′(2)=12−6=6. L'erreur tentante est de donner f′(2)=0, qui est la dérivée première et non la seconde.
Ici f′′(x)=6x, qui est positive sur [0;+∞[ : la fonction est convexe sur cet intervalle. Le signe de f′ (réponse 3) donne la croissance de f, pas sa convexité.
Les questions qu'on se pose
Quelle différence entre le signe de $f'$ et le signe de $f''$ ?
Le signe de f′ donne les variations de f (croissante ou décroissante). Le signe de f′′ donne les variations de f′, donc la convexité de f : la courbe est-elle « en cuvette » ou « en bosse » ? Une fonction peut être décroissante et convexe à la fois, comme x↦x2 sur ]−∞;0].
Que faire si $f''$ change de signe sur l'intervalle d'étude ?
On découpe l'intervalle selon le tableau de signes de f′′. Sur chaque morceau, on conclut : convexe là où f′′≥0, concave là où f′′≤0. Le point où le signe change est un point d'inflexion, notion que tu étudieras ensuite.
À quoi sert la convexité ?
Elle permet de décrire la forme d'une courbe avec précision et de comparer une fonction à ses tangentes : une courbe convexe reste au-dessus de chacune d'elles 6. Elle sert aussi dans d'autres domaines : en physique, des potentiels énergétiques localement convexes garantissent des états stables 6.