La continuité d'une fonction : cours de Terminale spécialité

Dans le chapitre précédent, tu as appris à calculer des limites de fonctions et à repérer des asymptotes. Tu as sans doute remarqué qu'en un point où la fonction est définie, la limite et l'image ne se comportent pas toujours de la même façon. La continuité est justement la notion qui décrit les situations où tout se passe bien : la valeur de la fonction en un point est celle vers laquelle elle tend quand $x$ s'en approche.

Pourquoi s'en préoccuper ? Parce que les fonctions continues possèdent des propriétés très utiles : elles respectent les limites (on peut échanger $\lim$ et $f$), elles vérifient le théorème des valeurs intermédiaires, un théorème des bornes, et on peut les intégrer ³. Le programme de Terminale introduit d'ailleurs la notion de primitive pour une fonction continue ¹. Dans ce cours, tu vas apprendre à définir la continuité proprement, à la vérifier sur des exemples, à reconnaître une discontinuité et à utiliser la continuité avec les suites.

La première façon de comprendre la continuité consiste à regarder le graphe. Pour une fonction réelle définie sur un intervalle, on dit souvent que la fonction est continue quand sa courbe se trace sans lever le crayon ³. Cette image donne une idée juste de la notion : la fonction ne « saute » pas ³.

Autre manière de le dire : à de petites variations de $x$ correspondent de petites variations de $f(x)$ ³. Si tu bouges un peu l'antécédent, l'image ne bondit pas.

Décortiquons cette définition. Pour que $f$ soit continue en $a$, trois choses doivent être vraies en même temps :

• $f(a)$ existe : le nombre $a$ est bien dans l'ensemble de définition ;
• la limite de $f$ en $a$ existe et elle est finie ;
• cette limite est égale à $f(a)$.

Si l'un de ces points manque, la fonction n'est pas continue en $a$. Le troisième est le plus souvent celui qui échoue : la fonction tend vers une valeur, mais prend une autre valeur en $a$.

Cette définition traduit mathématiquement l'idée « pas de saut sur tout l'intervalle ». Pour montrer qu'une fonction est continue sur un intervalle, on ne vérifie pas point par point (il y en a une infinité) : on s'appuie sur des résultats généraux. Quand la fonction est définie par une seule formule faite de fonctions usuelles, on utilise les opérations sur les limites, comme tu l'as fait pour $2x^2-3x+1$ ci-dessus. Le seul endroit à examiner à la main est un point où la formule change ou une valeur particulière isolée.

Une rédaction attendue au bac pour une fonction définie par morceaux est la suivante : « sur chaque intervalle ouvert où la formule est unique, $f$ est continue ; il reste à étudier le point de raccord ».

Le cas typique est celui du saut : en s'approchant de $a$ par la gauche puis par la droite, la courbe n'arrive pas à la même hauteur, ou bien elle arrive à une hauteur qui ne correspond pas au point $f(a)$ ³. Pour décrire précisément ce qui se passe, on compare trois nombres :

• la limite à gauche, notée $\lim_{x\to a^-} f(x)$ ;
• la limite à droite, notée $\lim_{x\to a^+} f(x)$ ;
• la valeur $f(a)$.

La fonction est continue en $a$ si et seulement si ces trois nombres existent (pour les limites, finis) et sont tous égaux.

Les fonctions définies par morceaux sont le terrain favori des sujets sur la continuité. Souvent, un paramètre ($a$, $k$, $m$…) figure dans la formule, et l'on te demande de le choisir pour que la fonction soit continue. La démarche est toujours la même.

La continuité d'une fonction se mêle aux suites. Le programme prévoit l'étude de l'image d'une suite convergente par une fonction continue ¹, ainsi que celle des suites définies par une relation de la forme $u_{n+1}=f(u_n)$ pour une fonction $f$ continue d'un intervalle dans lui-même ¹.

La continuité n'est pas une fin en soi ; elle ouvre la porte à plusieurs résultats importants du programme :

• le théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit l'existence de solutions d'une équation $f(x)=k$ pour une fonction continue, et sa version pour les fonctions continues strictement monotones ¹. Ce théorème est le prochain chapitre de ce parcours, et le programme mentionne même une démonstration par dichotomie ¹ ;
• le théorème des bornes et l'intégrabilité : les fonctions continues possèdent de telles propriétés ³ ;
• l'introduction des primitives d'une fonction continue ¹, qui conduit au calcul intégral.

Sans continuité, ces énoncés ne sont plus garantis : une fonction qui saute de $1$ à $3$ passe de l'une à l'autre sans jamais prendre la valeur $2$, alors qu'une fonction continue, elle, ne le peut pas.