Croissances comparées : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x : xnex→+∞, donc xne−x→0.
En +∞, toute puissance de x l'emporte sur le logarithme : xnlnx→0.
En 0+, la puissance l'emporte sur le logarithme : xnlnx→0.
Ces résultats lèvent des formes indéterminées : on factorise le terme dominant, puis on conclut.
Le piège : ne jamais conclure sans factoriser, et ne pas confondre le sens de la domination selon qu'on est en +∞ ou en 0.
Ce que dit le programme
Le programme de Terminale spécialité prévoit d'étudier des limites en ±∞ en utilisant les limites usuelles, les croissances comparées et les opérations sur les limites 1. Deux comparaisons sont à connaître : celle de x↦xn avec l'exponentielle en +∞, et celle du logarithme népérien avec x↦xn en 0 et en +∞1.
Les trois limites à connaître
Méthode pour lever une forme indéterminée
Pièges fréquents
À retenir pour le bac
Questions flash
4 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
L'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x en +∞, donc le quotient tend vers +∞. La réponse 0 correspond à l'inverse, exx4, et confond le numérateur avec le dénominateur.
On écrit x2e−x=exx2, qui tend vers 0 car l'exponentielle domine. Répondre +∞ vient du fait que x2→+∞, alors que e−x→0 l'écrase.
C'est faux : la limite vaut 0 par croissance comparée. Le tentant « 0×(−∞)=−∞ » oublie que c'est une forme indéterminée où la puissance x l'emporte sur lnx.
On décompose : x2x+lnx=2+xlnx, et xlnx→0, donc la limite vaut 2. Répondre +∞ ignore que lnx est négligeable devant x.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir quel terme domine dans une somme ?
Retiens la hiérarchie en +∞ : lnx≪xn≪ex. Le terme dominant est le plus à droite, et c'est lui que tu factorises. Près de 0+, la puissance xn l'emporte sur lnx1.
Faut-il démontrer les croissances comparées à l'examen ?
Le programme les présente comme des limites à connaître et à utiliser pour lever des indéterminations 1. Tu peux donc les citer en précisant « par croissances comparées », puis rédiger la factorisation qui y ramène.
Pourquoi ces limites servent-elles dans une étude de fonction ?
Elles donnent les limites aux bornes de l'ensemble de définition quand des formes indéterminées apparaissent. Sans elles, tu ne peux pas compléter un tableau de variations ni repérer une asymptote.