Asymptotes : exercices corrigés de Terminale spécialité

En $\pm\infty$, on écrit $f(x) = \dfrac{x\left(2 + \frac{1}{x}\right)}{x\left(1 - \frac{3}{x}\right)} = \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}}$. Comme $\frac{1}{x}$ et $\frac{3}{x}$ tendent vers $0$, la limite est $2$ en $+\infty$ comme en $-\infty$.

On en déduit que la droite d'équation $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe.

En $3$, le dénominateur s'annule et le numérateur vaut $2 \times 3 + 1 = 7$, non nul : on s'attend à une limite infinie.

Pour $x > 3$ (à droite), $x - 3$ est positif et proche de $0$, le numérateur est proche de $7 > 0$ : $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.

Pour $x < 3$ (à gauche), $x - 3$ est négatif et proche de $0$ : $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$. La droite d'équation $x = 3$ est donc asymptote verticale.

Position : $f(x) - 2 = \dfrac{2x + 1 - 2(x - 3)}{x - 3} = \dfrac{7}{x - 3}$. Ce nombre est positif si $x > 3$ et négatif si $x < 3$.

Conclusion : la courbe est au-dessus de la droite $y = 2$ sur $]3\,;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty\,;3[$.

On factorise : $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, qui s'annule pour $x = 2$ et $x = -2$.

En $2$ : le numérateur vaut $3 > 0$ et $x + 2$ est proche de $4 > 0$. Le signe est donc celui de $x - 2$.

À droite de $2$, $x - 2 \to 0^+$ donc $f(x) \to +\infty$ ; à gauche, $x - 2 \to 0^-$ donc $f(x) \to -\infty$.

En $-2$ : le numérateur vaut $-1 < 0$ et $x - 2$ est proche de $-4 < 0$, donc le produit du numérateur par $(x-2)$ est proche de $4 > 0$ : le signe de $f(x)$ est celui de $x + 2$.

À droite de $-2$, $x + 2 \to 0^+$ donc $f(x) \to +\infty$ ; à gauche, $x + 2 \to 0^-$ donc $f(x) \to -\infty$.

En $\pm\infty$ : $f(x) = \dfrac{x\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{x^2\left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{4}{x^2}}$, qui tend vers $0$.

Les asymptotes sont les droites d'équations $x = -2$, $x = 2$ et $y = 0$ (l'axe des abscisses).

Le dénominateur vaut $x^2 + 4 \geq 4 > 0$ : il ne s'annule jamais, donc $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.

On factorise par $x^2$ : $f(x) = \dfrac{3 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x^2}}$. Les termes $\frac{1}{x}$ et $\frac{4}{x^2}$ tendent vers $0$ en $\pm\infty$, donc la limite vaut $3$.

La droite d'équation $y = 3$ est asymptote horizontale en $+\infty$ et en $-\infty$.

Calcul : $f(x) - 3 = \dfrac{3x^2 - x - 3(x^2 + 4)}{x^2 + 4} = \dfrac{-x - 12}{x^2 + 4}$.

Le dénominateur est positif, donc le signe de $f(x) - 3$ est celui de $-x - 12$, qui est positif si et seulement si $x < -12$.

Conclusion : la courbe est au-dessus de l'asymptote sur $]-\infty\,;-12[$ et en dessous sur $]-12\,;+\infty[$. Elle coupe l'asymptote au point d'abscisse $-12$.

Vérification : $(x + 2)(x + 1) - 1 = x^2 + 3x + 2 - 1 = x^2 + 3x + 1$. En divisant par $x + 1$, on obtient bien $f(x) = x + 2 - \dfrac{1}{x + 1}$.

Écart : $f(x) - (x + 2) = -\dfrac{1}{x + 1}$.

Quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, $x + 1$ devient infiniment grand en valeur absolue, donc l'écart tend vers $0$ : la droite $D$ est asymptote oblique ².

Signe de l'écart : $-\dfrac{1}{x + 1}$ est négatif si $x > -1$ et positif si $x < -1$.

