Équations et inéquations trigonométriques : cours de Tle
Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation cosx=a ou sinx=a n'a de solution que si −1≤a≤1 ; sinon l'ensemble des solutions est vide.
cosx=cosa équivaut à x=a+2kπ ou x=−a+2kπ ; sinx=sina équivaut à x=a+2kπ ou x=π−a+2kπ (avec k entier).
Pour une équation du second degré en cosx ou sinx, pose X=cosx (ou X=sinx), résous en X, puis reviens à x.
Pour une inéquation, repère les solutions de l'équation associée sur le cercle ou la courbe, puis lis l'arc ou les intervalles qui conviennent.
Termine toujours en gardant seulement les solutions qui appartiennent à l'intervalle demandé.
Introduction : de quoi parle ce chapitre ?
Tu connais déjà les fonctions sinus et cosinus : leurs courbes, leurs variations, leur périodicité. Ce chapitre te donne maintenant un outil pratique : résoudre une équation ou une inéquation dans laquelle l'inconnue x est l'angle, par exemple 2cosx=1 ou sinx>23.
Le programme de Terminale demande de savoir résoudre une équation du type cos(x)=a ainsi qu'une inéquation de la forme cos(x)≤a sur un intervalle donné 1. Les mêmes idées servent pour le sinus. On les retrouve au bac dans l'étude de fonctions, dans les problèmes de signe et dans les exercices de géométrie où un angle est inconnu.
Une équation de la forme g(x)=h(x) se ramène toujours à une équation du type f(x)=0, en posant f=g−h3. Ici, on va plus loin : on exploite la forme particulière des fonctions trigonométriques pour écrire toutes les solutions avec une formule, au lieu de se contenter d'approximations.
Le fil conducteur du chapitre tient en trois idées :
le cercle trigonométrique permet de voir les solutions ;
la périodicité permet de passer d'une solution à toutes les autres ;
la vérification sur l'intervalle demandé permet de ne garder que ce qui est utile.
Valeurs remarquables du cosinus et du sinus · Les valeurs de cos et sin pour les angles usuels du premier quadrant.
Résoudre cos x = a
Résoudre cosx=a, c'est chercher tous les points du cercle dont l'abscisse vaut a. Ce type d'équation figure explicitement au programme de Terminale 1. Il faut d'abord se demander si de tels points existent, puis les repérer.
Démonstration · Pourquoi cette formule ?
La droite verticale d'abscisse cosa coupe le cercle en deux points : le point Ma associé à a et son symétrique par rapport à l'axe des abscisses, associé à −a (cosinus pair). Un point du cercle est associé à tous les réels qui diffèrent d'un multiple de 2π : un tour complet ramène au même point. Les réels dont le cosinus vaut cosa sont donc exactement ceux de la forme a+2kπ ou −a+2kπ.
Résoudre sin x = a
Pour le sinus, on cherche les points du cercle dont l'ordonnée vaut a. La droite horizontale d'ordonnée a coupe le cercle en deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.
Démonstration · Pourquoi π − a ?
On a sin(π−a)=sina. Le point associé à π−a est le symétrique de celui associé à a par rapport à l'axe des ordonnées : il a la même ordonnée. Ce sont les deux seuls points du cercle de cette ordonnée, et on ajoute des tours complets (2kπ) pour obtenir tous les réels associés.
Équations qui se ramènent aux deux types précédents
Les exercices du bac cachent rarement l'équation de base. Voici les transformations les plus utiles.
Choisir les solutions dans un intervalle
Un énoncé précise presque toujours l'intervalle : [0;2π], ]−π;π], [0;π]… Le programme parle d'ailleurs de résolution « sur un intervalle » 1. Les formules donnent des solutions dans R entier ; ton travail est de trier.
IdentifierRepère le type d'équation à résoudre.
RamenerÉcris cos(…) = cos(…) ou sin(…) = sin(…).
FamillesÉcris les deux familles avec 2kπ.
TrierGarde les valeurs de k utiles.
ConclureDonne S, rangé dans l'ordre croissant.
