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Mathématiques (spécialité) · TerminaleBac

Produit scalaire dans l'espace : cours de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

  • Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v).
  • Il est symétrique et bilinéaire : on le développe comme un produit de deux sommes.
  • Dans une base orthonormée : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz' et ∥u⃗∥2=u⃗⋅u⃗=x2+y2+z2\|\vec u\|^2=\vec u\cdot\vec u=x^2+y^2+z^2.
  • Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
  • Pour un angle : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\,\|\vec v\|} (vecteurs non nuls).

Pourquoi étendre le produit scalaire à l'espace

Tu connais déjà le produit scalaire dans le plan. Dans ce cours, on l'utilise pour des vecteurs de l'espace, c'est-à-dire avec trois coordonnées. Le programme de Terminale prévoit cette extension du produit scalaire de deux vecteurs à l'espace : elle fournit un outil efficace pour relier le calcul avec des vecteurs et la vision géométrique de l'espace, surtout autour de l'orthogonalité.3

Le produit scalaire sert à trois choses que tu rencontreras au bac : démontrer qu'une orthogonalité est vraie, calculer un angle, et plus tard obtenir l'équation d'un plan.3

Le point de départ est simple. À deux vecteurs, le produit scalaire associe un scalaire, c'est-à-dire un simple nombre réel, et non un nouveau vecteur.4 C'est la première idée à garder en tête : quand tu calcules u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v, tu obtiens un nombre, qui peut être positif, négatif ou nul.

Avant de commencer, vérifie que tu maîtrises les vecteurs de l'espace, les bases et repères, et les représentations paramétriques de droites. Ce cours prépare ensuite l'équation cartésienne d'un plan, puis le projeté orthogonal.

Le fil conducteur du chapitre tient en une phrase : un seul objet, trois façons de le calculer. Tu peux passer par les normes et l'angle, par les coordonnées, ou par des longueurs seulement. Savoir choisir la bonne écriture selon les données de l'énoncé est la compétence qui fait la différence à l'examen.

Définition du produit scalaire

Deux vecteurs non colinéaires dirigent deux demi-droites de même origine, qui sont toujours contenues dans un plan. L'angle (u⃗,v⃗)(\vec u,\vec v) se mesure donc dans ce plan, exactement comme dans la géométrie plane que tu connais. C'est ce qui rend l'extension à l'espace naturelle : on garde la même formule.

Le produit scalaire permet ainsi d'exploiter les notions de la géométrie euclidienne : longueurs, angles et orthogonalité, en dimension deux comme en dimension trois.4

Interprétation géométrique : la projection orthogonale

Les ressources officielles présentent le produit scalaire de l'espace à partir d'une projection orthogonale.3 Cette idée donne une image très utile pour comprendre ce que mesure le nombre u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Place u⃗=OA→\vec u=\overrightarrow{OA} et v⃗=OB→\vec v=\overrightarrow{OB} avec la même origine OO. Projette orthogonalement le point BB sur la droite (OA)(OA) : tu obtiens un point HH. Dans le triangle OHBOHB rectangle en HH, la longueur OHOH vaut OBcos⁡θOB\cos\theta quand l'angle θ\theta est aigu.

Propriétés : symétrie et bilinéarité

Démonstration · Pourquoi le carré scalaire se développe comme $(a+b)^2$

On part de (u⃗+v⃗)⋅(u⃗+v⃗)(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v). Par bilinéarité, on développe le premier facteur : u⃗⋅(u⃗+v⃗)+v⃗⋅(u⃗+v⃗)\vec u\cdot(\vec u+\vec v)+\vec v\cdot(\vec u+\vec v). On développe ensuite le second : u⃗⋅u⃗+u⃗⋅v⃗+v⃗⋅u⃗+v⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec u+\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u+\vec v\cdot\vec v. Par symétrie, v⃗⋅u⃗=u⃗⋅v⃗\vec v\cdot\vec u=\vec u\cdot\vec v, d'où ∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2.

Orthogonalité de deux vecteurs

Démonstration · Pourquoi ce théorème est vrai

Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles. Le produit ∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v) est donc nul exactement quand cos⁡(u⃗,v⃗)=0\cos(\vec u,\vec v)=0, c'est-à-dire quand l'angle est droit. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 00 et le vecteur nul est orthogonal à tout : l'équivalence reste vraie.

