Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Les asymptotes : cours de Terminale spécialité maths

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Une asymptote horizontale $y=b$ existe quand $f(x)$ tend vers le réel $b$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ; une asymptote verticale $x=a$ existe quand $f(x)$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $a$ .
Une asymptote oblique $y=ax+b$ (avec $a\neq 0$ ) existe quand $f(x)-(ax+b)$ tend vers $0$ en $+\infty$ ou en $-\infty$ .
Méthode : domaine, limites aux bornes, conclusion avec l'équation de la droite, puis signe de $f(x)-(\text{droite})$ pour la position relative.
Piège fréquent : un dénominateur qui s'annule ne suffit pas, il faut que le numérateur ne s'annule pas aussi en ce point ; une courbe peut couper son asymptote horizontale ou oblique.

Pourquoi étudier le comportement d'une courbe aux bornes

Quand tu étudies une fonction, tu ne t'intéresses pas seulement à ses variations au milieu de son domaine. Tu veux aussi savoir ce qui se passe aux bords : quand $x$ devient très grand, très négatif, ou quand $x$ s'approche d'une valeur interdite. Dans les sciences, c'est souvent la vraie question : pour une population, une réaction chimique ou une température qui dépendent du temps, on veut connaître l'état stable atteint quand un long temps s'est écoulé, sans se soucier des variations intermédiaires ⁴.

Les droites dont la courbe se rapproche dans ces situations s'appellent des asymptotes. Le programme de Terminale attend de toi que tu saches passer d'une asymptote parallèle à un axe à la limite correspondante, et inversement ¹. Autrement dit : une asymptote se lit sur une limite, et une limite se traduit par une asymptote. C'est ce va-et-vient que ce cours t'apprend à maîtriser.

Le mot vient du grec et peut qualifier une droite, un cercle ou un point dont une courbe plus compliquée peut se rapprocher ; il est aussi devenu un nom féminin synonyme de « droite asymptote » ⁴. Dans ce cours, une asymptote est toujours une droite, et on distingue les cas horizontal, vertical et oblique.

L'asymptote horizontale

L'idée intuitive : lorsque $x$ grandit sans limite, sans jamais atteindre l'infini, la valeur de $f(x)$ s'approche d'un nombre fini $b$ ⁴. La courbe finit par « coller » à la droite horizontale d'ordonnée $b$ . Les fonctions homographiques et la fonction exponentielle fournissent des exemples classiques ⁴.

ExempleUne fonction homographique

Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ définie sur $]-\infty\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[$ . Pour $x\neq 0$ , on factorise par le terme dominant :

$f(x)=\frac{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}.$

Comme $\dfrac1x$ tend vers $0$ quand $x\to+\infty$ , le numérateur tend vers $2$ et le dénominateur vers $1$ . Donc $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=2$ . Le même calcul vaut en $-\infty$ . La droite d'équation $y=2$ est donc asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

L'asymptote verticale

Ici, $a$ est une valeur finie : on s'en approche autant qu'on veut sans être égal à $a$ ⁴. Le point clé est que $a$ est souvent une valeur interdite du domaine : la fonction n'est pas définie en $a$ , mais elle est définie tout près.

Courbe de f(x) = (2x+1)/(x−1) et ses asymptotes · Les droites x = 1 et y = 2 sont les asymptotes de la courbe.

L'asymptote oblique

ExempleUne division pour trouver l'asymptote

Soit $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ . Pour trouver la droite, on écrit le numérateur sous la forme $(x-2)(x+2)+5$ , car $(x-2)(x+2)=x^2-4$ . Alors

$g(x)=\frac{(x-2)(x+2)+5}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}.$

On calcule $g(x)-(x+2)=\dfrac{5}{x-2}$ , qui tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . La droite d'équation $y=x+2$ est donc asymptote oblique à $\mathcal{C}_g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ . De plus, $x=2$ est asymptote verticale : le numérateur vaut $5\neq0$ quand le dénominateur s'annule.

