Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction f est continue en a si et seulement si sa limite en a existe ; cette limite vaut alors f(a) 3.
Elle est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I 3.
Un saut (limites à gauche et à droite différentes de f(a)) signale une discontinuité 3.
Le critère « tracer sans lever le crayon » donne une idée, mais ne suffit pas à définir la continuité 3.
Pour une fonction continue, lim f(x) = f(lim x), ce qui permet de passer à la limite dans une suite f(u_n) 31.
Avant de commencer
Ce quiz couvre la continuité d'une fonction, juste après les limites et les asymptotes. Tu y travailles la définition en un point, la continuité sur un intervalle, la détection d'un saut, le calcul d'un paramètre qui rend une fonction continue et le passage à la limite dans une suite image.
Quiz
14 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
La continuité en a équivaut à l'existence de la limite de f en a, qui vaut alors nécessairement f(a)3. Être simplement définie en a est insuffisant : la fonction peut y prendre une valeur différente de la limite. La monotonie n'a aucun lien avec la continuité.
C'est la définition : f est continue sur I si elle est continue en tout point a de I3. L'erreur tentante serait de croire qu'il suffit qu'elle soit continue en quelques points seulement.
À gauche, 2x+1→5. À droite, x+3→5. Enfin f(2)=2×2+1=5. Les trois valeurs coïncident, donc f est continue en 2 d'après la caractérisation par la limite 3. Changer d'expression n'empêche pas la continuité ; la limite à droite vaut 2+3=5, pas 3.
À droite et en 3 : f(3)=2×3−1=5. À gauche, la limite vaut 3+k. La continuité exige que la limite existe et vaut f(3)3, donc 3+k=5 et k=2. Un élève qui trouve k=5 a oublié d'ajouter le 3 de la variable.
Cette approche donne une idée de la notion, mais elle n'est pas suffisante pour la définir ; certaines fonctions continues ont même un graphe impossible à tracer ainsi, comme l'escalier de Cantor 3. La définition rigoureuse passe par les limites.
La limite à gauche vaut 1, la limite à droite vaut 2 et f(0)=2. Les limites à gauche et à droite diffèrent : la fonction présente un saut, donc elle est discontinue 3. Chaque morceau est constant, mais cela ne garantit pas le raccord. La limite à droite existe bien, elle vaut 2.
Première fonction : limite à gauche 0, limite à droite 1, donc saut. Troisième : valeur −1 à gauche, 1 à droite, saut aussi. Seconde et dernière : les limites à gauche et à droite valent 0 et f(0)=0, elles sont donc continues en 0. Une discontinuité correspond à des limites à gauche et à droite qui ne s'accordent pas avec f(a)3.
Il faut en plus que cette limite commune soit égale à f(a) : un saut correspond à des limites qui n'ont pas la valeur de f(a)3. Exemple : f(x)=x si x=0 et f(0)=3 a pour limite 0 des deux côtés, mais f(0)=3.
Pour x=2, x−2x2−4=x−2(x−2)(x+2)=x+2, dont la limite en 2 vaut 4. Comme la continuité impose f(2)= limite 3, il faut f(2)=4. Choisir 0 serait une erreur : on remplacerait x par 2 dans la fraction sans simplifier.
L'image d'une suite convergente par une fonction continue converge vers l'image de la limite 1, ce qui traduit limf(x)=f(limx)3. Ici f(2)=3×2−1=5. Répondre 2 oublie d'appliquer f à la limite.
La suite (un) converge vers 2. Comme f est continue, f(un) converge vers f(2)=41. Une réponse de 2 confond limite de la suite et limite de son image.
La continuité en a équivaut à l'existence de la limite en a, qui vaut alors nécessairement f(a)3. Sans continuité, la limite pourrait exister mais différer de f(a), ou ne pas exister.
Parmi les propriétés des fonctions continues figure le théorème des valeurs intermédiaires 3, qui figure aussi au programme de Terminale 1. Une fonction continue n'est pas toujours dérivable (la valeur absolue en 0) ni croissante ; une asymptote verticale suppose au contraire une limite infinie.
Une discontinuité est associée à des limites à gauche et à droite qui n'ont pas toutes les deux la même valeur que f(a)3. Dans la deuxième situation, 3 et 5 diffèrent : saut. Dans les autres, tout coïncide, la fonction est continue en a.
Les questions qu'on se pose
Une fonction continue est-elle toujours dérivable ?
Non. La continuité décrit l'absence de saut, alors que la dérivabilité demande un graphe sans pointe. Par exemple, la fonction valeur absolue est continue en 0 sans y être dérivable. À l'inverse, retiens qu'une fonction dérivable est continue, ce qui sert souvent dans les exercices.
Comment savoir si une fonction définie par morceaux est continue ?
Étudie chaque point de raccord : calcule la limite à gauche, la limite à droite et la valeur de la fonction. Si les trois nombres sont égaux, il y a continuité en ce point 3. S'ils diffèrent, la fonction présente une discontinuité. À l'intérieur de chaque morceau, on utilise la continuité des expressions usuelles.
Pourquoi la continuité sert-elle pour la suite du chapitre ?
Elle est la condition d'application du théorème des valeurs intermédiaires, qui garantit l'existence de solutions d'une équation 3. Elle permet aussi de passer à la limite dans une suite définie par un+1=f(un)1.