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Produit scalaire dans l'espace : exercices corrigés de Terminale

Publié le 6 novembre 2026 · Mis à jour le 6 novembre 2026 · Signaler une erreur

L'essentiel

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$ ⁴.
Dans une base orthonormée, il se calcule avec les coordonnées : $xx'+yy'+zz'$ ³.
Deux vecteurs sont orthogonaux quand leur produit scalaire est nul ³.
Il sert à démontrer une orthogonalité et à calculer un angle ³ : on isole le cosinus, puis on utilise la touche $\cos^{-1}$ .
Le produit scalaire est bilinéaire et symétrique ³ : on développe comme un produit de nombres.

Comment utiliser ces exercices

Ces exercices vont du plus simple au plus délicat. Cherche d'abord seul, sans regarder la correction, avec une feuille de brouillon. Si tu bloques, ouvre un indice, puis réessaie avant de lire les étapes. Une correction ne sert que si tu as essayé : lire sans chercher donne l'impression d'avoir compris, mais l'impression disparaît le jour du contrôle.

Tous les calculs se font dans un repère orthonormé de l'espace, c'est-à-dire un repère dont les axes sont perpendiculaires deux à deux et gradués avec la même unité. Sans cette condition, les formules avec les coordonnées ne sont plus valables ³.

À retenirLes outils à avoir en tête

Définition géométrique : le produit scalaire de $\vec u$ par $\vec v$ est le produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de l'angle qu'ils forment ⁴. C'est un nombre, pas un vecteur : le mot « scalaire » désigne un nombre ⁴.
Avec les coordonnées, dans une base orthonormée : si $\vec u(x\,;y\,;z)$ et $\vec v(x'\,;y'\,;z')$ , alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$ ³.
Norme : $\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .
Orthogonalité : $\vec u\perp\vec v$ équivaut à $\vec u\cdot\vec v=0$ ³.
Calcul d'angle : on égale les deux expressions du produit scalaire et on isole $\cos$ ³.
Règles de calcul : le produit scalaire est bilinéaire et symétrique ³. On peut donc développer $\vec u\cdot(a\vec v+b\vec w)=a\,\vec u\cdot\vec v+b\,\vec u\cdot\vec w$ et échanger $\vec u\cdot\vec v$ en $\vec v\cdot\vec u$ .

Les exercices

Exercice 1 Produit scalaire avec les normes et l'angle

★☆☆Environ 4 min

Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de l'espace ont pour normes $\|\vec u\|=3$ et $\|\vec v\|=4$ . L'angle qu'ils forment mesure $60^\circ$ .

Calcule $\vec u\cdot\vec v$ .

Indice 1

Utilise la définition avec le cosinus de l'angle.

Indice 2

$\cos 60^\circ=\dfrac12$ .

Voir la correction pas à pas

On écrit la définition : $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos(\vec u,\vec v)$ ⁴.
On remplace par les données : $\vec u\cdot\vec v=3\times4\times\cos 60^\circ$ .
Comme $\cos 60^\circ=\dfrac12$ , on obtient $\vec u\cdot\vec v=12\times\dfrac12=6$ .

Le produit scalaire vaut $6$ . Il est positif parce que l'angle est aigu : le cosinus est alors positif.

Exercice 2 Produit scalaire avec les coordonnées

★☆☆Environ 4 min

Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $\vec u(2\,;-1\,;3)$ et $\vec v(1\,;4\,;2)$ .

Calcule $\vec u\cdot\vec v$ .

Indice 1

Multiplie les abscisses entre elles, les ordonnées entre elles, les cotes entre elles, puis additionne.

Indice 2

Attention au signe de l'ordonnée de $\vec u$ .

Voir la correction pas à pas

Le repère est orthonormé, on peut donc utiliser l'expression du produit scalaire avec les coordonnées ³.
On calcule : $\vec u\cdot\vec v=2\times1+(-1)\times4+3\times2$ .
On effectue : $2-4+6=4$ .

On trouve $\vec u\cdot\vec v=4$ . Garde les parenthèses autour des nombres négatifs pour ne pas te tromper de signe.

Exercice 3 Norme d'un vecteur

★☆☆Environ 4 min

Dans un repère orthonormé, le vecteur $\vec w$ a pour coordonnées $(2\,;3\,;6)$ .

Calcule sa norme $\|\vec w\|$ .

Indice 1

La norme est liée au produit scalaire de $\vec w$ par lui-même.

Indice 2

Calcule $\vec w\cdot\vec w$ avec les coordonnées.

Voir la correction pas à pas

Le cosinus de l'angle entre $\vec w$ et lui-même vaut $1$ , donc la définition donne $\vec w\cdot\vec w=\|\vec w\|^2$ ⁴.
Avec les coordonnées : $\vec w\cdot\vec w=2^2+3^2+6^2=4+9+36=49$ .
On en déduit $\|\vec w\|=\sqrt{49}=7$ .

