Continuité d'une fonction : fiche de révision de Terminale
Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une fonction f est continue en a si elle admet une limite en a et que cette limite est égale à f(a).
Elle est continue sur un intervalle I si elle l'est en tout point de I.
Un saut (limites à gauche et à droite différentes de f(a)) est une discontinuité.
Pour une fonction définie par morceaux, on compare limite à gauche, limite à droite et valeur en a.
La continuité sert à passer à la limite (limf(x)=f(limx)) et à utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
L'idée et la définition
Tu connais déjà les limites et les asymptotes. La continuité est la propriété qui dit qu'une fonction « ne saute pas ». En première approche, les variations de l'image f(x) restent petites quand celles de x sont petites. 3
Reconnaître une discontinuité
Une fonction qui présente des sauts est discontinue. Un saut correspond à une limite à droite et une limite à gauche qui n'ont pas toutes deux la même valeur que f(a). 3 Si f n'est pas continue en a, elle y présente une discontinuité. 3
Méthode : fonction définie par morceaux
À quoi sert la continuité
Questions flash
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À gauche, lim2x=2 ; à droite et en 1, on trouve 3. Les deux valeurs diffèrent : il y a un saut. La proposition 1 est fausse car elle conclut « continue » alors que 2=3, et la fonction est bien définie en 1 (réponse 4 fausse).
C'est la définition de la continuité en a par les limites : la limite existe et vaut f(a). L'erreur fréquente est de croire que la limite peut exister sans être égale à f(a), ce qui décrit au contraire une discontinuité.
Il faut les limites à gauche et à droite, toutes deux égales à f(a). Le tracé sans lever le crayon n'est qu'une image intuitive, pas une justification acceptée : certaines fonctions continues ne se tracent même pas ainsi.
La limite à gauche vaut 1, la valeur en 1 vaut k+2. On résout k+2=1, soit k=−1. L'erreur typique est d'oublier la limite à gauche et de ne pas écrire l'égalité k+2=1.
Les questions qu'on se pose
Peut-on justifier la continuité avec un graphique au bac ?
Non, ce n'est pas suffisant. Le graphe sans lever le crayon donne une idée, mais cette approche ne définit pas la continuité. 3 Il faut écrire les limites et les comparer à f(a).
Quelle différence entre avoir une limite en $a$ et être continue en $a$ ?
Être continue en a signifie que la limite existe et qu'elle est égale à f(a). 3 Une fonction peut avoir une limite en a sans être continue en a si f(a) prend une autre valeur ou n'existe pas.
Pourquoi la continuité est-elle utile pour les suites ?
Elle permet de passer à la limite : si (un) converge, l'image de la suite par une fonction continue converge vers l'image de la limite. 1 Pour un+1=f(un), la limite ℓ vérifie alors ℓ=f(ℓ).