Si le quotient $\dfrac{f(x)}{x}$ tend vers un réel $a$ mais que $f(x)-ax$ n'a pas de limite réelle, on parle de direction asymptotique : la courbe tend à s'orienter selon la droite $y=ax$ sans qu'une asymptote existe ⁴. C'est un cas à connaître, mais il est rare en exercice.

Méthode complète d'étude des asymptotes

DomaineRepère les valeurs interdites et les bornes
LimitesCalcule en ±∞ et en chaque valeur interdite
ConclusionÉcris l'équation de chaque asymptote
PositionÉtudie le signe de f(x) − (droite)

Étudier les asymptotes d'une fonction · Ordre à suivre pour chaque exercice.

ExempleÉtude complète de $h(x)=\dfrac{3x-2}{x+4}$

Domaine. $x+4=0$ pour $x=-4$ , donc $\mathcal{D}_h=\mathbb{R}\setminus\{-4\}$ .

En l'infini. Pour $x\neq0$ , $h(x)=\dfrac{3-\frac{2}{x}}{1+\frac{4}{x}}$ tend vers $3$ en $\pm\infty$ . La droite $y=3$ est asymptote horizontale.

En $-4$ . Le numérateur tend vers $3\times(-4)-2=-14$ , non nul. Le dénominateur tend vers $0$ : par valeurs supérieures, $x+4\to0^+$ donc $h(x)\to-\infty$ ; par valeurs inférieures, $x+4\to0^-$ donc $h(x)\to+\infty$ . La droite $x=-4$ est asymptote verticale.

Bilan. Les asymptotes sont $y=3$ et $x=-4$ .

Les types d'asymptotes
Type	Équation	Condition
Horizontale	y = b	f(x) tend vers b en ±∞
Verticale	x = a	f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a
Oblique	y = ax + b, a ≠ 0	f(x) − (ax + b) tend vers 0 en ±∞

Les types d'asymptotes · Un coup d'œil pour ne pas confondre.

Position de la courbe par rapport à l'asymptote

Trouver l'asymptote ne suffit pas toujours. On demande souvent de préciser la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à elle : au-dessus ou en dessous ? Le but est de savoir de quel côté la courbe s'approche de la droite. L'étude des limites aux bornes du domaine, avec recherche d'asymptotes verticales ou horizontales, est d'ailleurs un exercice classique de lycée ³.

ExemplePosition pour $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$

On a $f(x)-2=\dfrac{2x+1-2(x-1)}{x-1}=\dfrac{3}{x-1}$ .

$x$	$]-\infty\,;1[$	$]1\,;+\infty[$
Signe de $x-1$	$-$	$+$
Signe de $f(x)-2$	$-$	$+$
Position	en dessous de $y=2$	au-dessus de $y=2$

Vérification : $f(2)=5>2$ et $f(0)=-1<2$ .

Pièges, cas particuliers et vue d'ensemble

Asymptotes

Horizontale
- y = b
- lim f = b
- x → ±∞
Verticale
- x = a
- lim f = ±∞
- dénominateur nul
Oblique
- y = ax + b
- a non nul
- f − (ax+b) → 0
Position
- signe de la diff.
- au-dessus
- en dessous

Carte mentale des asymptotes · Les idées à relier.

Exercices corrigés

Exercice 1 Horizontale, verticale et position

★☆☆Environ 10 min

Soit $f(x)=\dfrac{3x-2}{x+4}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-4\}$ .

Détermine la limite de $f$ en $+\infty$ et donne l'équation de l'asymptote horizontale.
Étudie la limite de $f$ en $-4$ de chaque côté et interprète graphiquement.
Vérifie que $f(x)-3=\dfrac{-14}{x+4}$ puis précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote horizontale.

Indice 1

Pour la limite en $+\infty$ , factorise numérateur et dénominateur par $x$ .

