Les points d'inflexion : cours de Terminale spécialité maths
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité : elle passe de concave à convexe, ou l'inverse. 4
En un tel point, la tangente traverse la courbe. 4
Pour une fonction deux fois dérivable, il faut que f'' s'annule en ce point ; cela ne suffit pas, il faut aussi que f'' change de signe. 45
Contre-exemple à retenir : pour f(x)=x4, on a f′(0)=f′′(0)=0 et pourtant 0 n'est pas un point d'inflexion. 5
Un point d'inflexion peut être stationnaire (comme x3 en 0) ou non stationnaire (comme sinx en 0). 5
Introduction : où la courbe change de courbure
Dans le chapitre précédent, tu as vu comment la dérivée seconde permet de décider si une fonction est convexe ou concave. Ce chapitre répond à une question naturelle : que se passe-t-il à l'endroit où une courbe passe d'un type de courbure à l'autre ?
Imagine que tu roules à vélo sur une route sinueuse. Tu tournes d'abord à gauche, puis à droite. À l'instant précis où tu cesses de tourner à gauche pour commencer à tourner à droite, le guidon est droit. Pour une courbe, cet instant correspond à un point d'inflexion.
Le programme de Terminale demande de savoir reconnaître sur une représentation graphique une fonction convexe, une fonction concave et un point d'inflexion. 3 Les points d'inflexion figurent dans le programme à côté de la convexité et de la concavité. 2
Dans ce cours, tu vas apprendre à les repérer sur un graphique, à les chercher par le calcul et surtout à les justifier correctement, car c'est là que se perdent des points : beaucoup d'élèves annulent f′′ et concluent trop vite.
Rappel : concavité, convexité et dérivée seconde
Rappelons ce que tu connais déjà. Sur un intervalle, une fonction est convexe quand sa courbe a la forme d'une « cuvette » (elle est au-dessus de ses tangentes) et concave quand elle a la forme d'une « bosse » (elle est au-dessous de ses tangentes). Pour une fonction deux fois dérivable, le lien avec la dérivée seconde est le suivant :
Définition du point d'inflexion
Cette propriété est très visuelle. Sur une portion convexe, la courbe est au-dessus de ses tangentes ; sur une portion concave, elle est en dessous. Au point d'inflexion, on passe d'une situation à l'autre : la tangente, qui était d'un côté, se retrouve de l'autre. C'est pourquoi elle « traverse » la courbe, alors qu'en un point ordinaire d'une portion convexe, elle reste du même côté.
La fonction cube et son point d'inflexion · En O(0 ; 0), la courbe de x^3 passe de concave à convexe.
Lire un point d'inflexion sur un graphique
ParcourirSuis la courbe de gauche à droite.
ClasserRepère les zones convexes et concaves.
FrontièreCherche où l'on change de zone.
TangenteVérifie qu'elle traverse la courbe.
Repérer un point d'inflexion sur un graphiqueCourbe de x^3 - 3x^2 · Le point A(1 ; -2) sépare la partie concave de la partie convexe.
Condition nécessaire : f'' doit s'annuler
Cela donne une liste de candidats : les points d'inflexion d'une fonction deux fois dérivable sont à chercher parmi les solutions de l'équation f′′(x)=0. C'est une condition nécessaire, c'est-à-dire qu'elle doit être remplie, mais elle ne suffit pas à conclure.
Démonstration · Pourquoi f'' s'annule (idée)
Si a est l'abscisse d'un point d'inflexion, la fonction passe d'un côté de a à l'autre de la concavité à la convexité (ou l'inverse), donc f′′ passe d'un signe à l'autre. Comme f est deux fois dérivable, f′′ est (dans les situations du programme) continue, et une fonction continue qui change de signe en a s'annule en a d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
Le contre-exemple de x4 est à connaître par cœur : il justifie à lui seul l'étape suivante, qui est de vérifier le changement de signe.
