Équations et inéquations trigonométriques : exercices de Terminale

Valeur de référence : d'après le tableau, $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$, donc $\frac{\pi}{3}$ est une solution.

Symétrie : le point d'angle $-\frac{\pi}{3}$ a la même abscisse. Cet angle n'est pas dans $[0\,;\,2\pi]$ ; on lui ajoute $2\pi$ et on obtient $2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

Filtrage : $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$ sont bien dans $[0\,;\,2\pi]$. Aucun autre angle du cercle n'a cette abscisse.

Somme : $\frac{\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi \approx 6{,}283$ rad.

Angle de référence : $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, donc on travaille avec $\frac{\pi}{4}$ comme angle de comparaison.

Position : l'ordonnée est négative, les deux points sont donc dans la moitié inférieure du cercle, à la même hauteur $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Premier point : on tourne de $\frac{\pi}{4}$ au-delà de $\pi$, ce qui donne $\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$.

Second point : on revient de $\frac{\pi}{4}$ avant $2\pi$, ce qui donne $2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.

Somme : $\frac{5\pi}{4} + \frac{7\pi}{4} = \frac{12\pi}{4} = 3\pi \approx 9{,}425$ rad.

Isolement : $2\cos(x) = \sqrt{3}$, donc $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Valeur de référence : d'après le tableau, $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, donc $\frac{\pi}{6}$ est solution.

Symétrie : $-\frac{\pi}{6}$ a le même cosinus que $\frac{\pi}{6}$.

Filtrage : $\frac{\pi}{6}$ et $-\frac{\pi}{6}$ appartiennent à $]-\pi\,;\,\pi]$ ; ce sont les seules solutions de l'intervalle.

La plus grande est $\frac{\pi}{6} \approx 0{,}524$ rad.

Bornes : l'équation $\cos(x) = \frac{1}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$ dans $[0\,;\,2\pi]$.

Lecture du cercle : on trace la droite verticale d'abscisse $\frac{1}{2}$. Elle coupe le cercle aux points d'angles $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{5\pi}{3}$.

Choix de l'arc : l'abscisse est inférieure ou égale à $\frac{1}{2}$ pour les points à gauche de cette droite, c'est-à-dire l'arc qui passe par le point d'angle $\pi$ (abscisse $-1$).

Cet arc va de $\frac{\pi}{3}$ à $\frac{5\pi}{3}$ dans le sens direct. Les bornes sont incluses puisque l'inégalité est large.

Longueur : $\frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} \approx 4{,}189$ rad.

Isolement : $2\sin(x) \geqslant 1$, donc $\sin(x) \geqslant \frac{1}{2}$.

Bornes : $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ ; le second point de même ordonnée est d'angle $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Lecture du cercle : les points d'ordonnée supérieure ou égale à $\frac{1}{2}$ forment l'arc situé au-dessus de la droite horizontale, qui passe par le point d'angle $\frac{\pi}{2}$.

Filtrage : sur $]-\pi\,;\,0]$, le sinus est négatif ou nul, donc aucune solution n'y figure. Les angles de l'arc, $\frac{\pi}{6}$ à $\frac{5\pi}{6}$, sont tous dans l'intervalle.

Longueur : $\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}094$ rad.

Changement d'inconnue : avec $X = \cos(x)$, l'équation s'écrit $2X^2 - X - 1 = 0$.

Discriminant : $\Delta = (-1)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 1 + 8 = 9$, donc $\sqrt{\Delta} = 3$.

Racines : $X_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$ et $X_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$. Les deux valeurs sont comprises entre $-1$ et $1$, elles sont donc acceptables.

Cas $\cos(x) = 1$ : dans $[0\,;\,2\pi]$, le point d'abscisse 1 est atteint pour $x = 0$ et pour $x = 2\pi$ (même point, deux angles de l'intervalle).

Cas $\cos(x) = -\frac{1}{2}$ : l'angle de référence est $\frac{\pi}{3}$ ; les points d'abscisse $-\frac{1}{2}$ ont pour angles $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ et $\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

Somme : $0 + \frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} + 2\pi = 4\pi \approx 12{,}566$ rad.

Changement d'inconnue : $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ équivaut à $\cos(u) = \frac{1}{2}$ avec $u = 2x$.

Solutions en $u$ sur ℝ : $u = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $u = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, avec $k$ entier relatif.

Retour à $x$ : on divise par 2, ce qui donne $x = \frac{\pi}{6} + k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$.

Filtrage de la première famille : $k = 0$ donne $\frac{\pi}{6}$ ; $k = 1$ donne $\frac{7\pi}{6}$ ; $k = 2$ donne $\frac{13\pi}{6} > 2\pi$, à rejeter ; $k = -1$ donne un angle négatif, à rejeter.

Filtrage de la seconde famille : $k = 0$ donne $-\frac{\pi}{6} < 0$, à rejeter ; $k = 1$ donne $\frac{5\pi}{6}$ ; $k = 2$ donne $\frac{11\pi}{6}$ ; $k = 3$ donne $\frac{17\pi}{6} > 2\pi$, à rejeter.

Somme : $\frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} + \frac{7\pi}{6} + \frac{11\pi}{6} = \frac{24\pi}{6} = 4\pi \approx 12{,}566$ rad.

Réécriture : l'équation devient $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$.

Premier cas, angles égaux à $2k\pi$ près : $\frac{\pi}{2} - x = x + 2k\pi$, soit $2x = \frac{\pi}{2} - 2k\pi$, donc $x = \frac{\pi}{4} - k\pi$.

Second cas, angles opposés à $2k\pi$ près : $\frac{\pi}{2} - x = -x + 2k\pi$, soit $\frac{\pi}{2} = 2k\pi$, donc $k = \frac{1}{4}$. Ce n'est pas un entier : ce cas n'a aucune solution.

Filtrage du premier cas : $k = 0$ donne $\frac{\pi}{4}$ ; $k = -1$ donne $\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ ; $k = 1$ donne un angle négatif, $k = -2$ donne $\frac{9\pi}{4} > 2\pi$ : ces deux-là sont à rejeter.

Contrôle : $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, et $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Somme : $\frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}712$ rad.