Points d'inflexion : exercices corrigés de Terminale

On dérive : $f'(x)=3x^2-12x+5$.

On dérive encore : $f''(x)=6x-12$.

On résout $6x-12=0$, ce qui donne $x=2$.

$f''$ est une fonction affine de coefficient directeur $6>0$ : elle est négative avant $2$ et positive après. Elle change de signe en $2$.

$g'(x)=3x^2-6x$.

$g''(x)=6x-6$, qui s'annule en $x=1$.

$g''$ est affine de pente positive, donc elle change de signe en $1$ : le point d'inflexion a pour abscisse $1$.

On calcule $g(1)=1-3+4=2$.

$h'(x)=4x^3$ puis $h''(x)=12x^2$.

$12x^2=0$ équivaut à $x=0$ : c'est le seul candidat.

Pour tout réel $x$, $12x^2\geq 0$. Donc $h''$ s'annule en $0$ sans changer de signe.

Conclusion : la courbe reste convexe sur $\mathbb{R}$, la concavité ne change pas.

$k'(x)=4x^3-12x^2$.

$k''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$.

Les racines sont $0$ et $2$.

Le trinôme est du signe de $12>0$ à l'extérieur des racines : $k''>0$ sur $]-\infty\,;0[$, $k''<0$ sur $]0\,;2[$, $k''>0$ sur $]2\,;+\infty[$.

$k''$ change de signe en $0$ et en $2$.

$g'(x)=3x^2-6x$, donc $g'(1)=3-6=-3$.

$T : y=-3(x-1)+2$, soit $y=-3x+5$.

Pour $x=2$ : $y=-3\times 2+5=-1$.

$f_a'(x)=3x^2+2ax+3$.

$f_a''(x)=6x+2a$.

Condition nécessaire : $f_a''(1)=0$, soit $6+2a=0$, donc $a=-3$.

Vérification : avec $a=-3$, $f_a''(x)=6x-6$, négative avant $1$ et positive après. Le signe change bien.

$f'(x)=1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$.

$f''(x)=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=(x-2)e^{-x}$.

Comme $e^{-x}>0$, le signe de $f''(x)$ est celui de $x-2$ : négatif avant $2$, positif après.

$f''$ change de signe en $2$ : point d'inflexion d'abscisse $2$.

$f(2)=2e^{-2}\approx 0{,}2707$.

$f'(x)=1+\cos x$ et $f''(x)=-\sin x$.

Comme $\cos x\geq -1$, on a $f'(x)\geq 0$ pour tout $x$ : la dérivée ne change jamais de signe.

$f''(\pi)=-\sin\pi=0$. Sur $]0\,;\pi[$, $f''<0$ ; sur $]\pi\,;2\pi[$, $f''>0$ : la dérivée seconde change de signe en $\pi$.

$f'(\pi)=1+\cos\pi=0$ : la tangente est horizontale.

$f(\pi)=\pi+\sin\pi=\pi\approx 3{,}1416$.