Cette équivalence est l'outil principal pour démontrer une orthogonalité entre deux droites : on choisit un vecteur directeur de chacune et on calcule le produit scalaire.3 Elle s'applique aussi à la perpendicularité d'une droite et d'un plan, que tu étudieras avec l'équation cartésienne d'un plan.

Expression dans une base orthonormée

Démonstration · Démonstration de l'expression analytique

On écrit u⃗=xı⃗+yȷ⃗+zk⃗\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath+z\vec k et v⃗=x′ı⃗+y′ȷ⃗+z′k⃗\vec v=x'\vec\imath+y'\vec\jmath+z'\vec k. Par bilinéarité, u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v se développe en une somme de neuf termes de la forme (coordonnée)(coordonnée) × \,\times\,(produit scalaire de deux vecteurs de la base). Les produits de deux vecteurs différents de la base sont nuls. Il reste xx′ ı⃗⋅ı⃗+yy′ ȷ⃗⋅ȷ⃗+zz′ k⃗⋅k⃗=xx′+yy′+zz′xx'\,\vec\imath\cdot\vec\imath+yy'\,\vec\jmath\cdot\vec\jmath+zz'\,\vec k\cdot\vec k=xx'+yy'+zz'.

Calculer un angle et démontrer une orthogonalité

Au programme, on utilise le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité et pour calculer un angle.3 La définition fournit directement la formule de l'angle : le cosinus de l'angle entre deux vecteurs non nuls s'obtient à partir du produit scalaire et des normes.4

Un exemple de référence : le cube

Le cube est le terrain d'entraînement favori des sujets de géométrie dans l'espace. Son repère naturel est orthonormé, ce qui autorise tous les calculs en coordonnées. Prenons un cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 11, avec le repère (A;AB→,AD→,AE→)(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). Les sommets ont pour coordonnées : A(0 ;0 ;0)A(0\,;0\,;0), B(1 ;0 ;0)B(1\,;0\,;0), D(0 ;1 ;0)D(0\,;1\,;0), E(0 ;0 ;1)E(0\,;0\,;1), C(1 ;1 ;0)C(1\,;1\,;0), F(1 ;0 ;1)F(1\,;0\,;1) et G(1 ;1 ;1)G(1\,;1\,;1).

Méthodes types et erreurs à éviter

Exercices corrigés

Exercice 1 Produit scalaire en coordonnées

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne u⃗ (1 ;2 ;−1)\vec u\,(1\,;2\,;-1) et v⃗ (3 ;0 ;2)\vec v\,(3\,;0\,;2). Calculer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Indice 1

Multiplie les coordonnées de même rang, puis additionne.

Voir la correction pas à pas

  1. Le repère est orthonormé : on peut utiliser xx′+yy′+zz′xx'+yy'+zz'.

  2. On calcule 1×3+2×0+(−1)×21\times3+2\times0+(-1)\times2.

  3. On obtient 3+0−2=13+0-2=1.

Donc u⃗⋅v⃗=1\vec u\cdot\vec v=1. Le résultat est positif : l'angle entre les deux vecteurs est aigu.

Exercice 2 Distance entre deux points

★☆☆Environ 5 min

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ;2 ;3)A(1\,;2\,;3) et B(4 ;6 ;3)B(4\,;6\,;3). Calculer la distance ABAB.

Indice 1

Commence par les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB}.

Voir la correction pas à pas

  1. AB→(4−1 ;6−2 ;3−3)=(3 ;4 ;0)\overrightarrow{AB}(4-1\,;6-2\,;3-3)=(3\,;4\,;0).

  2. Le repère est orthonormé : AB=32+42+02AB=\sqrt{3^2+4^2+0^2}.

  3. AB=25=5AB=\sqrt{25}=5.

La distance ABAB vaut 55 unités de longueur.

Exercice 3 Un angle entre deux vecteurs

★★☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, soit u⃗ (1 ;1 ;0)\vec u\,(1\,;1\,;0) et v⃗ (0 ;1 ;1)\vec v\,(0\,;1\,;1). Déterminer, en degrés, l'angle θ\theta entre u⃗\vec u et v⃗\vec v.

Indice 1

Calcule d'abord u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v puis les deux normes.