Indice 2

Pour la limite en $-4$ , le numérateur tend vers $-14$ : cherche le signe de $x+4$ de chaque côté.

Voir la correction pas à pas

Pour $x\neq0$ , $f(x)=\dfrac{3-\frac2x}{1+\frac4x}$ . Comme $\frac2x\to0$ et $\frac4x\to0$ quand $x\to+\infty$ , on obtient $\lim_{x\to+\infty}f(x)=3$ .
Conclusion : la droite d'équation $y=3$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ (et aussi en $-\infty$ par le même calcul).
Quand $x\to-4$ , le numérateur tend vers $3\times(-4)-2=-14$ , qui est négatif. Le dénominateur tend vers $0$ .
Par valeurs supérieures, $x+4\to0^+$ : le quotient d'un négatif par un petit positif est très négatif, donc $\lim_{x\to-4^+}f(x)=-\infty$ .
Par valeurs inférieures, $x+4\to0^-$ : le quotient d'un négatif par un petit négatif est très positif, donc $\lim_{x\to-4^-}f(x)=+\infty$ . La droite $x=-4$ est asymptote verticale.
On calcule $f(x)-3=\dfrac{3x-2-3(x+4)}{x+4}=\dfrac{-14}{x+4}$ .
Pour $x>-4$ , $x+4>0$ donc $f(x)-3<0$ : courbe en dessous de $y=3$ . Pour $x<-4$ , $x+4<0$ donc $f(x)-3>0$ : courbe au-dessus.

La courbe a pour asymptotes $y=3$ (horizontale) et $x=-4$ (verticale). Elle est en dessous de $y=3$ à droite de $-4$ et au-dessus à gauche.

Exercice 2 Asymptote oblique

★★☆Environ 12 min

Soit $g(x)=\dfrac{x^2+1}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

Détermine les réels $a$ , $b$ et $c$ tels que, pour tout $x\neq2$ , $g(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-2}$ .
En déduire une asymptote oblique à $\mathcal{C}_g$ et la valeur de $b$ .
Étudie la position de $\mathcal{C}_g$ par rapport à cette asymptote.

Indice 1

Écris $x^2+1=(x-2)(x+2)+5$ après avoir développé $(x-2)(x+2)$ .

Indice 2

La différence $g(x)-(ax+b)$ doit tendre vers $0$ .

Voir la correction pas à pas

On développe $(x-2)(x+2)=x^2-4$ , donc $x^2+1=(x-2)(x+2)+5$ .
On divise par $x-2$ : $g(x)=x+2+\dfrac{5}{x-2}$ . Donc $a=1$ , $b=2$ , $c=5$ .
On calcule $g(x)-(x+2)=\dfrac{5}{x-2}$ . Quand $x\to+\infty$ ou $x\to-\infty$ , cette quantité tend vers $0$ .
Conclusion : la droite d'équation $y=x+2$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}_g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , avec $a=1\neq0$ et $b=2$ .
Le signe de $\dfrac{5}{x-2}$ est celui de $x-2$ . Pour $x>2$ , la courbe est au-dessus de la droite. Pour $x<2$ , elle est en dessous.

L'asymptote oblique est $y=x+2$ et $b=2$ . Comme le numérateur vaut $5\neq0$ en $2$ , la droite $x=2$ est aussi asymptote verticale.

Exercice 3 Le piège du dénominateur nul

★★★Environ 12 min

Soit $p(x)=\dfrac{2x^2-3x+1}{x-1}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

Vérifie que $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$ .
Détermine la limite de $p$ en $1$ . La droite $x=1$ est-elle asymptote verticale ?
Détermine l'asymptote oblique éventuelle de $\mathcal{C}_p$ en $+\infty$ .

Indice 1

Développe $(2x-1)(x-1)$ pour la première question.

Indice 2

Après factorisation, simplifie par $x-1$ pour $x\neq1$ .