Condition de changement de signe : la méthode complète
Dériver deux foisCalculer f' puis f''.
RésoudreTrouver les solutions de f''(x) = 0.
SigneDresser le tableau de signes de f''.
ConclureInflexion si f'' change de signe.
CoordonnéesCalculer f(a) pour l'ordonnée.
Chercher un point d'inflexion par le calcul
Inflexion et points stationnaires
Il y a donc deux familles de points d'inflexion. Les uns ont une tangente horizontale (le point est stationnaire), les autres une tangente oblique. Voici trois fonctions qui illustrent toute la situation.
Trois fonctions en 0 comparées
Fonction
f'(0)
f''(0)
Point d'inflexion ?
Stationnaire ?
x³
0
0
Oui
Oui
sin x
1
0
Oui
Non
x⁴
0
0
Non
Oui
Trois fonctions en 0 comparées
Tangente au point d'inflexion et construction de la courbe
Pour construire une courbe proprement, on peut procéder ainsi : on place les points d'inflexion avec leurs tangentes, puis les points où f′ s'annule (sommets et fonds de cuvettes), puis on relie le tout en respectant la concavité indiquée par le signe de f′′. Cette démarche rend le tracé plus fiable. 4
Erreurs fréquentes et conseils de rédaction
Pour aller plus loin : le vocabulaire des courbes paramétrées
Dans l'enseignement supérieur, la notion d'inflexion s'étend aux courbes planes paramétrées. Les points d'inflexion d'un arc plan sont alors les points où la courbure s'annule en changeant de signe. 4 Cette idée reprend ce que tu as vu : un changement de sens de courbure. Le programme de Terminale se limite aux courbes représentatives de fonctions.
Exercices corrigés
Exercice 1 Abscisse d'un point d'inflexion
★☆☆Environ 8 min
Soit f(x)=2x3−6x2+x−1 définie sur R. Détermine l'abscisse du point d'inflexion de la courbe de f en justifiant.
Indice 1
Calcule f′ puis f′′.
Indice 2
Résous f′′(x)=0 puis étudie le signe de f′′.
Voir la correction pas à pas
On calcule f′(x)=6x2−12x+1.
On calcule f′′(x)=12x−12=12(x−1).
f′′(x)=0 si et seulement si x=1.
Pour x<1, f′′(x)<0 ; pour x>1, f′′(x)>0 : f′′ change de signe en 1.
La courbe admet donc un point d'inflexion d'abscisse 1.
Le point d'inflexion a pour abscisse 1. Le changement de signe de f′′ est ce qui justifie la conclusion.
Exercice 2 Deux points d'inflexion et une ordonnée
★★☆Environ 12 min
Soit f(x)=x4−4x3+6 définie sur R.
Calcule f′′(x) et factorise-la.
Montre que la courbe a deux points d'inflexion.
Donne l'ordonnée du point d'inflexion d'abscisse 2.
Indice 1
Factorise f′′(x) par 12x.
Indice 2
Un trinôme ax2+bx+c avec a>0 est négatif entre ses racines.
Voir la correction pas à pas
f′(x)=4x3−12x2 puis f′′(x)=12x2−24x=12x(x−2).
f′′(x)=0 si et seulement si x=0 ou x=2.
Comme le coefficient de x2 est positif, f′′ est positive sur ]−∞;0[, négative sur ]0;2[ et positive sur ]2;+∞[.
f′′ change de signe en 0 et en 2 : il y a deux points d'inflexion.
Ordonnée en 2 : f(2)=16−32+6=−10.
Les points d'inflexion sont (0;6) et (2;−10). L'ordonnée demandée vaut −10.
Exercice 3 Tangente au point d'inflexion
★★★Environ 15 min
Soit f(x)=x3−6x2+9x définie sur R.
Détermine l'abscisse a de son point d'inflexion.
Écris l'équation réduite de la tangente en ce point.
Donne l'ordonnée à l'origine de cette tangente.