Indice 2

Utilise cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.

Voir la correction pas à pas

  1. Produit scalaire : u⃗⋅v⃗=0+1+0=1\vec u\cdot\vec v=0+1+0=1.

  2. Normes : ∥u⃗∥=1+1+0=2\|\vec u\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2 et ∥v⃗∥=2\|\vec v\|=\sqrt2.

  3. Cosinus : cos⁡θ=12×2=12\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt2\times\sqrt2}=\dfrac12.

  4. On en déduit θ=60∘\theta=60^\circ.

L'angle entre les deux vecteurs est de 6060 degrés.

Exercice 4 Trouver le paramètre pour l'orthogonalité

★★☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, soit u⃗ (m ;2 ;1)\vec u\,(m\,;2\,;1) et v⃗ (3 ;−1 ;4)\vec v\,(3\,;-1\,;4). Déterminer la valeur de mm pour laquelle u⃗\vec u et v⃗\vec v sont orthogonaux.

Indice 1

Traduis l'orthogonalité par un produit scalaire nul.

Voir la correction pas à pas

  1. Les vecteurs sont orthogonaux si et seulement si u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0.

  2. On calcule u⃗⋅v⃗=3m−2+4=3m+2\vec u\cdot\vec v=3m-2+4=3m+2.

  3. On résout 3m+2=03m+2=0, d'où m=−23m=-\dfrac23.

Les deux vecteurs sont orthogonaux pour m=−23m=-\dfrac23 uniquement.

Exercice 5 Produit scalaire à partir de longueurs

★★☆Environ 8 min

Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v de l'espace vérifient ∥u⃗∥=3\|\vec u\|=3, ∥v⃗∥=4\|\vec v\|=4 et ∥u⃗+v⃗∥=6\|\vec u+\vec v\|=6. Calculer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

Indice 1

Développe ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2 avec la bilinéarité.

Voir la correction pas à pas

  1. On développe : ∥u⃗+v⃗∥2=∥u⃗∥2+2 u⃗⋅v⃗+∥v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2.

  2. On remplace : 36=9+2 u⃗⋅v⃗+1636=9+2\,\vec u\cdot\vec v+16.

  3. On isole : 2 u⃗⋅v⃗=112\,\vec u\cdot\vec v=11, donc u⃗⋅v⃗=112\vec u\cdot\vec v=\dfrac{11}{2}.

Le produit scalaire vaut 5,55{,}5. Il est positif : l'angle entre les deux vecteurs est aigu.

Exercice 6 Angle dans un cube

★★★Environ 10 min

Un cube ABCDEFGHABCDEFGH a pour arête 11. Dans le repère orthonormé (A;AB→,AD→,AE→)(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}), on a G(1 ;1 ;1)G(1\,;1\,;1) et B(1 ;0 ;0)B(1\,;0\,;0). Déterminer, en degrés et arrondi au dixième, l'angle GAB^\widehat{GAB}.

Indice 1

Écris les coordonnées de AG→\overrightarrow{AG} et de AB→\overrightarrow{AB}.

Indice 2

Le résultat n'est pas un angle remarquable : utilise la calculatrice.

Voir la correction pas à pas

  1. AG→(1 ;1 ;1)\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1) et AB→(1 ;0 ;0)\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;0).

  2. AG→⋅AB→=1\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AB}=1, ∥AG→∥=3\|\overrightarrow{AG}\|=\sqrt3 et ∥AB→∥=1\|\overrightarrow{AB}\|=1.

  3. cos⁡GAB^=13\cos\widehat{GAB}=\dfrac{1}{\sqrt3}.

  4. À la calculatrice, GAB^=cos⁡−1 ⁣(13)≈54,7∘\widehat{GAB}=\cos^{-1}\!\left(\dfrac1{\sqrt3}\right)\approx54{,}7^\circ.

L'angle GAB^\widehat{GAB} mesure environ 54,754{,}7 degrés.

Exercice 7 Triangle rectangle dans l'espace

★★★Environ 10 min

Dans un repère orthonormé, on donne A(1 ;2 ;0)A(1\,;2\,;0), B(3 ;3 ;2)B(3\,;3\,;2) et C(−1 ;4 ;1)C(-1\,;4\,;1). Calculer AB→⋅AC→\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} et conclure sur la nature du triangle ABCABC.

