Exercices sur les fonctions sinus et cosinus : Terminale spé

On cherche un multiple de $2\pi$ proche de $\dfrac{17\pi}{3}$. Comme $2\pi=\dfrac{6\pi}{3}$, trois tours valent $6\pi=\dfrac{18\pi}{3}$.

On écrit $\dfrac{17\pi}{3}=6\pi-\dfrac{\pi}{3}$, soit $\dfrac{17\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{3}+6\pi$, donc $-\dfrac{\pi}{3}$ plus trois fois $2\pi$.

Le cosinus est périodique de période $2\pi$ ¹ : $\cos\left(\dfrac{17\pi}{3}\right)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$.

Le cosinus est pair ¹ : $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac12$.

Pour tout réel $x$, $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ ¹.

On remplace : $\sin^2 x=1-\left(\dfrac45\right)^2=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}$.

Deux nombres ont pour carré $\dfrac{9}{25}$ : $\dfrac35$ et $-\dfrac35$.

Sur $[0\,;\pi]$, le sinus est positif ou nul : on retient $\sin x=\dfrac35$.

Le domaine $\mathbb{R}$ est symétrique par rapport à $0$ : on peut tester la parité.

Pour $f$ : $f(-x)=(-x)\sin(-x)=(-x)(-\sin x)=x\sin x=f(x)$, car le sinus est impair ¹. La fonction $f$ est paire.

Pour $g$ : $g(-x)=(-x)\cos(-x)=-x\cos x=-g(x)$, car le cosinus est pair ¹. La fonction $g$ est impaire.

Pour $h$ : $h(-x)=\sin(-x)\cos(-x)=-\sin x\cos x=-h(x)$. La fonction $h$ est impaire.

Pour $k$ : $k(-x)=-\sin x+\cos x$. Ce n'est pas $k(x)$, et ce n'est pas $-k(x)=-\sin x-\cos x$ non plus.

Pour l'affirmer, on donne un exemple : $k(0)=1$ et $k(-\tfrac{\pi}{2})=-1$ ; la valeur en $0$ n'est pas nulle (donc $k$ n'est pas impaire), et $k\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1\neq k\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1$ (donc $k$ n'est pas paire).

Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ ¹, donc $f$ l'est aussi.

On utilise $\sin'(x)=\cos x$ et $\cos'(x)=-\sin x$ : $f'(x)=2\cos x-(-\sin x)=2\cos x+\sin x$.

On calcule en $\dfrac{\pi}{2}$ avec $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ : $f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\times0+1=1$.

Dérivation : $f'(x)=\cos x-\sin x$ (sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ ¹).

Les intervalles à tester sont $\left[0\,;\tfrac{\pi}{4}\right[$, $\left]\tfrac{\pi}{4}\,;\tfrac{5\pi}{4}\right[$ et $\left]\tfrac{5\pi}{4}\,;2\pi\right]$.

Test en $0$ : $f'(0)=1-0=1>0$. Test en $\pi$ : $f'(\pi)=-1-0=-1<0$. Test en $\tfrac{3\pi}{2}$ : $f'\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0-(-1)=1>0$.

Donc $f$ est croissante sur $\left[0\,;\tfrac{\pi}{4}\right]$, décroissante sur $\left[\tfrac{\pi}{4}\,;\tfrac{5\pi}{4}\right]$, puis croissante sur $\left[\tfrac{5\pi}{4}\,;2\pi\right]$.

Valeurs : $f(0)=0+1=1$, $f\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2$, $f\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\sqrt2$ et $f(2\pi)=1$.

On compare : $\sqrt2\approx1{,}414$ est supérieur à $1$, donc le maximum est atteint en $\dfrac{\pi}{4}$.

Le cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ ¹ et $\cos'(x)=-\sin x$, donc le coefficient directeur de $T$ est $\cos'\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\tfrac{\pi}{6}=-\tfrac12$.

On écrit : $y=\cos\tfrac{\pi}{6}+\left(-\tfrac12\right)\left(x-\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12\left(x-\tfrac{\pi}{6}\right)$.

On développe : $y=-\tfrac12x+\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{2}$.

Pour $x=0$ : $y=\tfrac{\pi}{12}+\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}2618+0{,}8660=1{,}1278$.

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ ¹ et $f'(x)=1-\cos x$.

Pour tout réel $x$, $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ ¹, donc $\cos^2 x\leqslant1$, c'est-à-dire $-1\leqslant\cos x\leqslant1$.

On en tire $1-\cos x\geqslant0$, donc $f'(x)\geqslant0$ sur $[0\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est donc croissante sur $[0\,;+\infty[$. Comme $f(0)=0-\sin0=0$, on a $f(x)\geqslant f(0)=0$ pour tout $x\geqslant0$.

Cela s'écrit $x-\sin x\geqslant0$, soit $\sin x\leqslant x$.

Le cosinus est périodique de période $2\pi$ ¹, donc $T(t+2\pi)=15+8\cos(t+2\pi)=15+8\cos t=T(t)$ : la fonction $T$ est périodique de période $2\pi$.

$T$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ ¹ et $T'(t)=-8\sin t$.

Sur $[0\,;\pi]$, $\sin t\geqslant0$ donc $T'(t)\leqslant0$ : $T$ décroît. Sur $[\pi\,;2\pi]$, $\sin t\leqslant0$ donc $T'(t)\geqslant0$ : $T$ croît.

Valeurs : $T(0)=15+8=23$, $T(\pi)=15-8=7$, $T(2\pi)=23$.

La température maximale est donc $23\ °C$, atteinte en $t=0$ et $t=2\pi$ sur cet intervalle ; la minimale est $7\ °C$, atteinte en $t=\pi$.