La courbe est donc en dessous de $D$ sur $]-1\,;+\infty[$ et au-dessus sur $]-\infty\,;-1[$.

En $-1$, le numérateur vaut $(-1)^2 + 3 \times (-1) + 1 = -1$, non nul, et le dénominateur s'annule : la courbe admet la droite d'équation $x = -1$ comme asymptote verticale ⁴.

On sait que $e^{X}$ tend vers $0$ quand $X$ tend vers $-\infty$. Avec $X = -x$, on obtient $\lim_{x \to +\infty} 2e^{-x} = 0$.

Écart : $f(x) - (x - 1) = 2e^{-x}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$. La droite $D$ d'équation $y = x - 1$ est donc asymptote oblique en $+\infty$ ².

Position : pour tout réel $x$, $e^{-x} > 0$ donc $f(x) - (x - 1) > 0$ : la courbe est toujours strictement au-dessus de $D$.

Écart en $\ln 2$ : $2e^{-\ln 2} = 2 \times \dfrac{1}{e^{\ln 2}} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1$.

L'écart vertical en $x = \ln 2$ vaut donc $1$.

On a $\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{2x^2 - 3x + 5}{x^2 - x} = \dfrac{2 - \frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{1}{x}}$, qui tend vers $2$. Donc $a = 2$.

Ensuite $f(x) - 2x = \dfrac{2x^2 - 3x + 5 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \dfrac{-x + 5}{x - 1} = \dfrac{-1 + \frac{5}{x}}{1 - \frac{1}{x}}$, qui tend vers $-1$. Donc $b = -1$.

L'asymptote oblique est la droite d'équation $y = 2x - 1$ ⁴.

Vérification : $(2x - 1)(x - 1) = 2x^2 - 3x + 1$, donc $2x^2 - 3x + 5 = (2x - 1)(x - 1) + 4$ et $f(x) = 2x - 1 + \dfrac{4}{x - 1}$.

Écart : $f(x) - (2x - 1) = \dfrac{4}{x - 1}$, positif si $x > 1$, négatif si $x < 1$. La courbe est au-dessus de la droite sur $]1\,;+\infty[$ et en dessous sur $]-\infty\,;1[$.

En $1$, le numérateur vaut $2 - 3 + 5 = 4 \neq 0$ et le dénominateur s'annule : la droite d'équation $x = 1$ est asymptote verticale.

On écrit $8x + 2 = 8(x + 4) - 30$, donc $C(x) = \dfrac{8(x + 4) - 30}{x + 4} = 8 - \dfrac{30}{x + 4}$.

Quand $x \to +\infty$, $\dfrac{30}{x + 4} \to 0$, donc $\lim_{x \to +\infty} C(x) = 8$.

La droite d'équation $y = 8$ est asymptote horizontale à la courbe.

Interprétation : au bout d'un temps très long, la concentration se stabilise vers $8$ mg/L. Cette étude du comportement à l'infini sert justement à connaître l'état stable d'un phénomène dépendant du temps ⁴.

Position : $C(x) - 8 = -\dfrac{30}{x + 4} < 0$ pour $x \geq 0$ : la courbe reste strictement en dessous de l'asymptote, donc la concentration n'atteint jamais $8$ mg/L.

$C(x) = 7$ équivaut à $8 - \dfrac{30}{x + 4} = 7$, soit $\dfrac{30}{x + 4} = 1$.

Comme $x + 4 > 0$, cela donne $x + 4 = 30$, donc $x = 26$.

Inégalité : $C(x) > 7$ équivaut à $\dfrac{30}{x + 4} < 1$. Comme $x + 4 > 0$, c'est équivalent à $x + 4 > 30$, soit $x > 26$.

La concentration dépasse donc $7$ mg/L à partir de $26$ heures.

Pour tout $x \geq 0$, $\dfrac{30}{x + 4} > 0$, donc $C(x) < 8$ : la courbe reste sous son asymptote horizontale $y = 8$, et la concentration ne dépasse jamais $8$ mg/L.