Indice 1
La tangente a pour équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Indice 2
Calcule f′(2) et f(2).
Voir la correction pas à pas
f′(x)=3x2−12x+9 et f′′(x)=6x−12=6(x−2).
f′′ s'annule en 2 en passant du négatif au positif : le point d'inflexion a pour abscisse a=2.
f(2)=8−24+18=2 et f′(2)=12−24+9=−3.
Équation : y=−3(x−2)+2=−3x+8.
L'ordonnée à l'origine est donc 8.
La tangente a pour équation y=−3x+8 ; son ordonnée à l'origine est 8.
Quiz
8 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité. 4 Un maximum ou un point à dérivée nulle ne suffisent pas : ce sont d'autres notions, liées aux variations et non à la courbure.
On a bien f′′(0)=0, mais f′′ reste positive de chaque côté, donc la courbe ne change pas de concavité. 5 L'erreur tentante est de croire que l'annulation de f′′ suffit. La fonction est dérivable partout.
Faux : l'annulation de f′′ est nécessaire mais pas suffisante. 4 Il faut un changement de signe, ce que x4 en 0 illustre. 5
Vrai : c'est une propriété caractéristique du point d'inflexion. 4 Sur une portion purement convexe ou concave, la tangente reste du même côté de la courbe.
On a f′(0)=0 et f′′(0)=0 ; la courbe passe de convexe à concave : c'est un point d'inflexion non stationnaire. 5 Le piège est de croire qu'une tangente d'inflexion est toujours horizontale.
On a f′(x)=3x2−18x et f′′(x)=6x−18=6(x−3). Cette quantité s'annule en 3 en passant du négatif au positif : l'abscisse est 3. Annuler f′ (soit x=0 ou x=6) donnerait des tangentes horizontales, pas l'inflexion.
La fonction cube et la fonction sinus passent de concave à convexe ou l'inverse en 0. 5 La fonction x4 ne change pas de concavité en 0 5 et x2 a pour dérivée seconde la constante 2, positive : elle est convexe partout.
On a f′(0)=f′′(0)=0 : c'est un point stationnaire et un point d'inflexion, car la dérivée ne change pas de signe en 0. 5 Ce n'est ni un maximum ni un minimum, puisque f′ reste positive autour de 0.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si f'' s'annule vraiment avec changement de signe ?
Étudie le signe de f′′ de part et d'autre de la valeur trouvée avec un tableau de signes. Pour un produit comme 12x(x−2), regarde chaque facteur. Si le signe de f′′ est le même avant et après (c'est le cas d'un facteur au carré, comme 12x2), il n'y a pas d'inflexion. 5
Quelle différence entre point d'inflexion et point stationnaire ?
Un point stationnaire est un point où la dérivée s'annule (tangente horizontale). Un point d'inflexion est un point où la concavité change. Les deux peuvent coïncider, comme pour x3 en 0, mais ce n'est pas obligatoire : sinx en 0 est un point d'inflexion non stationnaire, et x4 en 0 est stationnaire sans être un point d'inflexion. 5
À quoi servent les points d'inflexion ?
Ils aident à tracer l'allure d'une courbe lorsqu'on sait les déterminer explicitement. 4 Ils indiquent où la courbe passe d'une forme de cuvette à une forme de bosse (ou l'inverse), ce qui précise le tracé.
Que demande le programme à ce sujet ?
Il demande de reconnaître sur une représentation graphique une fonction convexe, une fonction concave et un point d'inflexion. 3 Il faut donc savoir lire un graphique, mais aussi justifier par le calcul avec la dérivée seconde, comme dans une étude de fonction.
Une fonction peut-elle avoir plusieurs points d'inflexion, ou aucun ?
Oui, dans les deux cas. La fonction x↦x4−4x3 en possède deux (d'abscisses 0 et 2). La parabole y=x2 n'en a aucun, car f′′=2 ne s'annule jamais et la courbe reste convexe partout.