Étude des fonctions sinus et cosinus : cours de Terminale

Tu connais déjà le cosinus et le sinus d'un nombre réel, vus sur le cercle trigonométrique en classe de Première. Cette année, on les regarde autrement : ce ne sont plus seulement des valeurs que l'on lit sur un cercle, mais des fonctions que l'on étudie comme n'importe quelle autre, avec leur ensemble de définition, leurs symétries, leurs dérivées et leurs variations.

Ce cours suit l'ordre d'une étude de fonction classique : on rappelle les bases, on repère la parité et la périodicité pour réduire le domaine d'étude, on dérive, on dresse les tableaux de variations, puis on trace les courbes. À la fin, tu sauras aussi dériver des fonctions où apparaît un sinus ou un cosinus, ce qui tombe régulièrement au Bac.

Pourquoi ces fonctions méritent-elles un chapitre entier ? Parce qu'elles sont périodiques : leurs représentations graphiques ont la forme caractéristique d'ondes, ce qui permet de modéliser des phénomènes oscillatoires comme le bruit ou les ondes de la lumière.² On retrouve ces fonctions en physique, en électricité, en acoustique. Les maths de ce chapitre sont donc l'outil de base de nombreux autres domaines.

Cette relation traduit le fait que le point $M$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon 1, dont l'équation est $X^2+Y^2=1$.³ Il suffit de remplacer $X$ par $\cos x$ et $Y$ par $\sin x$. Elle impose aussi un encadrement : comme $\cos^2 x\le 1$ et $\sin^2 x\le 1$, on a toujours

$-1\le \cos x\le 1\quad\text{et}\quad -1\le \sin x\le 1.$

L'idée est simple : ajouter $2\pi$ à $x$, c'est faire un tour complet sur le cercle trigonométrique. On revient exactement au même point $M$, donc à la même abscisse et à la même ordonnée. Les angles plus grands que $2\pi$ ou négatifs s'obtiennent en effectuant des rotations autour du cercle.²

Sur le cercle trigonométrique, les points associés à $x$ et à $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : ils ont la même abscisse et des ordonnées opposées. D'où $\cos(-x)=\cos x$ et $\sin(-x)=-\sin x$.

Comme les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$, il suffit de les étudier sur un intervalle de longueur $2\pi$, par exemple $[-\pi\,;\pi]$.¹ La parité permet d'aller plus loin : on étudie sur $[0\,;\pi]$, puis on complète par symétrie sur $[-\pi\,;0]$, puis par translations de $2\pi$ sur tout $\mathbb{R}$.

Cas du sinus. Sur $[0\,;\pi]$, la dérivée est $\cos x$. Or $\cos x\ge 0$ sur $\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ et $\cos x\le 0$ sur $\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ (lecture de l'abscisse sur le cercle). Donc le sinus croît de $\sin 0=0$ à $\sin\dfrac\pi2=1$, puis décroît jusqu'à $\sin\pi=0$.

Cas du cosinus. Sur $[0\,;\pi]$, la dérivée est $-\sin x$. Or $\sin x\ge 0$ sur $[0\,;\pi]$ (ordonnée positive dans le demi-cercle supérieur). Donc la dérivée est négative et le cosinus décroît de $\cos 0=1$ à $\cos\pi=-1$.

Les courbes des fonctions sinus et cosinus sont appelées sinusoïdes.² On les construit en traçant d'abord la partie correspondant à $[0\,;\pi]$, en la complétant par symétrie sur $[-\pi\,;0]$, puis en la recopiant par translations de vecteurs $2k\pi\,\vec\imath$.

Le rôle du sinus et du cosinus dépasse largement la géométrie du triangle. Comme ces fonctions se répètent à l'identique et que leurs courbes ondulent en sinusoïdes, elles décrivent bien tout ce qui oscille régulièrement, par exemple un son ou une onde lumineuse.² Sous certaines conditions, un signal quelconque peut aussi se reconstruire en additionnant des sinus et des cosinus de fréquences variées : c'est le principe des séries de Fourier, que tu rencontreras dans les études supérieures.²