Croissances comparées : exercices corrigés de Terminale

Repérer la forme : $x^2\to+\infty$ et $e^x\to+\infty$, donc on a une forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Pour $x>0$, écrire l'expression comme l'inverse d'un quotient de référence : $\dfrac{x^2}{e^x}=\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}}$.

Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x^2}\to+\infty$ quand $x\to+\infty$.

L'inverse d'une quantité qui tend vers $+\infty$ tend vers $0$.

Repérer la forme : numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$, forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$.

Pour $x>0$, séparer en deux fractions : $\dfrac{3x^2+\ln x}{x^2}=3+\dfrac{\ln x}{x^2}$.

Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}{x^2}\to0$ en $+\infty$.

Par somme, la limite est $3+0$.

Repérer la forme : $e^x\to+\infty$ et $x^5\to+\infty$, donc $+\infty-\infty$, indéterminée.

Pour $x>0$, factoriser par $x^5$ : $e^x-x^5=x^5\left(\dfrac{e^x}{x^5}-1\right)$.

Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x^5}\to+\infty$, donc $\dfrac{e^x}{x^5}-1\to+\infty$.

Comme $x^5\to+\infty$, le produit de deux quantités qui tendent vers $+\infty$ tend vers $+\infty$.

Repérer la forme : les deux termes tendent vers $+\infty$, donc $+\infty-\infty$, indéterminée.

Pour $x>0$, factoriser par $x^3$ : $x^3-e^x=x^3\left(1-\dfrac{e^x}{x^3}\right)$.

Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x^3}\to+\infty$, donc $1-\dfrac{e^x}{x^3}\to-\infty$.

Comme $x^3\to+\infty$, le produit d'un facteur qui tend vers $+\infty$ et d'un facteur qui tend vers $-\infty$ tend vers $-\infty$.

Repérer la forme : $x\to+\infty$ et $\ln x\to+\infty$, donc $+\infty-\infty$, indéterminée.

Pour $x>0$, factoriser par $x$ : $x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}{x}\right)$.

Par croissances comparées, $\dfrac{\ln x}{x}\to0$, donc le facteur entre parenthèses tend vers $1$.

Comme $x\to+\infty$, le produit tend vers $+\infty$.

Poser $t=-x$ : quand $x\to-\infty$, $t\to+\infty$.

Réécrire l'expression : $x^2e^x=(-t)^2e^{-t}=t^2e^{-t}=\dfrac{t^2}{e^t}$.

Par croissances comparées (voir le premier exercice), $\dfrac{t^2}{e^t}\to0$ quand $t\to+\infty$.

Étudier le premier terme : $x\to0$ et $\ln x\to-\infty$, forme $0\times\infty$ ; par croissances comparées en $0$, $x\ln x\to0$ quand $x\to0^+$.

Étudier le second terme : $3x\to0$.

Par différence, la limite est $0-0$.

Poser $t=2x$ : quand $x\to+\infty$, $t\to+\infty$.

Exprimer $x^2$ avec $t$ : $x=\dfrac t2$, donc $x^2=\dfrac{t^2}{4}$.

Réécrire : $\dfrac{e^{2x}}{x^2}=\dfrac{e^{t}}{t^2/4}=4\times\dfrac{e^t}{t^2}$.

Par croissances comparées, $\dfrac{e^t}{t^2}\to+\infty$, donc $4\times\dfrac{e^t}{t^2}\to+\infty$.

Repérer la forme : $\dfrac{\infty}{\infty}$, indéterminée.

Factoriser par le terme dominant $e^x$ en haut et en bas : $\dfrac{e^x+x^2}{2e^x+x}=\dfrac{e^x\left(1+x^2e^{-x}\right)}{e^x\left(2+xe^{-x}\right)}=\dfrac{1+x^2e^{-x}}{2+xe^{-x}}$, car $e^x\neq0$.

Par croissances comparées, $x^2e^{-x}\to0$ et $xe^{-x}\to0$ en $+\infty$.

Le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $2$ ; par quotient, la limite est $\dfrac12$.

Limite : $f(x)=\dfrac{x}{e^x}$, et par croissances comparées $\dfrac{e^x}{x}\to+\infty$, donc $f(x)\to0$ en $+\infty$.

Dérivée : avec $u=x$ et $v=e^{-x}$, $u'=1$ et $v'=-e^{-x}$, donc $f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$.

Signe : $e^{-x}>0$, donc $f'(x)$ a le signe de $1-x$ : positive sur $]-\infty\,;1[$, nulle en $1$, négative sur $]1\,;+\infty[$.

Variations : $f$ croît jusqu'en $x=1$ puis décroît ; le maximum est $f(1)=e^{-1}\approx0{,}3679$.

Limite en $0^+$ : $\ln x\to-\infty$ et $\dfrac1x\to+\infty$, donc le produit $\ln x\times\dfrac1x$ tend vers $-\infty$. Ce n'est pas une forme indéterminée.

Limite en $+\infty$ : c'est une limite de référence, $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ par croissances comparées.

Dérivée : avec $u=\ln x$, $u'=\dfrac1x$, $v=x$, $v'=1$, on a $g'(x)=\dfrac{\frac1x\times x-\ln x\times1}{x^2}=\dfrac{1-\ln x}{x^2}$.

Signe : $x^2>0$, donc $g'(x)$ a le signe de $1-\ln x$. Or $1-\ln x>0\iff x<e$ : $g$ croît sur $]0\,;e]$ et décroît sur $[e\,;+\infty[$.

Maximum : $g(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac1e\approx0{,}3679$.

Par croissances comparées, $\dfrac{e^n}{n^2}\to+\infty$ : ce quotient finit donc par dépasser $1000$, c'est-à-dire $e^n>1000n^2$.

Pour $n=11$ : $e^{11}\approx59\,874$ et $1000\times121=121\,000$, donc $e^{11}<121\,000$.

Pour $n=12$ : $e^{12}\approx162\,755$ et $1000\times144=144\,000$, donc $e^{12}>144\,000$.

Le quotient $\dfrac{e^n}{n^2}$ augmente quand $n$ augmente à partir de $n=2$, et il vaut environ $2{,}7$ pour $n=1$ : aucune valeur de $1$ à $11$ ne convient, donc le plus petit entier est $12$.