Résoudre une équation trigonométrique · Les étapes à suivre pour tout exercice de ce chapitre.
Résoudre une inéquation trigonométrique
Les inéquations demandées au programme sont de la forme cosx≤a sur un intervalle 1. L'idée est la même qu'en seconde pour le signe d'une fonction : on résout d'abord l'équation associée, ce qui donne les frontières, puis on regarde de quel côté se trouvent les solutions.
Méthode complète et exemple rédigé
Erreurs fréquentes à éviter
Exercices corrigés
Exercice 1 Équation cos x = 1/2 sur un intervalle
★☆☆Environ 8 min
Résous dans [0;4π] l'équation 2cosx−1=0. Combien de solutions trouves-tu ?
Indice 1
Isole cosx, puis cherche un angle connu dont le cosinus vaut 21.
Indice 2
Les deux familles sont 3π+2kπ et −3π+2kπ : cherche les valeurs de k qui conviennent pour [0;4π].
Voir la correction pas à pas
On isole : 2cosx=1, donc cosx=21=cos3π.
Les solutions dans R sont x=3π+2kπ ou x=−3π+2kπ, avec k∈Z.
Première famille : 0≤3π+2kπ≤4π donne −61≤k≤611, donc k=0 ou k=1 : 3π et 37π.
Seconde famille : 0≤−3π+2kπ≤4π donne 61≤k≤613, donc k=1 ou k=2 : 35π et 311π.
On range : S={3π;35π;37π;311π}, soit 4 solutions.
Sur un intervalle de longueur 4π, on retrouve deux fois les deux solutions d'un tour : l'équation a 4 solutions.
Exercice 2 Somme des solutions de sin x = −1/2
★★☆Environ 10 min
On résout 2sinx+1=0 sur ]−π;π]. Détermine les solutions, puis calcule leur somme (valeur décimale à 10−2 près).
Indice 1
Cherche un angle dont le sinus vaut −21 : pense à −6π.
Indice 2
La deuxième famille est π−a+2kπ avec a=−6π.
Voir la correction pas à pas
On isole : sinx=−21=sin(−6π).
Première famille : x=−6π+2kπ. Pour k=0, x=−6π, qui est dans ]−π;π].
Seconde famille : x=π+6π+2kπ=67π+2kπ. Pour k=−1, x=67π−2π=−65π, qui est dans l'intervalle.
Les autres valeurs de k donnent des réels hors de l'intervalle : S={−65π;−6π}.
Somme : −65π−6π=−π≈−3,14.
Les deux solutions sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées sur le cercle, ce qui donne une somme égale à −π ici. Le résultat est environ −3,14.
Exercice 3 Second degré en cos x
★★☆Environ 12 min
Résous dans [0;2π[ l'équation 2cos2x−3cosx+1=0. Donne le nombre de solutions.
Indice 1
Pose X=cosx et résous 2X2−3X+1=0.
Indice 2
Vérifie que chaque valeur de X est dans [−1;1], puis résous les équations cosx=Xi.
Voir la correction pas à pas
Avec X=cosx, on résout 2X2−3X+1=0.
Le discriminant est Δ=(−3)2−4×2×1=1.
Les racines sont X1=43−1=21 et X2=43+1=1, toutes deux dans [−1;1].
cosx=1 donne x=0 sur [0;2π[ ; cosx=21 donne 3π et 35π.
S={0;3π;35π} : l'équation a 3 solutions.
Le changement d'inconnue ramène un problème nouveau à deux équations de base. L'équation a bien 3 solutions, car 2π est exclu de l'intervalle.
Exercice 4 Inéquation cos x ≤ 1/2
★★★Environ 12 min
Résous dans [0;2π] l'inéquation cosx≤21, puis calcule la longueur de l'intervalle solution (valeur décimale à 10−2 près).
Indice 1
Commence par résoudre cosx=21 sur [0;2π].
Indice 2
Place les deux points sur le cercle et repère l'arc situé à gauche de la droite d'abscisse 21.
Voir la correction pas à pas
L'équation associée cosx=21 a pour solutions 3π et 35π sur [0;2π].
