Croissances comparées : cours de Terminale spécialité

Quand $x$ devient très grand, les fonctions $x\mapsto x^2$, $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto \ln x$ tendent toutes vers $+\infty$. Pourtant, elles n'y vont pas à la même vitesse. Certaines s'envolent, d'autres avancent à pas de tortue. Dès que tu rencontres un quotient comme $\dfrac{e^x}{x^3}$ ou un produit comme $x\ln x$, la question est : qui gagne ?

Le programme de Terminale demande de connaître la croissance comparée de $x\mapsto x^n$ et de l'exponentielle en $+\infty$, ainsi que celle du logarithme népérien et de $x\mapsto x^n$ en $0$ et en $+\infty$ ¹. Ces résultats servent à calculer des limites lorsque les opérations usuelles sur les limites ne suffisent pas ².

Dans ce cours, tu vas :

• comprendre l'idée avec des valeurs numériques ;
• énoncer les limites à connaître ;
• démontrer ces limites à partir de résultats simples, pour pouvoir les retrouver seul ;
• appliquer une méthode pour lever les formes indéterminées ;
• utiliser ces limites dans une étude de fonction et dans l'étude de suites ;
• repérer les erreurs qui coûtent des points au bac.

Avant ce chapitre, tu as étudié la définition et les propriétés algébriques du logarithme, puis l'étude de la fonction logarithme. Tu sais donc que $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$, strictement croissante, qu'elle est la réciproque de l'exponentielle et que $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. Tu connais aussi la limite de $\ln x$ en $+\infty$ (elle vaut $+\infty$) et en $0^+$ (elle vaut $-\infty$).

Le programme range les croissances comparées parmi les outils pour déterminer des limites de fonctions en $\pm\infty$, à côté des limites usuelles et des opérations sur les limites ¹. Concrètement, elles servent de « limites de référence » : quand un calcul bute sur une forme indéterminée, tu les invoques pour conclure.

Deux résultats d'entraînement seront utilisés dans les démonstrations :

1. l'inégalité $e^x\geqslant x+1$ pour tout réel $x$ (la courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa tangente en $0$, d'équation $y=x+1$) ;
2. le théorème de comparaison : si $f(x)\geqslant g(x)$ et si $g(x)\to+\infty$, alors $f(x)\to+\infty$ ; et le théorème des gendarmes pour les limites finies.

Sur le graphique, les deux courbes partent proches l'une de l'autre, mais l'exponentielle prend vite une avance qui ne cesse de croître. Un graphique ne prouve rien (la comparaison se joue à l'infini, hors de la fenêtre), mais il donne l'intuition.

Commence par quelques valeurs. Pour $x=10$ : $x^3=1\,000$ alors que $e^{10}\approx 22\,026$. Pour $x=30$ : $x^3=27\,000$ alors que $e^{30}\approx 1{,}07\times 10^{13}$. Le quotient $\dfrac{e^x}{x^3}$ passe d'environ $22$ à environ $4\times 10^8$. Il explose.

Près de $0$, le logarithme tend vers $-\infty$, tandis que $x^n$ tend vers $0$ : le produit $x^n\ln x$ est une forme indéterminée de type $0\times\infty$. Le programme prévoit aussi cette comparaison, en $0$ et en $+\infty$ ¹.

Ces preuves s'enchaînent : chacune s'appuie sur la précédente. Lis-les dans l'ordre, en repérant à chaque fois le changement de variable utilisé.

Ces limites servent à construire le tableau de variations d'une fonction et à trouver ses asymptotes. Le programme prévoit de déterminer des limites en $\pm\infty$ en utilisant les limites usuelles, les croissances comparées et les opérations sur les limites ¹.

Les suites $(u_n)$ définies par $u_n=f(n)$ héritent des limites de fonctions : puisque $n$ est une valeur particulière de $x$ qui tend vers $+\infty$, si $f(x)$ tend vers une limite en $+\infty$, alors $u_n=f(n)$ tend vers la même limite. Ainsi $\dfrac{e^n}{n^2}\to+\infty$, $\dfrac{\ln n}{n}\to0$ et $n^3e^{-n}\to0$.

Le programme de suites rappelle qu'une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ ², et qu'une suite croissante majorée converge (théorème admis) ². Ces deux énoncés donnent deux réflexes : pour montrer qu'une suite tend vers $+\infty$, on peut chercher à prouver qu'elle est croissante et non majorée ; mais pour une suite écrite par une formule avec exponentielle ou logarithme, les croissances comparées donnent la limite plus directement.

La hiérarchie « logarithme, puissances, exponentielle » se retrouve dans de nombreux problèmes concrets. Un algorithme dont le nombre d'opérations croît comme $\ln n$ reste utilisable pour des données gigantesques, alors qu'un algorithme en $e^n$ devient inutilisable dès que $n$ est modéré. Ce sont des illustrations du même phénomène : à l'infini, la fonction la plus forte l'emporte.