Équations et inéquations trigonométriques : fiche de Tle
Publié le 7 novembre 2026 · Mis à jour le 7 novembre 2026 · Signaler une erreur
L'essentiel
Une équation cos(x) = a ou sin(x) = a n'a de solution que si a est compris entre −1 et 1.
On résout d'abord sur un intervalle de longueur 2π grâce au cercle trigonométrique, puis on ajoute les multiples de 2π si l'on travaille sur ℝ.
Pour une inéquation, on repère sur le cercle l'arc dont les points vérifient la condition, puis on lit les bornes.
Une équation g(x) = h(x) se ramène à f(x) = 0 en posant f = g − h 3.
Vérifie toujours que les solutions trouvées appartiennent à l'intervalle demandé.
Ce qu'il faut savoir résoudre
Le programme de Terminale demande de résoudre des équations du type cos(x)=a et des inéquations de la forme cos(x)⩽a sur un intervalle donné 1. Le même travail se fait avec le sinus. Cette fiche donne la marche à suivre, les valeurs à connaître et les pièges classiques.
Résoudre une équation : la méthode
Résoudre une inéquation
Valeurs à connaître et réflexes
Valeurs usuelles du cosinus et du sinus
Angle
0
π/6
π/4
π/3
π/2
cos
1
√3/2
√2/2
1/2
0
sin
0
1/2
√2/2
√3/2
1
Valeurs usuelles du cosinus et du sinus
Questions flash
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Le cosinus est l'abscisse : les deux points sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, d'angles 3π et 2π−3π=35π. La réponse 3π et 32π confond avec le sinus, où la symétrie se fait par rapport à l'axe des ordonnées ; d'ailleurs cos(32π)=−21.
Le sinus est l'ordonnée : les deux angles sont α=6π et π−α=65π. La réponse avec 611π vient d'une symétrie par rapport à l'axe des abscisses, valable pour le cosinus ; or sin(611π)=−21.
Le cosinus est une abscisse sur le cercle de rayon 1, donc il reste entre −1 et 1. Aucun réel ne donne 2. Croire qu'il suffit de chercher plus loin sur le cercle est faux : les valeurs se répètent à chaque tour sans dépasser 1.
Les points d'abscisse négative ou nulle forment la moitié gauche du cercle, entre 2π et 23π. La deuxième réponse décrit au contraire les angles où le cosinus est positif ou nul.
Comme 0,3 est strictement compris entre −1 et 1, la droite horizontale d'ordonnée 0,3 coupe le cercle en deux points. Pour a=1 ou a=−1, il n'y aurait qu'une solution ; pour a=0, les bornes 0 et 2π comptent toutes les deux, ce qui en donne trois.
Les questions qu'on se pose
Pourquoi y a-t-il en général deux solutions sur un tour de cercle ?
Parce qu'une droite verticale (pour le cosinus) ou horizontale (pour le sinus) coupe le cercle en deux points quand −1<a<1. Pour a=1 ou a=−1, elle ne touche le cercle qu'en un point, d'où une seule solution.
Faut-il toujours écrire « + 2kπ » ?
Seulement si on résout sur R. Si l'énoncé impose un intervalle, comme [0;2π] ou ]−π;π], on donne uniquement les solutions qui y appartiennent, sans k.
Comment éviter les erreurs sur les inéquations ?
Résous d'abord l'équation, dessine le cercle avec les deux points, puis teste un angle situé entre les bornes. Ce test indique quel arc est le bon et évite d'inverser les bornes.