Voir la correction pas à pas

On développe $(2x-1)(x-1)=2x^2-2x-x+1=2x^2-3x+1$ . L'égalité est vérifiée.
Pour $x\neq1$ , $p(x)=\dfrac{(2x-1)(x-1)}{x-1}=2x-1$ .
Quand $x\to1$ , $2x-1\to1$ . La limite est donc le réel $1$ et non une limite infinie.
Conclusion : la droite $x=1$ n'est pas asymptote verticale ; la courbe présente seulement un point manquant d'abscisse $1$ et d'ordonnée $1$ .
Pour $x\neq1$ , $p(x)-(2x-1)=0$ . Cette différence est nulle, donc elle tend vers $0$ : la droite $y=2x-1$ est asymptote oblique (la courbe lui est confondue, privée d'un point).

Le dénominateur s'annule en $1$ , mais le numérateur aussi : il n'y a pas d'asymptote verticale. La courbe est la droite $y=2x-1$ privée du point d'abscisse $1$ .

Les questions qu'on se pose

Comment savoir s'il faut chercher une asymptote verticale ?

Cherche les valeurs interdites du domaine (dénominateur nul, argument d'un logarithme nul...). En chacune, calcule la limite : si elle est infinie, tu as une asymptote verticale. On les rencontre surtout quand le dénominateur s'annule sans que le numérateur s'annule ⁴.

Pourquoi calculer deux limites séparées en $+\infty$ et $-\infty$ ?

Parce que la courbe peut se comporter différemment à gauche et à droite. L'exponentielle, par exemple, a une asymptote horizontale d'un côté seulement. Pour un quotient de polynômes, les deux limites coïncident le plus souvent, mais il faut le justifier.

À quoi servent les asymptotes dans la vraie vie ?

Elles décrivent un état stable à long terme : population, réaction chimique, température, oscillation d'un amortisseur. Le chercheur veut connaître ce comportement final sans suivre toutes les variations intermédiaires ⁴.

Qu'est-ce qui tombe au bac sur ce chapitre ?

Les sujets demandent presque toujours de calculer des limites aux bornes puis d'interpréter graphiquement : donner l'équation de l'asymptote avec une phrase de conclusion. Souvent, une dernière question porte sur la position de la courbe par rapport à l'asymptote, par l'étude du signe d'une différence.

Une fonction peut-elle avoir plus de deux asymptotes ?

Oui. Une fonction peut combiner plusieurs asymptotes verticales (plusieurs valeurs interdites) et une ou deux asymptotes horizontales ou obliques (une en $+\infty$ , une en $-\infty$ ). Étudie chaque borne du domaine l'une après l'autre.

Sources

Programme de mathématiques Terminale - Concepts fondamentaux, Ministère de l'Éducation. Consulté le 6 novembre 2026.
Cours Limites et Continuité - Terminale Spécialité, Académie de Normandie. Consulté le 6 novembre 2026.
Limites - Ressources Pédagogiques, Académie de Lyon. Consulté le 6 novembre 2026.
Asymptote, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Comparaison asymptotique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

Les numéros dans le texte renvoient à ces sources. Une source qui ne dit pas ce qu'on lui fait dire ? Signale-le.

Signaler une erreur sur cette page

Les asymptotes : cours de Terminale spécialité maths

L'essentiel

Pourquoi étudier le comportement d'une courbe aux bornes

L'asymptote horizontale

L'asymptote verticale

L'asymptote oblique

Méthode complète d'étude des asymptotes

Position de la courbe par rapport à l'asymptote

Pièges, cas particuliers et vue d'ensemble

Exercices corrigés

Exercice 1 Horizontale, verticale et position

Exercice 2 Asymptote oblique

Exercice 3 Le piège du dénominateur nul

Quiz

Les questions qu'on se pose

Sources

Primaire

Collège

Lycée

Supérieur