Continuité : exercices corrigés de Terminale spécialité maths

Limite à gauche : pour $x<2$, $f(x)=x^2+1$, donc $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+1=5$.

Image : $f(2)=2a-1$.

Condition de continuité : la limite en $2$ doit exister et valoir $f(2)$ ³. Ici la limite à droite est $2a-1$ et la limite à gauche est $5$, donc il faut $2a-1=5$.

On résout : $2a=6$, donc $a=3$.

Vérification : avec $a=3$, $f(2)=5$, et les deux limites valent $5$.

Pour $x\neq 0$ : $g(x)=\dfrac{x(x+3)}{x}=x+3$.

On en déduit $\lim_{x\to 0}g(x)=0+3=3$.

La continuité en $0$ demande que cette limite soit égale à $g(0)$ ³, donc $k=3$.

Limite à gauche : $\lim_{x\to 1^-}h(x)=3\times 1-1=2$.

Limite à droite et image : $\lim_{x\to 1^+}h(x)=1^2+2=3$ et $h(1)=3$.

Les deux limites sont différentes : la fonction n'a pas de limite en $1$, elle y présente un saut et n'est donc pas continue ³.

L'écart vaut $3-2=1$.

Image : $f(2)=2-E(2)=2-2=0$.

Limite à gauche : pour $x\in[1\,;2[$, $E(x)=1$ et $f(x)=x-1$, donc $\lim_{x\to 2^-}f(x)=1$.

Limite à droite : pour $x\in[2\,;3[$, $E(x)=2$ et $f(x)=x-2$, donc $\lim_{x\to 2^+}f(x)=0$.

Les limites à gauche et à droite diffèrent, donc $f$ n'a pas de limite en $2$ et n'est pas continue en $2$ ³.

Autour de $2{,}5$ : sur $]2\,;3[$, $f(x)=x-2$, donc $\lim_{x\to 2{,}5}f(x)=0{,}5=f(2{,}5)$ : la fonction est continue en $2{,}5$.

Raccord en $1$ : la limite à gauche vaut $2\times 1+3=5$ et $f(1)=a+b$. Il faut $a+b=5$.

Raccord en $3$ : $f(3)=3a+b$ et la limite à droite vaut $3^2-2=7$. Il faut $3a+b=7$.

On soustrait les deux équations : $2a=2$, donc $a=1$.

On reporte dans $a+b=5$ : $b=4$.

Sur chacun des intervalles ouverts $]-\infty\,;1[$, $]1\,;3[$ et $]3\,;+\infty[$, la fonction est donnée par une expression sans coupure ; la continuité se joue donc aux deux raccords, déjà traités ³.

La suite $(u_n)$ converge vers $\ell$, et $f$ est continue : la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell)$ ¹³.

La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$, donc par unicité de la limite $\ell=f(\ell)=\sqrt{2\ell+3}$.

On élève au carré (avec $\ell\geq 0$) : $\ell^2=2\ell+3$, soit $\ell^2-2\ell-3=0$.

Discriminant : $\Delta=4+12=16$. Les solutions sont $\ell=\dfrac{2-4}{2}=-1$ et $\ell=\dfrac{2+4}{2}=3$.

Tous les termes sont positifs, donc la limite est positive ou nulle : on écarte $-1$ et on garde $\ell=3$.

Pour $x\neq 2$, on multiplie par le conjugué : $\varphi(x)=\dfrac{(x+7)-9}{(x-2)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}=\dfrac{x-2}{(x-2)\left(\sqrt{x+7}+3\right)}$.

On simplifie par $x-2$ (non nul) : $\varphi(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x+7}+3}$.

Quand $x$ tend vers $2$, $\sqrt{x+7}$ tend vers $\sqrt 9=3$, donc $\lim_{x\to 2}\varphi(x)=\dfrac{1}{3+3}=\dfrac16$.

La continuité en $2$ exige que cette limite soit égale à $\varphi(2)$ ³ : $m=\dfrac16\approx 0{,}1667$.

Pour $p$ : $x^2-9=(x-3)(x+3)$, donc $p(x)=x+3$ pour $x\neq 3$, et $\lim_{x\to 3}p(x)=6$.

En posant $p(3)=6$, la limite en $3$ existe et vaut l'image : $p$ devient continue en $3$ ³.

Pour $q$ : si $x<3$, $x-3$ est négatif et petit, donc $\lim_{x\to 3^-}q(x)=-\infty$ ; si $x>3$, $\lim_{x\to 3^+}q(x)=+\infty$.

Aucune limite finie n'existe en $3$ : aucun nombre choisi pour $q(3)$ ne peut rendre $q$ continue en $3$.

Différence : pour $p$, la discontinuité n'est qu'un « trou » que l'on comble avec la valeur de la limite ; pour $q$, il y a une asymptote verticale d'équation $x=3$, qui rend le prolongement impossible.