La norme de $\vec w$ est $7$ . Le carré scalaire d'un vecteur est toujours positif, on peut donc toujours prendre la racine.

Exercice 4 Développer avec la bilinéarité

★★☆Environ 6 min

Trois vecteurs $\vec u$ , $\vec v$ et $\vec w$ de l'espace vérifient $\vec u\cdot\vec v=3$ et $\vec u\cdot\vec w=-2$ .

Calcule $\vec u\cdot(2\vec v-3\vec w)$ .

Indice 1

Le produit scalaire est bilinéaire : il se développe comme un produit de nombres.

Indice 2

Les coefficients $2$ et $-3$ sortent du produit scalaire.

Voir la correction pas à pas

Le produit scalaire est bilinéaire ³ : $\vec u\cdot(2\vec v-3\vec w)=2\,\vec u\cdot\vec v-3\,\vec u\cdot\vec w$ .
On remplace par les valeurs données : $2\times3-3\times(-2)$ .
On calcule : $6+6=12$ .

Le résultat est $12$ . Retiens que le signe moins devant $3$ et le signe de $-2$ se combinent en un plus.

Exercice 5 Trouver un paramètre pour l'orthogonalité

★★☆Environ 6 min

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec u(1\,;2\,;k)$ et $\vec v(3\,;-1\,;2)$ , où $k$ est un réel.

Détermine la valeur de $k$ pour laquelle $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux.

Indice 1

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Indice 2

Écris $\vec u\cdot\vec v$ en fonction de $k$ , puis résous l'équation.

Voir la correction pas à pas

L'orthogonalité se caractérise par le produit scalaire nul ³ : on cherche $k$ tel que $\vec u\cdot\vec v=0$ .
Avec les coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=1\times3+2\times(-1)+k\times2=1+2k$ .
On résout $1+2k=0$ , donc $k=-\dfrac12$ .

Les vecteurs sont orthogonaux pour $k=-\dfrac12$ , et seulement pour cette valeur, car l'équation du premier degré n'a qu'une solution.

Exercice 6 Angle entre deux vecteurs

★★☆Environ 8 min

Dans un repère orthonormé, on donne $\vec u(1\,;1\,;0)$ et $\vec v(0\,;1\,;1)$ .

Détermine l'angle géométrique formé par $\vec u$ et $\vec v$ , en degrés.

Indice 1

Calcule d'abord $\vec u\cdot\vec v$ avec les coordonnées, puis les deux normes.

Indice 2

Égale ensuite les deux expressions du produit scalaire pour isoler le cosinus.

Voir la correction pas à pas

Avec les coordonnées : $\vec u\cdot\vec v=1\times0+1\times1+0\times1=1$ .
Les normes : $\|\vec u\|=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2$ et $\|\vec v\|=\sqrt{0+1+1}=\sqrt2$ .
La définition donne $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta$ ⁴, donc $1=\sqrt2\times\sqrt2\times\cos\theta=2\cos\theta$ et $\cos\theta=\dfrac12$ .
L'angle géométrique est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$ : $\theta=60^\circ$ .

L'angle vaut $60^\circ$ . Ici le cosinus est une valeur remarquable, on lit donc l'angle sans calculatrice.

Exercice 7 Angle d'un triangle dans l'espace

★★☆Environ 10 min

Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1\,;2\,;0)$ , $B(3\,;2\,;1)$ et $C(1\,;5\,;2)$ .

Calcule une valeur approchée au centième de degré de l'angle $\widehat{BAC}$ .

Indice 1

Le sommet de l'angle est $A$ : travaille avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .

Indice 2

Ne simplifie pas trop vite : $\sqrt5\times\sqrt{13}=\sqrt{65}$ .

Voir la correction pas à pas

On calcule les coordonnées : $\overrightarrow{AB}(2\,;0\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}(0\,;3\,;2)$ .
Le produit scalaire vaut $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times0+0\times3+1\times2=2$ .
Les normes sont $AB=\sqrt{4+0+1}=\sqrt5$ et $AC=\sqrt{0+9+4}=\sqrt{13}$ .
On isole le cosinus : $\cos\widehat{BAC}=\dfrac{2}{\sqrt5\times\sqrt{13}}=\dfrac{2}{\sqrt{65}}\approx0{,}2481$ .
À la calculatrice en degrés : $\widehat{BAC}=\cos^{-1}(0{,}2481)\approx75{,}64^\circ$ .

L'angle $\widehat{BAC}$ mesure environ $75{,}64^\circ$ . On garde la valeur exacte du cosinus le plus longtemps possible et on n'arrondit qu'à la fin.

Exercice 8 Un angle droit à fabriquer

★★★Environ 10 min

Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;0\,;2)$ , $B(3\,;1\,;1)$ et le point $C(2\,;y\,;3)$ , où $y$ est un réel.

Détermine la valeur de $y$ pour que le triangle $ABC$ soit rectangle en $A$ .

Indice 1

Un triangle rectangle en $A$ a ses côtés $[AB]$ et $[AC]$ perpendiculaires.