Indice 1

Calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et de AC→\overrightarrow{AC}.

Indice 2

Un produit scalaire nul donne un angle droit au sommet commun.

Voir la correction pas à pas

  1. AB→(3−1 ;3−2 ;2−0)=(2 ;1 ;2)\overrightarrow{AB}(3-1\,;3-2\,;2-0)=(2\,;1\,;2).

  2. AC→(−1−1 ;4−2 ;1−0)=(−2 ;2 ;1)\overrightarrow{AC}(-1-1\,;4-2\,;1-0)=(-2\,;2\,;1).

  3. AB→⋅AC→=2×(−2)+1×2+2×1=−4+2+2=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-2)+1\times2+2\times1=-4+2+2=0.

  4. Les vecteurs sont non nuls et orthogonaux.

Le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Quiz

10 questions · correction immédiate · ton score reste sur ton appareil.

  1. Deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v ont pour normes 22 et 33 et forment un angle de 60∘60^\circ. Que vaut u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v ?

  2. Le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace est un vecteur.

  3. Dans un repère orthonormé, u⃗ (2 ;−1 ;3)\vec u\,(2\,;-1\,;3) et v⃗ (1 ;4 ;0)\vec v\,(1\,;4\,;0). Calculer u⃗⋅v⃗\vec u\cdot\vec v.

  4. Si u⃗⋅v⃗=0\vec u\cdot\vec v=0, alors u⃗=0⃗\vec u=\vec 0 ou v⃗=0⃗\vec v=\vec 0.

  5. Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de u⃗ (2 ;3 ;6)\vec u\,(2\,;3\,;6) ?

  6. Quelles égalités sont vraies pour tous vecteurs u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w de l'espace ?

    Plusieurs réponses possibles.

  7. Pour deux vecteurs non nuls, le produit scalaire est strictement négatif. Que peut-on en déduire ?

  8. Deux droites ont pour vecteurs directeurs a⃗ (2 ;−1 ;1)\vec a\,(2\,;-1\,;1) et b⃗ (1 ;1 ;−1)\vec b\,(1\,;1\,;-1) dans un repère orthonormé. Que peut-on affirmer ?

  9. Dans un repère orthonormé, A(1 ;0 ;2)A(1\,;0\,;2) et B(1 ;3 ;6)B(1\,;3\,;6). Que vaut la distance ABAB ?

  10. Soit u⃗\vec u et v⃗\vec v deux vecteurs. Quelle expression est égale à ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2 ?

Les questions qu'on se pose

À quoi sert le produit scalaire dans l'espace ?

Il sert à démontrer une orthogonalité, à calculer un angle et à étudier la géométrie de l'espace avec des outils algébriques.3 Plus tard, il permet d'obtenir l'équation cartésienne d'un plan.

Comment savoir quelle formule utiliser ?

Regarde les données. Avec des normes et un angle, utilise la définition avec le cosinus.4 Avec des coordonnées dans un repère orthonormé, utilise xx′+yy′+zz′xx'+yy'+zz'. Avec seulement des longueurs, utilise l'expression avec ∥u⃗+v⃗∥2\|\vec u+\vec v\|^2.

Pourquoi le repère doit-il être orthonormé ?

La formule en coordonnées repose sur ı⃗⋅ȷ⃗=0\vec\imath\cdot\vec\jmath=0 et sur des vecteurs de base de norme 11. Sans cela, les termes croisés ne disparaissent pas et la formule donne un résultat faux.

Un produit scalaire nul prouve-t-il que deux droites sont perpendiculaires ?

Il prouve qu'elles sont orthogonales. Dans l'espace, elles sont perpendiculaires seulement si elles sont aussi sécantes, ce qu'il faut vérifier séparément avec un point commun.

Que faire si je trouve un cosinus supérieur à 1 ?

Il y a une erreur de calcul, car un cosinus est toujours compris entre −1-1 et 11. Vérifie que tu as bien divisé par le produit des normes et que tu as pris la racine carrée pour chaque norme.

Sources

  1. Programmes et ressources en mathématiques - voie GT, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  2. Édubase - Modéliser et produit scalaire, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  3. Ressource pédagogique produit scalaire espace, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
  4. Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
  5. Produit scalaire canonique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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