Sur le cercle, les points d'abscisse inférieure ou égale à 21 forment l'arc passant par le point d'angle π, où le cosinus vaut −1.
On en déduit S=[3π;35π], bornes incluses car l'inégalité est large.
Test : cos0=1>21, donc 0 n'est pas solution, ce qui est cohérent avec 0<3π.
Longueur : 35π−3π=34π≈4,19.
L'ensemble solution est un seul intervalle de longueur 34π, soit environ 4,19, c'est-à-dire les deux tiers d'un tour complet.
Quiz
7 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.
Comme cos3π=21, la seconde solution est le symétrique par rapport à l'axe des abscisses, soit 2π−3π=35π. La réponse 3π et 32π est tentante, mais cos32π=−21 : elle confond avec le sinus. Les angles 6π et 65π conviennent pour sinx=21.
Le sinus est l'ordonnée d'un point du cercle de rayon 1, donc il reste entre −1 et 1. Une valeur comme 2 est impossible : l'ensemble des solutions est vide. Croire le contraire vient d'une confusion avec une équation du second degré, où les solutions existent selon le discriminant.
Les deux points du cercle d'ordonnée sina sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui donne l'angle π−a. La famille −a+2kπ est celle du cosinus : elle donnerait un sinus opposé. π+a donne aussi l'opposé de sina.
On a cos43π=−22 et, le cosinus étant pair, −43π convient aussi. Les angles ±4π ont un cosinus positif, égal à 22 : ils correspondent à l'équation opposée.
Comme 31 est dans [−1;1], la droite horizontale d'ordonnée 31 coupe le cercle en deux points distincts, qui donnent deux angles dans un tour. Il n'y en a pas une seule : l'angle α et l'angle π−α conviennent tous deux, même si 31 n'est pas une valeur remarquable.
Le cosinus s'annule en 2π et 23π et il est négatif entre ces deux valeurs : c'est l'arc à gauche de l'axe des ordonnées. [0;2π] est la zone où le cosinus est positif. [π;2π] est la zone où le sinus est négatif, pas le cosinus.
On a 2x=3π+2kπ ou 2x=−3π+2kπ, donc x=6π+kπ ou x=−6π+kπ. Dans [0;π], on garde 6π et 65π. Les valeurs 3π et 35π sont les solutions de cosx=21 : elles oublient de diviser par 2, et 35π sort de l'intervalle.
Les questions qu'on se pose
Comment savoir si une équation trigonométrique a des solutions ?
Regarde d'abord la valeur du second membre. Pour cosx=a ou sinx=a, il faut −1≤a≤1, sinon il n'y a aucune solution. Après un changement d'inconnue X=cosx, applique le même test à chaque racine trouvée avant de continuer.
Faut-il toujours passer par le cercle trigonométrique ?
Non, mais c'est le moyen le plus sûr de ne pas oublier une famille de solutions. Les formules suffisent pour les équations. Pour les inéquations, un petit schéma du cercle ou de la courbe évite presque toutes les erreurs de sens.
Quelle différence entre résoudre dans ℝ et dans un intervalle ?
Dans R, on donne les familles de solutions avec k∈Z : il y en a une infinité. Dans un intervalle, on donne une liste finie, obtenue en testant les valeurs de k qui placent la solution dans l'intervalle.
Comment passer de cos x ≤ a à des intervalles sans me tromper ?
Résous d'abord l'équation associée sur l'intervalle demandé pour avoir les frontières. Teste ensuite un point entre deux frontières consécutives : si l'inégalité est vraie en ce point, tout l'intervalle correspondant est solution. Cette vérification vaut mieux que de deviner le sens à partir d'un croquis.
Que faut-il connaître par cœur pour le bac ?
Les valeurs remarquables de cosinus et de sinus en 0, 6π, 4π, 3π, 2π et leurs symétriques, ainsi que les deux familles de solutions pour cosx=cosa et sinx=sina. Le reste (changement d'inconnue, factorisation, lecture du cercle) se reconstruit avec la méthode.