Indice 2

Traduis cette perpendicularité par un produit scalaire nul.

Voir la correction pas à pas

On calcule les vecteurs issus de $A$ : $\overrightarrow{AB}(2\,;1\,;-1)$ et $\overrightarrow{AC}(1\,;y\,;1)$ .
Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ ³.
On calcule : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times1+1\times y+(-1)\times1=1+y$ .
On résout $1+y=0$ , d'où $y=-1$ .
Contrôle : avec $y=-1$ , $\overrightarrow{AC}(1\,;-1\,;1)$ et $2-1-1=0$ .

Le triangle est rectangle en $A$ pour $y=-1$ . Le contrôle final prend dix secondes et évite une erreur de signe.

Exercice 9 Diagonales dans un cube

★★★Environ 12 min

On munit l'espace d'un repère orthonormé dans lequel un cube de côté $1$ a pour sommets $A(0\,;0\,;0)$ , $B(1\,;0\,;0)$ , $C(1\,;1\,;0)$ , $D(0\,;1\,;0)$ pour la face du bas, et $E(0\,;0\,;1)$ , $F(1\,;0\,;1)$ , $G(1\,;1\,;1)$ , $H(0\,;1\,;1)$ pour la face du haut.

Montre que les droites $(AG)$ et $(BH)$ ne sont pas orthogonales.
Détermine l'angle entre la grande diagonale $[AG]$ et la diagonale $[AC]$ de la face du bas, en degrés, au millième près.

Indice 1

Pour la question 1, calcule le produit scalaire de $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{BH}$ et compare-le à zéro.

Indice 2

Pour la question 2, les vecteurs sont $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{AC}$ ; leurs normes sont des racines carrées.

Voir la correction pas à pas

Question 1. On calcule $\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1)$ et $\overrightarrow{BH}(-1\,;1\,;1)$ .
Leur produit scalaire vaut $-1+1+1=1$ . Il n'est pas nul, donc les vecteurs ne sont pas orthogonaux ³ : les droites $(AG)$ et $(BH)$ ne sont pas orthogonales.
Question 2. On a $\overrightarrow{AC}(1\,;1\,;0)$ , donc $\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{AC}=1+1+0=2$ .
Les normes sont $AG=\sqrt3$ et $AC=\sqrt2$ .
On isole le cosinus : $\cos\widehat{GAC}=\dfrac{2}{\sqrt3\times\sqrt2}=\dfrac{2}{\sqrt6}\approx0{,}8165$ .
À la calculatrice : $\widehat{GAC}\approx35{,}264^\circ$ .

L'angle entre la grande diagonale et la diagonale de la face du bas est d'environ $35{,}264^\circ$ . La réponse numérique demandée correspond à la question 2.

Les questions qu'on se pose

Comment savoir si je dois utiliser la définition avec le cosinus ou les coordonnées ?

Regarde les données. Si on te donne des normes et un angle, utilise la définition $\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v)$ ⁴. Si on te donne des coordonnées dans un repère orthonormé, utilise $xx'+yy'+zz'$ ³. Pour calculer un angle à partir de coordonnées, on combine les deux : les coordonnées donnent le produit scalaire et les normes, la définition donne le cosinus.

Peut-on utiliser le produit scalaire pour prouver que deux droites sont perpendiculaires ?

Oui, mais dans l'espace on parle plutôt de droites orthogonales. On choisit un vecteur directeur de chaque droite et on calcule leur produit scalaire : s'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux ³. Deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes : elles peuvent se croiser sans se couper, comme les arêtes $[AB]$ et $[CG]$ du cube de l'exercice 9.

Mon résultat de cosinus est supérieur à 1 : que s'est-il passé ?

Un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$ , donc il y a une erreur de calcul. Vérifie tes normes : as-tu pensé à la racine carrée ? Vérifie aussi les coordonnées des vecteurs (extrémité moins origine) et le calcul du produit scalaire. Un bon réflexe : le produit scalaire ne peut jamais dépasser le produit des normes en valeur absolue.

Sources

Programmes et ressources en mathématiques - voie GT, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Édubase - Modéliser et produit scalaire, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Ressource pédagogique produit scalaire espace, Éduscol. Consulté le 6 novembre 2026.
Produit scalaire, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.
Produit scalaire canonique, Wikipédia. Consulté le 6 novembre 2026.

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L'essentiel

Comment utiliser ces exercices

Les exercices

Exercice 1 Produit scalaire avec les normes et l'angle

Exercice 2 Produit scalaire avec les coordonnées

Exercice 3 Norme d'un vecteur

Exercice 4 Développer avec la bilinéarité

Exercice 5 Trouver un paramètre pour l'orthogonalité

Exercice 6 Angle entre deux vecteurs

Exercice 7 Angle d'un triangle dans l'espace

Exercice 8 Un angle droit à fabriquer

Exercice 9 Diagonales dans un cube

Les questions qu'on se pose

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